Тема 13 геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла

КОНСПЕКТ 13

13.1 Геометрические приложения интеграла

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции , осьюи прямыми,:

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл.С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ. То есть,определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл. Подынтегральная функциязадает на плоскости некоторую кривую (её можно всегда при желании начертить), а сам определенный интегралчисленно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,,,.

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построитьПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначалалучше построить все прямые (если они есть) и толькопотом– параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строитьпоточечно. В данной задаче решение может выглядеть так. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнениезадает ось):Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке график функциирасположеннад осью , поэтому:

Ответ:

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница .

13.2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

Физический смысл определенного интеграла в механике состоит в том, что путь , пройденный телом за отрезок времени отдо, движущимся прямолинейно со скоростью, вычисляется по формуле:.

ПРАКТИКУМ 13

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением. Тогда путь, пройденный телом за 9  секунд от начала движения, равен …

Решение:Напоминаем, что путь, пройденный телом за отрезок времени отдо, движущимся прямолинейно со скоростью, вычисляется по формуле:. Тогда, используя условие, имеем:

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением. Тогда путь, пройденный телом за 2  секунды от начала движения, равен …

Решение:Напоминаем, что путь, пройденный телом за отрезок времени отдо, движущимся прямолинейно со скоростью, вычисляется по формуле:Тогда, используя условие, имеем:

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Геометрические приложения определенного интегралаПлощадь фигуры, ограниченной параболойи осьюОХ, равна …

Решение:Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формулеВ данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осьюОХ):ТогдаПлощадь фигуры равна(кв. ед.).

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением. Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до шестой секунды движения, равен …

Решение:Напоминаем, что путь, пройденный телом за отрезок времени отдо, движущимся прямолинейно со скоростью, вычисляется по формуле:. Тогда, используя условие, имеем:

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Геометрические приложения определенного интегралаПлощадь фигуры, ограниченной параболойи осьюОХ, равна …

Решение:Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формулеВ данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осьюОХ):ТогдаПлощадь фигуры равна(кв. ед.).

ЗАДАНИЕ N 6Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением. Тогда путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, равен …

Решение:Напоминаем, что путь, пройденный телом за отрезок времени отдо, движущимся прямолинейно со скоростью, вычисляется по формуле:. Тогда, используя условие, имеем:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 13

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Геометрические приложения определенного интегралаПлощадь фигуры, ограниченной параболойи осьюОХ, равна …

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением. Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до четвертой секунды движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением. Тогда путь, пройденный телом за 3  секунды от начала движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением. Тогда путь, пройденный телом за 4  секунды от начала движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Геометрические приложения определенного интегралаПлощадь фигуры, ограниченной параболойи осьюОХ, равна …

ЗАДАНИЕ N 6Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением. Тогда путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 7

Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением. Тогда путь, пройденный телом за 3  секунды от начала движения, равен …