- •Учебно-методическое пособие для подготовки к интернет-экзамену по математике для студентов технических специальностей спо
- •Раздел 1 элементы линейной алгебры
- •Тема 1 матрицы. Действия над матрицами. Умножение матриц
- •1.2Действия над матрицами
- •Тема 2 определители. Вычисление определителей второго и третьего порядков
- •Тема 3 системы линейных уравнений. Правила крамера. Метод гаусса конспект 3
- •3.1 Правило крамера
- •Раздел 2 элементы аналитической геометрии
- •Тема 4 координаты точек на плоскости и в пространстве
- •Тема 5 линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов
- •5.2 Простейшие задачи в координатах
- •5.4 Скалярное произведение векторов
- •Понятие скалярного произведения
- •Скалярное произведение в координатах
- •Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения
- •Тема 6 линии и их уравнения на плоскости. Уравнение прямой на плоскости
- •6.1 Уравнение прямой на плоскости
- •6.1.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.1.2 Общее уравнение прямой на плоскости
- •6.1.3 Каноническое уравнение
- •6.1.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Тема 7 кривые второго порядка
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •Раздел 3
- •Тема 8. Правила дифференцирования Производная сложной функции. Производная функции в точке. Конспект 8
- •8.1 Правила дииференцирования
- •Тема 9 экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •9.1 Порядок нахождения экстремумов функции
- •Тема 10 дифференциал функции
- •10.1 Дифференциал функции одной переменной
- •Раздел 4
- •Тема 11 неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенного интеграла конспект 11
- •1.1 Неопределенный интеграл
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Тема 12 опреленный интеграл. Формула ньютона-лейбница. Свойства определенного интеграла
- •Тема 13 геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла
- •13.1 Геометрические приложения интеграла
- •Раздел 5.
- •Тема 14 элементы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Тема 15 характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее. Объем выборки
- •Раздел 6.
- •Тема 16 действия над комплексными числами в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений
- •Тема 17 сопряженные комплексные числа. Модуль комплексного числа
- •Тема 18 тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме конспект 18.
- •18.1 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Раздел 7.
- •Тема 19 способы задания числовых последовательностей. Предел функции в точке
- •Тема 20 раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль». Раскрытие неопределенности «бесконечность на бесконечность»
- •Тема 21 первый замечательный предел. Второй замечательный предел
Тема 12 опреленный интеграл. Формула ньютона-лейбница. Свойства определенного интеграла
КОНСПЕКТ 12
14.1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой с первого курса формулы Ньютона-Лейбница:
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константав определенном интеграленикогда не добавляется. Обозначениеявляется чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.
Готово.
14.2 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:
Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:
– в таком виде интегрировать значительно удобнее.
Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:
– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.
В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.
Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:
Пример 1
Вычислить определенный интеграл
Решение:
СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом: – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут(особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно).
ПРАКТИКУМ 12
ЗАДАНИЕ N 1Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - ЛейбницаОпределенный интегралравен …
Решение:Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид:Тогда, используя формулу, имеем:
ЗАДАНИЕ N 2Тема: Свойства определенного интеграла…
Решение:Используя свойство интегралаи применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим:
ЗАДАНИЕ N 3Тема: Свойства определенного интегралаОпределенный интегралравен …
Решение:Обращаем внимание, что используя свойства интегралаи, исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим:
ЗАДАНИЕ N 4Тема: Свойства определенного интегралаОпределенный интегралравен …
Решение:Обращаем внимание, что используя свойства интегралаи, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух слагаемых и, применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим:
ЗАДАНИЕ N 5Тема: Свойства определенного интеграла…
Решение:Используя свойства интегралаи, исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим:
ЗАДАНИЕ N 6Тема: Свойства определенного интеграла…
Решение:Используя свойство интегралаи применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим:
ЗАДАНИЕ N 7Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - ЛейбницаОпределенный интегралравен …
Решение:Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид:Тогда, используя формулу, имеем:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 12
ЗАДАНИЕ N 1Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница …
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница …
ЗАДАНИЕ N 3Тема: Свойства определенного интеграла …
ЗАДАНИЕ N 4Тема: Свойства определенного интегралаОпределенный интеграл равен …
ЗАДАНИЕ N 5Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - ЛейбницаОпределенный интеграл равен …
ЗАДАНИЕ N 6Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - ЛейбницаОпределенный интеграл равен …
ЗАДАНИЕ N 7Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница …
ЗАДАНИЕ N 8Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница …
ЗАДАНИЕ N 9Тема: Свойства определенного интеграла …