- •Учебно-методическое пособие для подготовки к интернет-экзамену по математике для студентов технических специальностей спо
- •Раздел 1 элементы линейной алгебры
- •Тема 1 матрицы. Действия над матрицами. Умножение матриц
- •1.2Действия над матрицами
- •Тема 2 определители. Вычисление определителей второго и третьего порядков
- •Тема 3 системы линейных уравнений. Правила крамера. Метод гаусса конспект 3
- •3.1 Правило крамера
- •Раздел 2 элементы аналитической геометрии
- •Тема 4 координаты точек на плоскости и в пространстве
- •Тема 5 линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов
- •5.2 Простейшие задачи в координатах
- •5.4 Скалярное произведение векторов
- •Понятие скалярного произведения
- •Скалярное произведение в координатах
- •Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения
- •Тема 6 линии и их уравнения на плоскости. Уравнение прямой на плоскости
- •6.1 Уравнение прямой на плоскости
- •6.1.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.1.2 Общее уравнение прямой на плоскости
- •6.1.3 Каноническое уравнение
- •6.1.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Тема 7 кривые второго порядка
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •Раздел 3
- •Тема 8. Правила дифференцирования Производная сложной функции. Производная функции в точке. Конспект 8
- •8.1 Правила дииференцирования
- •Тема 9 экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •9.1 Порядок нахождения экстремумов функции
- •Тема 10 дифференциал функции
- •10.1 Дифференциал функции одной переменной
- •Раздел 4
- •Тема 11 неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенного интеграла конспект 11
- •1.1 Неопределенный интеграл
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Тема 12 опреленный интеграл. Формула ньютона-лейбница. Свойства определенного интеграла
- •Тема 13 геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла
- •13.1 Геометрические приложения интеграла
- •Раздел 5.
- •Тема 14 элементы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Тема 15 характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее. Объем выборки
- •Раздел 6.
- •Тема 16 действия над комплексными числами в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений
- •Тема 17 сопряженные комплексные числа. Модуль комплексного числа
- •Тема 18 тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме конспект 18.
- •18.1 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Раздел 7.
- •Тема 19 способы задания числовых последовательностей. Предел функции в точке
- •Тема 20 раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль». Раскрытие неопределенности «бесконечность на бесконечность»
- •Тема 21 первый замечательный предел. Второй замечательный предел
Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.В данном случае напрашивается:Вторая по популярности буква для замены – это буква. В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Итак: Но при замене у нас остаётся! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной, то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву, и дифференциалутам совсем не место. Следует логичный вывод, чтонужнопревратить в некоторое выражение, которое зависит только от .
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал. Так как, то
После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам:
В итоге: Таким образом:А это уже самый что ни на есть табличный интеграл(таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что.
Готово.
11.3 ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
ПРАКТИКУМ 11
ЗАДАНИЕ N 1Тема: Неопределенный интегралНеопределенный интегралравен …
Решение:Напоминаем, что интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функцийи постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:Тогда, используя формулу, получим:
ЗАДАНИЕ N 2Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов…
Решение:Подстановкаприводит рассматриваемый интеграл к табличному:Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:, тогдаПодставим получившиеся выражения в исходный интеграл:Заменивего выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 3Тема: Неопределенный интеграл…
Решение:Напоминаем, что интеграл разности двух функций равен разности интегралов этих функцийи постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:Тогда, используя формулу, получим:
ЗАДАНИЕ N 4Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов…
Решение:Подстановкаприводит рассматриваемый интеграл к табличному:Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:, тогдаПодставим получившиеся выражения в исходный интеграл:Заменивего выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 5Тема: Неопределенный интегралНеопределенный интегралравен …
Решение:Напоминаем, что постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:Тогда, используя формулу, получим:
ЗАДАНИЕ N 6Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов…
Решение:Подстановкаприводит рассматриваемый интеграл к табличному:Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:, тогдаПодставим получившиеся выражения в исходный интеграл:Заменивего выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 7Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов…
Решение:Подстановкаприводит рассматриваемый интеграл к табличному:Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:, тогдаПодставим получившиеся выражения в исходный интеграл:Заменивего выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 8Тема: Неопределенный интеграл…
Решение:Напоминаем, что интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функцийи постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:Тогда, используя формулу, получим:
ЗАДАНИЕ N 9Тема: Методы вычисления неопределенных интеграловНеопределенный интегралравен …
Решение:Обращаем внимание, что подстановкаприводит рассматриваемый интеграл к табличному:Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:, тогдаПодставим получившиеся выражения в исходный интеграл:Заменивего выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 10Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов…
Решение:Подстановкаприводит рассматриваемый интеграл к табличному:Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:, тогдаПодставим получившиеся выражения в исходный интеграл:Заменивего выражением из подстановки, получим:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 11
ЗАДАНИЕ N 1Тема: Неопределенный интеграл …
ЗАДАНИЕ N 2Тема: Неопределенный интеграл …
ЗАДАНИЕ N 3Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов …
ЗАДАНИЕ N 4Тема: Неопределенный интеграл …
ЗАДАНИЕ N 5Тема: Методы вычисления неопределенных интеграловНеопределенный интеграл равен …
ЗАДАНИЕ N 6Тема: Неопределенный интеграл …
ЗАДАНИЕ N 7Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов …
ЗАДАНИЕ N 8Тема: Неопределенный интегралНеопределенный интеграл равен …ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Неопределенный интеграл
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Неопределенный интеграл …