Раздел 2 элементы аналитической геометрии

Тема 4 координаты точек на плоскости и в пространстве

КОНСПЕКТ 4

4.1 СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Теперь рассмотрим точки в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же, КАК НА ПЛОСКОСТИ! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничимся одним рисунком.

z

y

0

x

Перед вами Декартова система координаттрехмерного пространства, ее называют чаще прямоугольная система координат, координатные оси  попарно ортогональны: и. Осьнаклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства.

ПРАКТИКУМ 4

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Координаты точек на плоскости и в пространствеДан прямоугольный параллелепипед.Одна из его вершин совпадает с началом координат. Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат. Известно, чтоНайти координаты точек: .,,,

Решение:Так какитоАналогично можно найти, что

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Координаты точек на плоскости и в пространствеДан прямоугольный параллелепипед.Одна из его вершин совпадает с началом координат. Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат. Известно, чтоНайти координаты точек: А,B,C,.

Решение:Так какитоАналогично можно найти, что

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Координаты точек на плоскости и в пространствеРебро кубаравно 26.Вершина кубаOсовпадает с началом координат. Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат, как изображено на рисунке.X− середина ребраУстановите соответствие между точками данного куба и их координатами. Найти координаты точек:Решение:Если точкалежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю. Так, еслитоАналогично, еслитоа еслитоЕслитоиАналогично, еслитоии еслитоиУчитывая, что длина ребра куба равна 26, имеем:иТочкаX лежит на верхней грани куба и, значит, координатаТак какX− середина ребратоиПолучили:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 4

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Координаты точек на плоскости и в пространствеДан прямоугольный параллелепипед.Одна из его вершин совпадает с началом координат. Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат. Известно, чтоУстановите соответствие между вершинами данного параллелепипеда и их координатами. 1.2.3.4.

1

2

3

4

5

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Координаты точек на плоскости и в пространствеДан прямоугольный параллелепипед.Одна из его вершин совпадает с началом координат. Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат. Известно, чтоУстановите соответствие между вершинами данного параллелепипеда и их координатами. 1.2.3.4.

1.

2.

3.

4.

5.

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Координаты точек на плоскости и в пространствеРебро кубаравно 26.Вершина кубаOсовпадает с началом координат. Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат, как изображено на рисунке.X− середина ребраУстановите соответствие между точками данного куба и их координатами. 1.2.3.4.

1.

2.

3.

4.

5.

Тема 5 линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

КОНСПЕКТ 5

5.1 КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же, КАК НА ПЛОСКОСТИ! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничимся одним вектором, который для простоты отложим от начала координат:

Перед вами ортонормированныйбазистрехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторыданного базиса попарно ортогональны:и. Осьнаклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства.

Любойвектортрехмерного пространства можноединственным способомразложить по ортонормированному базису:, где– координаты вектора(числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число:(красная стрелка),(зеленая стрелка) и(малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов:.  Вектор суммыначинается в исходной точке отправления (начало вектора) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение«останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии  со скобками:либо.

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры: вектор (дотошно) – запишем; вектор(дотошно) – запишем; вектор(дотошно) – запишем.

Базисные векторы записываются следующим образом: