- •Учебно-методическое пособие для подготовки к интернет-экзамену по математике для студентов технических специальностей спо
- •Раздел 1 элементы линейной алгебры
- •Тема 1 матрицы. Действия над матрицами. Умножение матриц
- •1.2Действия над матрицами
- •Тема 2 определители. Вычисление определителей второго и третьего порядков
- •Тема 3 системы линейных уравнений. Правила крамера. Метод гаусса конспект 3
- •3.1 Правило крамера
- •Раздел 2 элементы аналитической геометрии
- •Тема 4 координаты точек на плоскости и в пространстве
- •Тема 5 линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов
- •5.2 Простейшие задачи в координатах
- •5.4 Скалярное произведение векторов
- •Понятие скалярного произведения
- •Скалярное произведение в координатах
- •Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения
- •Тема 6 линии и их уравнения на плоскости. Уравнение прямой на плоскости
- •6.1 Уравнение прямой на плоскости
- •6.1.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.1.2 Общее уравнение прямой на плоскости
- •6.1.3 Каноническое уравнение
- •6.1.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Тема 7 кривые второго порядка
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •Раздел 3
- •Тема 8. Правила дифференцирования Производная сложной функции. Производная функции в точке. Конспект 8
- •8.1 Правила дииференцирования
- •Тема 9 экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •9.1 Порядок нахождения экстремумов функции
- •Тема 10 дифференциал функции
- •10.1 Дифференциал функции одной переменной
- •Раздел 4
- •Тема 11 неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенного интеграла конспект 11
- •1.1 Неопределенный интеграл
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Тема 12 опреленный интеграл. Формула ньютона-лейбница. Свойства определенного интеграла
- •Тема 13 геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла
- •13.1 Геометрические приложения интеграла
- •Раздел 5.
- •Тема 14 элементы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Тема 15 характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее. Объем выборки
- •Раздел 6.
- •Тема 16 действия над комплексными числами в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений
- •Тема 17 сопряженные комплексные числа. Модуль комплексного числа
- •Тема 18 тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме конспект 18.
- •18.1 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Раздел 7.
- •Тема 19 способы задания числовых последовательностей. Предел функции в точке
- •Тема 20 раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль». Раскрытие неопределенности «бесконечность на бесконечность»
- •Тема 21 первый замечательный предел. Второй замечательный предел
Тема 18 тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме конспект 18.
18.1 Тригонометрическая форма комплексного числа
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:, где– этомодуль комплексного числа, а–аргумент комплексного числа. Изобразим на комплексной плоскости число. Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:
Напоминаю, модулем комплексного числаназывается расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.
Модуль комплексного числа стандартно обозначают:или
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедливадля любыхзначений «а» и «бэ».
Аргументом комплексного числаназываетсяугол междуположительной полуосьюдействительной осии радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:.
Аргумент комплексного числа стандартно обозначают:или
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента: .Внимание!Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.
Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.
Пример 1
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,.
На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:
Запомним намертво, модуль – длина(которая всегданеотрицательна), аргумент –угол.
1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Ясно, как день, обратное проверочное действие:
2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Проверка:
4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:.
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно:. Проверка:
18.2 ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Частное комплексных чисел
Произведение комплексных чисел
Возведение комплексных чисел в степень
формула Муавра
Пример 2
найти.
Тогда, по формуле Муавра:
Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе:оборотов, в данном случае можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол.
Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).
Хотя – ни в коем случае не ошибка.
ПРАКТИКУМ 18
ЗАДАНИЕ N 1Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
Решение:Для представления комплексного числа в тригонометрической форме записи необходимо найти его модуль и аргумент. Используя формулу, где– действительная, а– мнимая часть комплексного числа, получим:По формуламинайдем аргументкомплексного числа. Обращаем внимание, что под аргументомпонимается его главное значение, то есть значение, удовлетворяющее условиюТак кактоЗная, что тригонометрическая форма комплексного числа имеет видполучим:
ЗАДАНИЕ N 2Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаПроизведение комплексных чиселиравно …
Решение:Воспользуемся формулой:Получим:
ЗАДАНИЕ N 3Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
Решение:Для представления комплексного числа в тригонометрической форме записи необходимо найти его модуль и аргумент. Заметим, что мнимая часть данного комплексного числа равна нулю, поэтомуТочка, изображающая это число, принадлежит положительной части действительной оси, значит,Зная, что тригонометрическая форма комплексного числа имеет видполучим:
ЗАДАНИЕ N 4Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаЧастноекомплексных чиселиравно …
Решение:Воспользуемся формулой:Получим:
ЗАДАНИЕ N 5Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаСтепень комплексного числаравна …
Решение:Согласно формуле Муавранаходим:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 18
ЗАДАНИЕ N 1Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаСтепень комплексного числаравна …
ЗАДАНИЕ N 2Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
ЗАДАНИЕ N 3Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
ЗАДАНИЕ N 4Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаЧастноекомплексных чиселиравно …
ЗАДАНИЕ N 5Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
ЗАДАНИЕ N 6Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаЧастноекомплексных чиселиравно …
ЗАДАНИЕ N 7Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
ЗАДАНИЕ N 8Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаСтепень комплексного числаравна …
ЗАДАНИЕ N 9Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
ЗАДАНИЕ N 10Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
ЗАДАНИЕ N 11Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаЧастноекомплексных чиселиравно …
ЗАДАНИЕ N 12Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
ЗАДАНИЕ N 13Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …
ЗАДАНИЕ N 14Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаПроизведение комплексных чиселиравно …