Тема 10 дифференциал функции

КОНСПЕКТ 10

10.1 Дифференциал функции одной переменной

В самой примитивной формулировке дифференциал – это «почти то же самое, что и производная».

Производная функции чаще всего обозначается через .

Дифференциал функции стандартно обозначается через (так и читается – «дэ игрек»)

Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:

Другой вариант записи:

Простейшая задача: Найти дифференциал функции

1) Первый этап. Найдем производную:

2) Второй этап. Запишем дифференциал:

Готово.

Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений.

Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу:гдеприращение функции в точкеФункция y(x) определяется из условия задачи Значенияивыбираются так, чтобы можно было вычислитьи при этом, взятое по модулю, было бы как можно меньше.

10.2 ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Для того, чтобы получить простейшую приближенную формулу для производной, нужно знать только ее определение:

. (3.1)

При малом hможно положить:

. (3.2)

Это и есть простейшая приближенная формула.

В определении (3.1) hможет принимать значения обоих знаков. В дискретной записи принято обозначать черезhположительное число, так что можно написать еще одну формулу:

(3.2´)

Какую ошибку мы совершаем, заменяя производную разностным отношением по формуле (3.2)? Это легко сообразить. Напишем:

.

Отсюда

,

где m₂=min||,M₂=max||. Приошибка стремится к нулю со скоростьюhили, как говорят, формула (3.2) имеет первый порядок точности. Сложением формул (3.2) и (3.2') получается симметричная формула:

. (3.3)

Формула (3.3), как легко проверить, точнее формулы (3.2), а именно, ошибка здесь имеет порядок — это есть формула второго порядка точности потому, что ошибка не превосходит, гдеM₃=max||. Это увеличение точности получилось только за счет симметрии. Это случается очень часто.

Рис. 1.

На рисунке 1 приведены результаты вычисления производной функции f(x) = sin(x) по трем разностным формулам (3.2, 3.2´ и 3.3) вместе с точным графиком производной.

ПРАКТИКУМ 10

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Дифференциал функцииДля приближенного вычисления значения функцииy(x) в точкеможно использовать формулугдеприращение функции в точкеФункцияy(x) определяется из условия задачи. Значенияивыбираются так, чтобы можно было вычислитьи при этом, взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выраженияравно …

Решение:.Так как, то можно рассмотреть функциюПустьтогдаИмеем:По формулеполучим

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Дифференциал функцииДля приближенного вычисления значения функцииy(x)в точкеможно использовать формулу:гдеприращение функции в точкеФункцияy(x)определяется из условия задачи Значенияивыбираются так, чтобы можно было вычислитьи при этом, взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда наилучшее приближенное значение выраженияравно …

Решение:.Так как, то можно рассмотреть функциюДляимеем:ТогдаПо формулеполучим

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Дифференциал функцииДля приближенного вычисления значения функцииy(x)в точкеможно использовать формулу:гдеприращение функции в точкеФункцияy(x)определяется из условия задачи. Значенияивыбираются так, чтобы можно было вычислитьи при этом, взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда наилучшее приближенное значение выраженияравно …

Решение:. Так как, то можно рассмотреть функциюДляимеем:ТогдаПо формулеполучим:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 10

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Дифференциал функцииДля приближенного вычисления значения функцииy(x)в точкеможно использовать формулу:гдеприращение функции в точкеФункцияy(x)определяется из условия задачи. Значенияивыбираются так, чтобы можно было вычислитьи при этом, взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда наилучшее приближенное значение выраженияравно …

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Дифференциал функцииДля приближенного вычисления значения функцииy(x)в точкеможно использовать формулу:гдеприращение функции в точкеФункцияy(x)определяется из условия задачи. Значенияивыбираются так, чтобы можно было вычислитьи при этом, взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда наилучшее приближенное значение выраженияравно …

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Дифференциал функцииДля приближенного вычисления значения функцииy(x) в точкеможно использовать формулугдеприращение функции в точкеФункцияy(x) определяется из условия задачи. Значенияивыбираются так, чтобы можно было вычислитьи при этом, взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выраженияравно …

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Дифференциал функцииДля приближенного вычисления значения функцииy(x) в точкеможно использовать формулугдеприращение функции в точкеФункцияy(x) определяется из условия задачи. Значенияивыбираются так, чтобы можно было вычислитьи при этом, взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выраженияравно …