Тема 9 экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

КОНСПЕКТ 9

9.1 Порядок нахождения экстремумов функции

1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найти производную функции f '(x).

3. Найти критические точки функции y =f (x), т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производнаяf '(x) обращается в нуль или не существует.

4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак производнойf '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функцииy =f (x).

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Помни: критическая точка x₀есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в которомf '(x)<0, от промежутка, в которомf '(x)>0, и точка максимума - в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкойx₀, знак производной не меняется, то в точкеx₀функция экстремума не имеет.

Пример 1

Исследовать на экстремум функцию f(x) =x³–3x²

Решение:

1) Функция определена для всех R. Найдем производную:f '(x)=3x²–6x.

2) Из уравнения 3x²–6x= 3x(x–2) = 0 получим критические точки функцииx₁=0 иx₂=2.

3) Так как при переходе через точку x₁=0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

4) При переходе через точку x₂ =2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точкеx₂ = 2 у функции минимум.

x	(;0]	0	[0; 2]	2	[2; +)
f '(x)	+	0	–	0	+
f (x)	↑	fmax(0) = 0	↓	fmin(2) = – 4	↑

Ответ:(0; 0) – точка максимума, (2; -4) – точка минимума;

9.2 ПОРЯДОК НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

1. Найти все критические точки, принадлежащие промежутку [ a,b ], и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка [ a,b ],т.е.найтиf(a) иf(b).

3. сравнить полученные результаты; наибольшее из найденных значений является наибольшим значением функции на отрезке [ a,b ]; аналогично, наименьшее из найденных значений есть наименьшее значение функции на этом отрезке.

ПРАКТИКУМ 9

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Экстремум функцииДля функцииточка максимумапринимает значение, равное …

Решение:Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.Заметим, что производная существует для любого значениях, приравняем ее к нулю, получим:Последнее уравнение имеет корни:Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производнойна каждом из получившихся промежутков.Точкииявляются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.– точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «–».

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Экстремум функцииДля функцииточка минимумапринимает значение, равное …

Решение:Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.Заметим, что производная существует для любого значениях, приравняем ее к нулю, получим:Последнее уравнение имеет корни:Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производнойна каждом из получившихся промежутков.Точкииявляются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.– точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Экстремум функцииДля функцииточка минимумапринимает значение, равное …

Решение:Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.Заметим, что производная существует для любого значениях, приравняем ее к нулю, получим:Последнее уравнение имеет корни:Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производнойна каждом из получившихся промежутков.Точкииявляются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.– точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Экстремум функцииДля функцииточка минимумапринимает значение, равное …

Решение:Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.Заметим, что производная существует для любого значениях, приравняем ее к нулю, получим:Последнее уравнение имеет корни:Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производнойна каждом из получившихся промежутков.Точкииявляются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.– точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Экстремум функцииДля функцииточка минимумапринимает значение, равное …

Решение:Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.Заметим, что производная существует для любого значениях, приравняем ее к нулю, получим:Последнее уравнение имеет корни:Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производнойна каждом из получившихся промежутков.Точкииявляются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.– точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».

ЗАДАНИЕ N 6Тема: Наибольшее и наименьшее значения функцииНаибольшее значение функциина отрезкеравно …

Решение:Заметим, что функциянепрерывна на отрезке. Найдем значения функции на концах отрезка:Найдем производную данной функции:ТогдаТак както нужно найти толькоСравнивая значенияиопределим, что наибольшее значение функции равно 26.

ЗАДАНИЕ N 7Тема: Наибольшее и наименьшее значения функцииНаибольшее значение функциина отрезкеравно …

Решение:Заметим, что функциянепрерывна на отрезке. Найдем значения функции на концах отрезка:Найдем производную данной функции:ТогдаТак както нужно найти толькоСравнивая значенияиопределим, что наибольшее значение функции равно 24.

ЗАДАНИЕ N 8Тема: Наибольшее и наименьшее значения функцииНаименьшее значение функциина отрезкеравно …

Решение:Заметим, что функциянепрерывна на отрезке. Найдем значения функции на концах отрезка:Найдем производную данной функции:ТогдаТак как найденные значенияхпринадлежат отрезкуто нужно найтиСравнивая значенияиопределим, что наименьшее значение функции равно 10.

ЗАДАНИЕ N 9Тема: Наибольшее и наименьшее значения функцииНаименьшее значение функциина отрезкеравно …

Решение:Заметим, что функциянепрерывна на отрезке. Найдем значения функции на концах отрезка:Найдем производную данной функции.ТогдаТак както нужно найти толькоСравнивая значенияи, определим, что наименьшее значение функции равно 1.

ЗАДАНИЕ N 10Тема: Наибольшее и наименьшее значения функцииНаибольшее значение функциина отрезкеравно …

Решение:Заметим, что функциянепрерывна на отрезке. Найдем значения функции на концах отрезка:Найдем производную данной функции:ТогдаТак както нужно найти толькоСравнивая значенияиопределим, что наибольшее значение функции равно 18.

ЗАДАНИЕ N 11Тема: Наибольшее и наименьшее значения функцииНаибольшее значение функциина отрезкеравно …

Решение:Заметим, что функциянепрерывна на отрезке. Найдем значения функции на концах отрезка:Найдем производную данной функции:ТогдаТак както нужно найти толькоСравнивая значенияиопределим, что наибольшее значение функции равно 26.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 9

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Экстремум функцииДля функцииточка минимумапринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Экстремум функцииДля функцииточка минимумапринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Экстремум функцииДля функцииточка максимумапринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Экстремум функцииДля функцииточка минимумапринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Экстремум функцииДля функцииточка максимумапринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 6Тема: Экстремум функцииДля функцииточка минимумапринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 7Тема: Экстремум функцииДля функцииточка минимумапринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 8Тема: Наибольшее и наименьшее значения функцииНаибольшее значение функциина отрезкеравно …

ЗАДАНИЕ N 9Тема: Наибольшее и наименьшее значения функцииНаименьшее значение функциина отрезкеравно …

ЗАДАНИЕ N 10Тема: Наибольшее и наименьшее значения функцииНаименьшее значение функциина отрезкеравно …