Аналітичний розрахунок нерозрізної балки методом фокусів

Метод моментних фокусів являє собою окремий випадок методу сил. Якщо в нерозрізній балці завантажений лише один прольот (рис. 2.6а), то епюра вигинаючих моментів має вигляд (рис. 2.6б):

Рисунок 2.6

Встановлено, що в незавантажених прольотах епюра вигинаючих моментів змінює знак. Зліва від завантаженого прольоту нульові точки на епюрі зміщені лівіше від середини прольоту, а справа – правіше від середини прольоту. Розташування цих нульових точок в незавантажених прольотах постійне і не залежить від інтенсивності та виду навантаження прольоту. Ці нульові точки називають моментними фокусами. Тобто мають місцелівітаправімоментні фокуси.

Лівим (правим) моментним фокусом називається нульова точка епюри моментів даного прольоту при завантаженні одного або кількох прольотів, розташованих правіше (лівіше) від прольоту, який розглядається.

Оскільки, фокусні точки в кожному прольоті мають постійне розташування, то і відношення опорних моментів незавантаженого прольоту теж буде постійним. Розрізняють ліві таправі моментні фокусні відношення.

Лівим моментним фокусним відношенням для будь-якого прольоту є відношення правого опорного моменту до лівого опорного моменту, взяте з негативним знаком, коли зовнішнє навантаження знаходиться правіше цього прольоту.

Ліве моментне фокусне відношення позначається . Так дляn-го прольоту (рис. 2.7) можна записати:

Ліве:.

Рисунок 2.7

Правим моментним фокусним відношенням для будь-якого прольоту є відношення лівого опорного моменту до правого опорного моменту, взяте з негативним знаком, коли зовнішнє навантаження знаходиться лівіше цього прольоту.

Праве моментне фокусне відношення позначається . Так дляn-го прольоту (див. рис. 2.7) можна записати:

Праве:.

Визначення лівих і правих моментних фокусних відношень

Розглянемо два випадки завантаження нерозрізної балки:

а)нерозрізна балка постійної жорсткості завантажена так, що зовнішні сили знаходятьсяправішевід прольотів, які досліджуються (рис. 2.8).

Рисунок 2.8

Відомо, що від навантаження в будь-якому одному прольоті нерозрізної балки виникає зусилля в інших прольотах. Запишемо рівняння трьох моментів для першої опори:

;

Оскільки , тоді.

Поділимо всі члени рівняння на :

.

Після цього, поділимо члени рівняння на величину і запишемо:

, звідки .

Запишемо рівняння трьох моментів для опори 2:

;

Поділимо всі члени рівняння на , підставивши замістьМ₁його значення, отримане вище:

;

;

;

, звідки .

Тобто, ми отримали залежність для визначення лівого моментного фокусного відношення для третього прольоту:

. (2.8)

Для будь-якого n-го прольоту можна записати:

. (2.9)

Залежність (2.9) є основною формулою для визначення лівих моментних фокусних відношень. Для того, щоб визначитинеобхідно знатиі т. д.

Для прольоту(див. рис. 2.9) маємо:, так як.

Рисунок 2.9

Маємо висновок: якщо нерозрізна балка зліва починається шарнірною опорою, то ліве моментне фокусне відношення для першого прольоту дорівнює нескінченності ().

Розглянемо балку, яка зліва починається жорстким затисненням

(рис. 2.10) і матимемо:

.

Рисунок 2.10

Тобто: якщо нерозрізна балка зліва починається опорою у вигляді жорсткого затиснення, то ліве моментне фокусне відношення для першого прольоту дорівнює двом ().

б)нерозрізна балка постійної жорсткості завантажена так, що зовнішні сили знаходятьсялівішевід прольотів, які досліджуються (рис. 2.11).

Рисунок 2.11

Запишемо рівняння трьох моментів для n+1 опори:

;

Оскільки , тоді.

Поділимо всі члени рівняння на :

.

Після цього, поділимо члени рівняння на величину і запишемо:

, звідки .

Запишемо рівняння трьох моментів для опори n:

.

Поділимо всі члени рівняння на , підставивши замістьМ_n+1, його значення, отримане вище:

;

;

, звідки .

Тобто . (2.10)

Залежність (2.10) є основною формулою для визначення правих моментних фокусних відношень.

Аналогічно можна показати, що коли нерозрізна балка закінчується шарнірною опорою, то праве моментне фокусне відношення останнього прольоту дорівнює нескінченності ().

Якщо нерозрізна балка закінчується опорою у вигляді жорсткого затиснення, то праве моментне фокусне відношення для останнього прольоту дорівнює двом ().

Залежності (2.9) та (2.10) показують, що величини моментних фокусних відношень не залежать від характеру зовнішнього навантаження на нерозрізну балку, а залежать лише від розмірів її прольотів.

Розглянемо простий приклад. Для заданої нерозрізної балки побудувати епюру М(рис. 2.12а).

Задана балка три рази статично невизначувана. Якщо її розв`язувати методом сил (рівнянням трьох моментів), тоді необхідно розв`язувати систему з трьох рівнянь.

Оскільки, навантаження є лише на лівій консолі балки, скористуємося лише правими моментними фокусними відношеннями, які визначимо за формулою (2.10).

Рисунок 2.12

Праві моментні фокусні відношення підраховуємо в напрямку справа наліво:

;

;

.

За правими моментними фокусними відношеннями знаходимо всі опорні моменти:

кНм; , звідкикНм;

, звідки кНм;

, звідки кНм.

По отриманих значеннях будуємо епюру вигинаючих моментів (рис. 2.12б).