diff_calc_econ_ua

1 Похідна та її застосування................................................................................................

3

1.1

Означення похідної, її геометричне та механічне тлумачення

3

1.1.1

Означення похідної

3

1.1.2

Геометричне тлумачення похідної

5

1.1.3

Механічне тлумачення похідної

5

1.1.4

Економічний зміст похідної

6

1.2

Рівняння дотичної і нормалі до кривої

7

1.3

Задача про продуктивність труда

9

1.4

Основні правила диференціювання функцій

9

1.5

Диференціювання складної функції

19

ференціювання

24

1.6.1

Диференціювання функцій, заданих неявно

24

1.6.2

Диференціювання функцій, заданих параметрично

26

1.6.3

Логарифмічне диференціювання

28

2

Диференціал функції та його застосування до наближених обчислень

....................... 32

2.1

Означення диференціала

32

2.2

Геометричне тлумачення диференціала

32

2.3

Інваріантність форми диференціала

32

2.4

Основні правила і формули диференціювання

33

2.5

Наближені обчислення за допомогою диференціалів

34

3

Похідні та диференціали вищих порядків......................................................................

38

4

Обчислення границь за правилом Лопіталя...................................................................

46

5

Асимптоти графіка функції............................................................................................

52

на відрізку ..........................................................................................................................

56

6.1

Інтервали зростання і спадання функції

56

6.2

Екстемуми функції

57

6.3

Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної

58

6.4

Найменше і найбільше значення функції на відрізку

59

7 Опуклість і вгнутість кривої. Точки перегину ..............................................................

65

8 Повне дослідження функції і побудова її графіка.........................................................

69

9 Застосування похідної в економічній теорії .................................................................

74

Додатки

..............................................................................................................................

76

Додаток 1

76

Додаток 2

84

Додаток 3

89

Додаток 4

93

Додаток 5

104

Додаток 6

108

Література ........................................................................................................................

109

Нехай функція y f x визначена в деякому околі точки x0

і нехай x0

x

– точка

цього околу, x 0. Якщо відношення

f x0

f x0 x f x0

x

x

має границю при x 0,

то ця границя називається похідною функції

f x

в точці

x0

і позначається

f x0 . Таким чином,

f x0

lim

f x0

lim

f x0 x f x0

,

(1)

x 0

x

x 0

x

тобто похідною функції

f x

в точці

x0

називається границя відношення (якщо

вона існує) приросту функції

f x

в точці x0 до приросту аргументу, коли приріст

аргументу прямує до нуля.

Якщо функція

f x

в точці

x0

має скінченну похідну, то вона називається

диференційовною в цій точці.

y

y f x

Якщо функція

y f x

диферен-

ційовна в кожній точці інтервалу , то

f x x

y

lim

f x x f x

f x lim

x

y

x 0 x

x 0

де

x

– приріст аргументу;

y

–

f x

приріст функції (мал.1).

x

Для того,

щоб в точці x0 існувала

0

x

x x x

похідна

функції

f x , необхідно

і до-

Мал.1

f

x f x

Якщо

x , то кажуть, що функція

f x має в точці x нескінченну

f

похідну.

Для позначення похідної функції y f x

використовуються й інші символи:

dy

df x

,

,

.

y ,

yx

dx

dx

y x0 ,

f x0 ,

df x0

.

dx

f 0 x f 0

lim

sin 0 x sin 0

lim

sin x

1.

f 0 lim

x

x

x

x 0

x 0

x 0

k tg f x0 ,

(2)

k tg limtg lim

f x0 x f x0

lim

f x0

f x0 .

x 0

x

x 0

x

1.1.3. Механічне тлумачення похідної

Нехай точка M рухається по прямій за законом S S t , де S

- довжина шляху,

взята від деякої початкової точки

M0

M

M1

V t lim

S

(3)

S t .

y lim

y

x

x

y

x

y .

E

x

:

lim

y

x

y x 0 x

y

x 0

y

Ty ln y

, тобто Ex

y x Ty .

y

визначається за формулою Ex y

x

y і показуєприблизно на скільки відсотків

y

змінюється попит (об’єм споживання) при зміні вартості на 1%.

Якщо еластичність попиту за абсолютною величиною

Ex y

1, то попит

вважають еластичним, якщо

Ex y

1 - нейтральним,

якщо

Ex y

1 -

нееластичним відносно вартості.

З курсу аналітичної

геометрії відомо,

y

y f x

що рівняння прямої, яка проходить че-

рез точку

M0 x0; y0

з кутовим коефі-

цієнтом,

що дорівнює k , має такий

f x0

дотична Т

вигляд:

нормаль N

Дотична

до

кривої

y f x

в

точці M0 x0; f x0

(мал.4) має кутовий

0

x0

x

Мал.4

коєфіцієнт k

f x0 .

Отже, рівняння

дотичної буде:

y f x0 f x0 x x0

(4)

Відзначимо,

що

коли

дотична

паралельна осі

Ox , то кут

її нахилу з

додатнім напрямком осі Ox дорівнює нулю і тоді tg f x0 0.

Якщо дотична в точці M0 x0; f x0

паралельна осі Oy,

то

90

і тоді

tg f x0 .

Пряма,

яка

перпендикулярна

до

дотичної

кривої

y f x в

точці

M0 x0; f x0 і проходить через точку

M0 ,

називається нормаллю до цієї кривоїв

k

2, одержимо

2 y 1 2x x 1

2

1

3

2

.

tg

1

4

1 2

2

значення u t0 до u0

u u t0 t . Тоді середня продуктивність труда за цей пері

од часу zсер

u

. Продуктивність труда в момент t0 можна визначити як граничне

t

значення середньої продуктивності за період часу від t0 до t0 t при t 0,

тобто

u

z lim zсер

lim

.

x 0

x 0 t

C const ;

(7)

C 0

u v

u

v

(8)

w

w

;

;

(9)

uv

u v uv

Cu ;

(9а)

Cu

u

1

u ;

(9б)

C

C

u

,

v 0;

(10)

v2

v

C

Cv

,

v 0;

(10а)

v2

v

df u

du x

yx yu

ux

або

dy

,

(11)

dx

du

dx

y f x

y f u ,

де u x ,

тобто y f x

nxn 1

(12)

nun 1u

(12а)

xn

un

1

1

x

(13)

u

u

(13а)

x

2

u

2

1

1

(14)

1

1

u

(14а)

x

x2

u

u2

cosx

(15)

cosu u

(15а)

sin x

sinu

sin x

(16)

sinu u

(16а)

cosx

cosu

1

1

tgx

tgu

cos2 x

(17)

cos2 u u

(17а)

1

1

ctgx

ctgu

sin2 x

(18)

sin2 u u

(18а)

ax lna

(19)

a 0, a 1

(19а)

ax

au

au lna u ;

ex

(20)

eu u

(20а)

ex

eu

1

1

ln x

(21)

lnu

u

(21а)

x

u

1

1

loga x

(22)

loga u

u ;

a 0, a 1

(22а)

xln a

uln a

1

1

arcsin x

(23)

arcsinu

u

(23а)