diff_calc_econ_ua

x

51

5. Асимптоти графіка функції

Пряма називається асимптотою кривої y f x , якщо відстань точки M x; f x , яка лежить на кривій, до цієї прямої прямує до нуля при x (при x ).

границі повинні існувати (бути скінченними). Якщо хоча б одна з границь не існує,

то крива не має похилих асимптот.

Зауважимо, що асимптота (наприклад, гіперболи) не має з нею спільних

точок, тобто не перетинає гіперболи. У загальному випадку асимптота кривої

y f x може перетинатись із цією кривою як у скінченній, так і в нескінченній множині точок.

Відзначимо також, що при k 0 одержуємо горизонтальну асимптоту y b

(мал.10).

Уміння знаходити асимптоти кривої полегшує побудову графіка функції.

Мал.10

Мал.8 Мал.9

Розв’язання прикладів

Розв’язання. Задана функція не існує при x 2. Оскільки

52

Підставляючи значення k 1 і b 7 в рівняння y kx b, одержимо y x 7.

Таким чином, пряма y x 7 - похила асимптота кривої.

1

Приклад 2. Знайти асимптоти кривої y x2 4x 5 .

Розв’язання. Задана функція визначена на всій числовій осі, оскільки знаменник дробу не обертається в нуль, бо D b2 4ac 16 20 4 0, а це означає, що функція неперервна.

Тому вертикальних асимптот не має. Обчислюючи значення k і b та підставляючи їх зна-

чення в рівняння y kx b, знаходимо

Отже y 0 (вісь Ox ) – горизонтальна асимптота.

53

15.Запишіть формули для знаходження параметрів рівняння похилої асимптоти.

16.При якому значенні k рівняння похилої асимптоти перетворюється на рівняння горизонтальної асимптоти?

17.За яких умов існують похилі і горизонтальні асимптоти кривої?

55

6.Інтервали монотонності і екстремуми функції. Найменше і найбільше значення функції на відрізку

1.Інтервали зростання і спадання функції

Кажуть, що функція y f x зростає (спадає) на інтервалі a;b D y , якщо для будь-яких двох значень аргументу x1, x2 a;b із умови x2 x1 випливає, що

f (x2) f (x1) ( f (x2) f (x1)).

Щоб знайти інтервали зростання та спадання функції, треба дослідити знак

Інтервали, на яких функція лише зростає або лише спадає, називаються інтервалами монотонності функції.

Зрозуміло, що встановити безпосередньо знак різниці f (x2) f (x1) не завжди легко, а тому при дослідженні функції на монотонність найчастіше використо-

вують похідну функції.

Функції, з якими ми матимемо справу, мають ту властивість, що їхню область визначення можна поділити на проміжки, в кожному з яких функція диференційовна. Для таких функцій відшукання проміжків монотонності зводиться

до дослідження на знак їхніх похідних.

Зауважимо,що відрізок a;b , інтервал a;b , півінтервали або піввідрізки

a;b і a;b називають проміжками і позначають a;b.

Якщо неперервна на проміжку a;b і диференційовна на інтервалі a;b

Зауважимо, що похідна зростаючої (спадної) функції може обертатись в нуль в деяких точках. Наприклад, функція f x x3 зростає в інтервалі ; , однак її

похідна дорівнює нулю в точці x 0.

y f x зростає (спадає).

56

2.Екстемуми функції

нерівність f (x) f (x0) ( f (x) f (x0)).

Максимум і мінімум функції в точці називають екстремумом цієї функції в цій точці. Екстремум функції в точці іноді називають локальним (місцевим)

екстемумом цієї функції в точці. Слово “локальний” (місцевий) має на меті підкреслити, що значення функції в точці x0 є найбільшим (нійменшим) порівняно не з усіма значеннями цієї функції в області її існування, а лише з тими її значеннями, яких вона набуває в точках, що лежать у досить малому околі точки x0 і відмінні від точки x0 .

Якщо функція f x в точці x0 має екстремум (максимум або мінімум), то похідна функції в цій точці дорівнює нулю або не існує (необхідна умова існування екстемуму).

Точка x0 називається критичною точкою першого роду, або просто критичною, якщо має місце одна із умов:

1)f x0 0;

2)f x0 ;

Мал.11

Геометрично ці умови означають, що в критичній точці дотична або пара-

лельна осі Ox , якщо виконується умова 1, або паралельна осі Oy, якщо виконуєть-

ся умова 2, або дотичної зовсім не існує (мал.11), якщо має місце умова 3. Точки, в

57

яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними.

Не кодна критична точка функції є точкою екстремуму цієї функції. Так з мал.11 видно, що точки x1 , x2 , x3 , x4 , x6 , x7 і x9 є екстремальними, причому в

мінуса на плюс, то мінімум, якщо ж похідна знака не змінює, то екстремума немає

(достаьня умова існування екстремуму).

При знаходженні інтервалів монотонності і екстремумів функції доцільно керуватися правилом, яке випливає із сказаного вище:

1)знаходимо область визначення функції;

2)знаходимо f x ;

3) знаходимо корені рівняння f x 0 і точки, де f x не існує (критичні точки

першого роду);

4)розставляємо одержані точки на числовій осі в порядку зростання;

5)визначаємо знак f x в кожному із одержаних інтервалів (для цього слід похідну розкласти на множники, якщо це можливо) і тим самим знаходимо інтервали спадання і зростання функції;

6)визначаємо, які із критичних точок є екстремальними (мал.12).

7)обчислимо значення функції в екстремальних точках, тобто знаходимо шукані екстремуми.

3.Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної

При класифікації екстремальних точок функції y f x можна використати також

її другу похідну.

58

Таким чином, для знаходження екстремумів функції за допомогою другої похідної треба:

1)знайти стаціонарні точки, тобто точки, в яких перша похідна дорівнює нулю;

2)обчислити значення другої похідної в одержаних точках;

і мінімум коли f (n) x0 0.

4.Найменше і найбільше значення функції на відрізку

Відомо, що неперервна на відрізку a;b і диференційовна в усіх точках цього від-

різка функція f x досягає свого найбільшого і найменшого значення або в критич-

них точках, або на кінцях відрізка. Тому для знаходження найбільшого і наймен-

шого значення функції f x на відрізку a;b слід користуватися таким правилом:

1)знаходимо критичні точки першого роду (не вдаючись в дослідження, чи будуть в них екстремуми і якого воду);

2)обчислюємо значення функції в усіх критичних точках, які належать інтервалу

a;b і на кінцях відрізка a;b ;

3)із одержаних значень вибираємо найбільше і найменше. Вони і будуть шуканими.

Розв’язання прикладів

Приклад 1. Знайти інтервали монотонності функції y x2e x .

Розв’язання. Функція визначена на всій числовій осі. Її похідна

y x 2xe x x2e x 1 x 2 x e x .

Знаходимо критичні точки першого роду: y x 0, якщо x 0 і x 2, y x .

59