Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diff_calc_econ_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

7. y xsin x .
7. y xsin x .	Відповідь: xsin x cosx

ln x	sin x
		.
	x

8. y 2x

2 ln x .

Відповідь: x

9. Переконатися у тому, що функція, задана параметрично

1 lnt

3 2lnt

задовольняє рівнянню y y 2x y 2 1,

де y

10.

Скласти рівняння дотичної і нормалі до лінії

x 2lnctgt 1,

y tgt ctgt

у точці, для якої t

Відповідь: y 2,

x 1.

y cos2t

11.

Знайти кутовий коефіцієнт дотичної і нормалі до лінії

x sint,

у точці,

для якої t

Відповідь: k

12.

Знайти кути, під якими перетинаються лінії x2 y2

8ax і

Відповідь: 45 і 90 .

2a x

13.

Обчислити значення похідної неявної функції

xy 2 у точці M 1;1 .

Відповідь: 0.

14.Знайти y при y 0, якщо xcos y sin y sin 2y 1.

Відповідь: -1.

15.

Переконатися у тому, що неявно

задана

функція

y e

перетворює

рівняння

y2 x2 y xyy в тотожність.

2.Диференціал функції та його застосування до наближених обчислень

1.Означення диференціала

Із означення похідної	y lim	y	і границі змінної випливає, що	y	y або
	x 0 x			x
y y x x, де 0.
Головна лінійна	відносно		приросту незалежної x частина приросту

диференційовної функції називається іі диференціалом і позначається символом dy

або df x . Таким чином, за означенням				df x f		або	dy y	x.
або df x . Таким чином, за означенням				df x f	x x	або	dy y	x.
Оскільки dx x x x, то
								(29)
		df x	dy y dx	f x dx,				(29)
звідки y	dy	df x	, тобто похідна	функції	в точці x		дорівнює відношенню
звідки y	dx		, тобто похідна	функції	в точці x		дорівнює відношенню
	dx	dx

диференціала цієї функції в цій точці до диференціала аргументу.

Як бачимо, знаходження диференціала функції зводиться до знаходження її похідної.

Операція знаходження диференціала функції, як і операція знаходження похідної, називається диференціюванням цієї функції.

2.Геометричне тлумачення диференціала

Нехай функція y f x диференційовна в точці x. Тоді в точці x; f x графік функції матиме дотичну (мал.7), нахи-

лену до додатнього напрямку осі Ox під кутом , tg f x . З мал.7 видно, що

AB MA tg f x x df x ,

тобто диференціал функції в точці x до-

рівнює приросту ординати дотичної до кривої y f x в точці x, коли незалежна змінна дістає приріст x .

Мал.7

3.Інваріантність форми диференціала

y f x

B		y
		y
A	dy

x x

Якщо x - незалежна змінна, а f x - диференційовна функція від x, то

df x f x dx.

Припустимо, що u x - диференційовна функція від x. Тоді складна функція y f x матиме похідну, яка дорівнює

yx fu u x x yuux .

Диференціал цієї складної функції запишемо у вигляді

dy yxdx fu u x dx fu u uxdx f u du .

Отже диференціал функції обчислюється за формулою


		df u f u du
незалежно від того,	буде u	незалежною змінною чи деякою диференційовною
функцією від x, тобто його форма залишається незмінною (інваріантною).
Слід зауважити,	що коли x - незалежна змінна, то dx x. Якщо ж x -
		і, отже, взагалі кажучи dx x.
функуія від t, то dx x t dt		і, отже, взагалі кажучи dx x.

4. Основні правила і формули диференціювання

З основних правил знаходження похідних випливають основні правила знаходження диференціалів, які мають такий вигляд:

d C 0;

d u v z du dv dz;

	d uv udv vdu ;
			d Cu Cdu ;
u				vdu udv
d						,	v 0;
				v2
v
		df u f			u du .

Слід пам’ятати, що в наведених правилах C const , а u , v і z -

диференційовні функції.

Оскільки диференціал і похідна зв’язані рівністю (29), то з таблиці похідних основних функцій дістаємо таблицю диференціалів цих функцій. Наприклад,

dxn nxn 1dx,

dsin x cosx dx,

dln x 1 dx , x

dex exdx

і т.д.

Зрозуміло, що немає потреби виписувати всі формули. Пропонуємо скласти

таблицю диференціалів основних елементарних функцій самостійно.

5.Наближені обчислення за допомогою диференціалів

При достатньо малих значеннях x

y dy або	f x x f x f		(30)
		x x,

де x x x0 .

Формулою (30) зручно користуватися тоді, коли відомо значення функції

f x в точці x0 і треба знайти її значення в точці x0 x, де x досить мале.

Розв’язання прикладів

Знайти диференціали даних функцій.

Приклад 1. S

1 t2

Розв’язання. За формулою (29) маємо

2tdt

1 t2 2

1 t2

Приклад 2. y tg2 x.

Розв’язання. За формулою (29) маємо

2tgx

dy tg2

x dx 2tgx

dx.

cos2

cos2 x

Приклад 3. y 5lntgx .

Розв’язання. За формулою (29) маємо

2ln5

dy 5lntgx dx 5lntg x ln5

dx 5lntgx ln5

dx 5lntg x

dx.

tgx cos2

sin xcosx

2sin2x

Приклад 4. y lntg

Розв’язання. За формулами зведення tg

ctg

Отже,

lntg

lnctg

Тепер згідно з формулою (29) будемо мати

dy lntg

ctg

sin

4cos

sin

2sin

Приклад 5. k

cos2

Розв’язання. За означенням

sin2

d d k

cos2

d k

sin2 2 d

d .

2 cos2

cos2

																																				1			1
																																				1			1								x
Приклад 6. Обчислити y					при						x 1						і			dx 0.2, якщо y 3x																							6					.
Приклад 6. Обчислити y					при						x 1						і			dx 0.2, якщо y 3x																				22x			6					.
Розв’язання. За формулою (29)																																								22x
Розв’язання. За формулою (29)
	1		2x													1								1							2x			ln2 2 6																	1
	1		2x			x										1								1							2x														x						1
dy 3x		2		6			dx 3x ln3																					2																				ln6					dx
																									2

																								x																											2
																								x																											2	x
											1
											1																			6		x
									3x					ln3 21 2x ln2																6				ln6					dx.
									3x					ln3 21 2x ln2																				ln6					dx.
											x2																	2				x

При x 1 і	dx 0.2 маємо
dy							1																												1
							1																												1
	x 1	3ln3							ln2 3ln6 0.2																		3ln3										ln2 3ln2 3ln3														0.2
	x 1	3ln3					2		ln2 3ln6 0.2																		3ln3								2		ln2 3ln2 3ln3														0.2
	dx 0.2						2																												2
			2.5 ln 2 0.2 0.5ln2 0.5 0.6931 0.34655																																							0.3466 .
Приклад 7. Замінюючи приріст функції диференціалом, наближено знайти arctg0.97.
Розв’язання. Нехай arctg0.97 є частинне значення функції y arctgx																																														при x 0.97.
Нехай x0 1. Тоді
			x x x					0	0.97 1 0.03;																		f x				f 1 arctg1																		.
			x x x						0.97 1 0.03;																		f x				f 1 arctg1																		.
																												0																	4
																																				1									4
Диференціюючи функцію y arctgx,																																				1
																			знаходимо																1 x2 .
																			знаходимо										f x						1 x2 .
При x0 1	f x0 f 1							1					1		.
При x0 1	f x0 f 1														.
						1 1					2
Застосовуючи формулу (30), одержимо
			arctg0.97															1		0.03 0.785 0.015 0.770.
			arctg0.97																	0.03 0.785 0.015 0.770.
											42					2
Таким чином, arctg0.97 0.770.

																	2.037 2						3
Приклад 8. Обчислити наближено																										.
Приклад 8. Обчислити наближено																	2.037 2						5			.

				2.037 2						3																															y			x2 3
Розв’язання. Нехай														є частинне значення функції																																				при x 2.037.
Розв’язання. Нехай				2.037 2						5				є частинне значення функції																														x2 5						при x 2.037.
Поклавши x0 2, обчислимо
																					1	і
		f x		f 2								4 3									1		x x x										0	2.037 2 0.037.
		f x		f 2																			x x x											2.037 2 0.037.
			0									4 5							3
												4 5							3
Знайдемо похідну функції							f x									x2			3			, а також її значення при xo																								2
Знайдемо похідну функції							f x															, а також її значення при xo																								2
																x2 5
							1							2x x2 5 2x x2 3																									1					8x

		f x				x2 3															x2 5 2																	x2 3 x2 5 2 ;
				2
				2		x2 5																																x2 5
																												16						16

																															.
													f x						f 2 3												.
																0												81						27
																												81						27

Тоді за формулою (30) маємо

	2.037 2	3		1		16	0.037 0.333 0.022 0.355.
	2.037 2	5					0.037 0.333 0.022 0.355.
	2.037 2	5	3		27

Приклад 9. Обчислити наближено приріст функції y x2 2x 3, коли x змінюється від 2

до 1.98.

Розв’язання. Приріст функції наближено дорівнює її диференціалу , тобто y dy. А тому спочатку загальний вираз для диференціала даної функції

dy 2x 2 dx.

Підставляючи значення x 2, dx x 1.98 2 0.02 в здобуту формулу, знаходимо значення диференціала:

dy 2 2 2 0.02 0.12.

Отже , шуканий приріст функції наближено дорівнює 0.12.

Приклад 10 .Обчислити y і dy для функції y x2 2x при x 3 і x 0.01.

Розв’язання. Спочатку знайдемо загальний вираз для y і dy ;

	y f x x f x x x 2 2 x x x2 2x
	x2 2x x x 2 2x 2 x x2 2x 2x 2 x x 2
						2
						2	2x x 2x 2 x.
			dy y x x				2x x 2x 2 x.
При x 3	і x 0.01 маємо
			2 3 2 0.01 0.01 2 0.04 0.0001 0.0401;
	y	x 3	2 3 2 0.01 0.01 2 0.04 0.0001 0.0401;
		x 0.01
					2 3 2 0.01 0.04.
			dy	x 3	2 3 2 0.01 0.04.
				x 0.01
Відзначимо, що різниця			y dy 0.0401 0.04 0.0001 є нескінченно малою вищого

порядку щодо x 0.01.

Питання для самоперевірки

1.Що називається диференціалом функції ?

2.Пригадайте формулу для знаходження фиференціала функції.

3.В чому полягає геометричне тлумачення диференціала?

4.Що означає поняття інваріантности форми диференціала?

5.Сформулюйте основні правила знаходження диференціалів.

6.Запишіть формулу , якувикористовують для наближених обчислень за допомогою диференціала.

Знайти диференціали даних функцій:

x3 1 1. y x3 1.

2. S gt2 .

3. y 2 cos x .

4. y 3 x2 3x3 4x .

5. y x 49 x2 49 arcsin x .

2		2			7
6. y	1	ln	x 6	.

12x 6

7.S asin t 0 .

8.r cos sin .

Вправи.

Відповідь:

6x2dx

1 2

Відповідь:

gtdt .

sin x

Відповідь:

2 cos x

ln2

dx.

cos2 x

Відповідь:

ln3 9x

dx.

Відповідь: 49 x2 dx.

Відповідь: dx . x2 36

Відповідь: a cos t 0 dt .

Відповідь: sin d .

9. y x3,

x t2

Відповідь:

6t t2 1 2 dt .

10.

Знайти і порівняти приріст і диференціал функції y x4

при x 4 і x 0.1.

Відповідь:

y 0.864,

dy 0.8.

11.

Обчислити значення диференціала функції y x3

2x, коли x змінюється від 1 до 1.1.

Відповідь: 0.5.

12.

За допомогою диференціала обчислити наближено f 1.05 , якщо

f x e0.1x 1 x .

Відповідь: 0.995.

Вказівка:

f x e0.1x 1 x

e0.1x 0.1x2 .

13.

Знайти наближене значення 4

Відповідь: 1.9938.

15.8

14.

Знайти диференціал функції y ln x2 1 arctg

в точці x 1, якщо x 0.1.

Відповідь: 0.125.

15.

Замінюючи

приріст

функції

диференціалом,

наближено

знайти:

arctg1.01;

2) arcsin0.4983;

3) e0.2 ;

4) ln0.97 ;

5) 3.03 5.

Відповідь: 1) 0.795;

2) 0.52164. Вказівка:

arcsin0.5

0.52360; 3)

1.2;

4) –0.03;

5) 255.15.

3. Похідні та диференціали вищих порядків

Нагадаємо, що за означенням

d2 y

- похідна другого порядку,

x dx2

d3y

x dx3

- похідна третього порядку,

(4)

d4 y

dx4

- похідна четвертого порядку.

Взагалі похідна від похідної n 1 -го порядку функції y f x називається

похідною n-го

порядку або n-ю похідною цієї функції і позначається f (n) x або

dn y

. Таким чином, за означенням

dxn

y(n) f (n) x

y(n) .

Аналогічно

dxn

d dy d

- диференціал другого порядку,

y y dx

d d

y d

- диференціал третього порядку.

y y dx

Взагалі

диференціал

від диференціала

n 1 -го порядку функції

y f x

називається диференціалом n-го порядку цієї функції. Отже, за означенням

dn f x d dn 1 f x або dn y d dn 1y .

Диференціал

n-го порядку функції y f x існує тоді і тільки тоді, коли

існує похідна n-го

порядку, тобто коли функція y f x n разів диференційовна.

Зв’язок диференціала n-го

порядку функції

y f x з похідною того ж порядку

цієї функції виражається формулою

dn f x f (n) x dxn або dn y y(n)dxn .

Зауважимо, що знаходження похідної від похідної або диференціала від диференціала називається повторним диференціюванням функції.

Раніше було показано, що коли точка рухається прямолінійно по закону

S f t , де S - пройдений шлях за час t, то її швидкість v виражається формулою

v t dt St .

Аналогічні міркування приводять до того, що прискорення цієї точки в момент t

a t lim	v		dv	v .
			dt
t 0 t					t
З іншого боку,					d2S

a t v St t		Stt				.
					dt2

Отже, при прямолінійному русі точки за законом S f t її прискорення в момент t дорівнює похідній другого порядку від шляху, тобто

a t S t .

Це твердження виражає механічне тлумачення другої похідної.

Покажемо на прикладах, як виконується повторне диференціювання функції при різних способах її задання.

Розв’язання прикладів і задач

Приклад 1. Знайти y , якщо y x2 13.

Розв’язання. Маємо функцію, задану явно. Послідовно диференціюючи її, одержимо: y 3 x2 1 2 2x 6x x2 1 2 .

6 x

2 x

1 2x

y y

6x x

6 x2 1 x2 1 4x2 6 x2 1 5x2 1 6 5x4 6x2 1 .

Приклад 2. Знайти похідну третього порядку від функції y cos2 x.

Розв’язання. Диференціюючи функцію послідовно три рази, знаходимо:

y cos2

2cosx sin x sin2x;

cos2x 2 2cos2x;

y y

sin2x

2 sin2x 2 4sin2x.

y y

2cos2x

2x 1

Приклад 3. Обчислити f

f x e .

0 , якщо

Розв’язання. Спочатку знайдемо

x , диференціюючи дану функцію двічі:

2x 1

2 2e

2x 1

x e

2x 1

2 4e .

x 2e

При x 0 будемо мати f

0 4e

Приклад 4. Знайти другу похідну від функції y ln x

1 x2

Розв’язання. Знаходимо першу похідну функції:

1 x

x 1 x

2 1 x

x 1 x

1 x

Диференціюючи y , знаходимо другу похідну функції

					2	1		1	2	3		x
					2			1	2			x
		y	1 x			2			1 x	2
						2				2	2x		.
											2x	1 x2 3	.
								2				1 x2 3
Приклад 5.	y2	2px. Знайти		d2 y			.
Приклад 5.	y2	2px. Знайти		dx2			.
				dx2

Розв’язання. Треба знайти другу похідну функції, яка задана неявно. Спочатку знайдемо

похідну першого порядку,

диференціюючи обидві частини по x

і вважаючи

y функцією

від x:

2yy 2p

або

yy p,

звідки y

Тепер за означенням маємо

y y

y .

Підставляючи в останнє рівняння замість y

вираз

, остаточно одержимо

y y3 .

Приклад 6. Знайти y , якщо y x arctgy .

Розв’язання. Продиференціюємо обидві частини рівняння по x, вважаючи y

функцією

від x:

y 1

y .

1 y2

Виконуючи перетворення y

y 1,

y 1

1, знаходимо

1 y

Тоді

y2 1 y

21 y2

1 y2

2y y

y5 .

Приклад 7. Знайти значення похідної другого порядку в точці 0;1 , якщо x4 xy y4 1.

Розв’язання. Маємо неявно задану функцію. Спочатку знайдемо загальний вираз похідної другого порядку даної функції. Для цьго двічі продиференціюємо обидві частини даного рівняння:

4x3 y xy 4y3 y 0.

12x2 y y xy 12y2 y 2 4y3 y 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.02.2016739.34 Кб5Confucianism.pdf
#
04.09.2019114.19 Кб2Cоц. опитування -соціологія політики.docx
#
28.02.2016757.61 Кб4Daoism.pdf
#
28.02.20161.87 Mб446Davnya_ukr_lit_Metodichka_2009.doc
#
04.09.201977.24 Кб14default.docx
#
28.02.20161.07 Mб6diff_calc_econ_ua.pdf
#
28.02.2016122.25 Кб5dilova.docx
#
28.02.2016750.08 Кб17Diplomna_Onischuk_Ivan_Viktorovich_Word.doc
#
28.02.201661.66 Кб28Doc1.docx
#
28.02.201658.87 Кб17Doc1.docx
#
18.12.2018203.26 Кб0dohodi.doc