Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diff_calc_econ_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

внаслідок диференціювання, бо сновна мета полягає в опануванні технікою диференціювання, а не в перевірці уміння робити тотожні перетворення.

При знаходженні похідних слід пам’ятати (за означенням):

a 0;

a n ,

a 0;

знати правила дії із степенями та коренями:

am an am n ;

m n

;

am n amn ;

a 0, b 0;

a 0, b 0.

n b

Тут m і n - будь-які раціональні числа.

Розв’язання прикладів.

Застосовуючи правила і формули диференціювання, знайти похідні функцій.

Приклад 1. y 3x2 5x 1.

Розв’язання. Застосовуючи послідовно правила (8), (7), (9а) і формулу (12), одержимо: y 3x2 5x 1 3 x2 5 x 0 3 2x 5 1 6x 5.

Приклад 2. y ax2 bx c.

Розв’язання. Як і в попередньому прикладі маємо:

y ax2 bx c a x2 b x 0 a 2x b 1 2ax b.

Приклад 3. y 2x 1 43. x

Розв’язання. Використовуючи послідовно правила (8), (9а), (7) і формули (13) і (14),

знаходимо:

		1				1		1	1	1		1	x	x	1

y 2 x			4	3 2	x		0 2									.
						x2							x2

	x							2 x x2			x x2

При знаходженні похідних в подібних прикладах проміжні дії можна

виконувати усно, записуючи лише остаточний результат диференціювання.

Наприклад,

y 2x3 5		3;	y 6x2	5	.
	x

				2 x

				2z3 3z
				2z3 3z						z 1									1

Приклад 4. f z													. Знайти					f					.
Приклад 4. f z							z						. Знайти					f					.
							z												4
														f																						1
Розв’язання. Знайдемо							спочатку										а		потім								обчислимо						її	значення при z .
Розв’язання. Знайдемо							спочатку									z ,	а		потім								обчислимо						її	значення при z .
Попередньо виконаємо тотожні перетворення																				f z :																4
Попередньо виконаємо тотожні перетворення																				f z :
											f z 2z2 3 z														1			1	.
																									2			1
																									2
Згідно з правилами (8), (9а), (7) і формулою (12):																												z
Згідно з правилами (8), (9а), (7) і формулою (12):
									2								12					1								1		3		1
									2								12					1								1		2		1
										3 z																4z					z
																																			.
				f z 2z																										2					.
	1																					z								2				z2
При z	1
При z
4																		3
					1				1					1 1				3				1
					1				1					1 1				2				1
				f
								4																			1 4 16 13.
								4													1						1 4 16 13.
					4				4					2 4							1			2
					якщо y x2 3x 3 x2																	4
Приклад 5. Знайти y ,					якщо y x2 3x 3 x2																	2x 1 .
Розв’язання. На основі правил (9), (8), (9а) і формули (12), одержимо:
												x2 2x 1							x2 3x 3 x2 2x
		y x2 3x 3										x2 2x 1							x2 3x 3 x2 2x															1
					2x 3 x2 2x 1 x2 3x 3 2x 2
		2x3 4x2 2x 3x2 6x 3 2x3 2x2 6x2 6x 6x 6
													4x3 3x2 8x 9.
			3t2 1
Приклад 6. S t															.
Приклад 6. S t						. Знайти S t									.

t 1

Розв’язання. Використовуючи послідовно правила (10), (8), (9а) і формулу (12), одержимо

1 t

t 1

6t t 1 3t2 1 1

6t2 6t 3t2 1 3t2

6t 1

t 1 2

Приклад 7. Знайти похідну функції y

Розв’язання. За правилом (10а) маємо

3 1

2 x3

2 3x2

6x2

x3 1 2

x3 1

x3 1 2

1 x3

. Знайти y .

Приклад 8. y

Розв’язання. На основі правила (9б) знаходимо

1 x3

3x2

1 x

0 3x

Приклад 9. S t	3		t2

	5 t		5		. Обчислити S 0 і S 2 .
	5 t		5

Розв’язання. Спочатку знайдемо S							t , використовуючи правила (8), (10а) і (9а)
				3		t	2		1 2		3			2t
				3		t		3 5 t	1 2		3			2t
										t
								2				2	.
S t								2	5		5 t	2	.
		5 t				5		5 t	5		5 t		5

Підставляючи значення аргументу t у вираз для похідної, одержимо:

												3				2 0			3
																5		25;
							S 0 5 0 2									5		25;
								3						2 2			1		4	17

														5		3		5 15 .
						S 2 5 2 2								5		3		5 15 .
												1 t .
											3

Приклад 10. Знайти z				0 , якщо z t t
Розв’язання. Перепишемо задану функцію у вигляді																						3					t			5	t. Тоді
Розв’язання. Перепишемо задану функцію у вигляді																		z t t				4		1 t			t			2	t. Тоді

	52		5	5	2															5
		t		t																	0 1 1.

z t t						1. При t 0 одержимо z												0		2
			2																	2										4		1
Приклад 11. Який кут утворює з віссю абсцис дотична до кривої y																														4	x5	1	x3, прове-
																															x5		x3, прове-
дена в точці з абзцисою x 1?																											15				9
дена в точці з абзцисою x 1?									4				1													4		1
Розв’язання. Знаходимо похідну y									4	x4			1		x2 . При x 1								y			4		1	1, тобто tg 1,
Розв’язання. Знаходимо похідну y										x4			3		x2 . При x 1								y		3				1, тобто tg 1,
звідки 45 .							3						3												3		3
звідки 45 .
Приклад 12. Знайти кут між дотичними до парабол																		y 8 x2						і		y x2				у точках їх пере-
тину.

Розв’язання. Розв’язуючи систему рівнянь

		2
y 8 x		знаходимо точки перетину пара-
	2

y x
бол:	M1 2;4		і M2 2;4 . Продиферен-
ціюємо рівності			y 8 x2 і y x2 :
y 2x,		y 2x. Знайдемо кутові кое-

фіцієнти дотичних до парабол в точці M1,

тобто значення похідних при x 2: k1 4, k2 4. Таким чином, згідно з формулою (6)

	4 4	8			8
tg			, звідки 1	arctg		.
	1 16	15			15

Аналогічно визначається кут між кривими в

точці M2 : 2	arctg	8	(мал.6).

	15

8 y 8 x2

М2М1

4 1

y x2

		0	2		x
-2

Мал.6

Приклад 13. В якій точці дотична до параболи y x2 перпендикулярна до прямої

2x 6y 5 0?

Розв’язання. Кутовий коефіцієнт дотичної до параболи y x2

в будь-якій її точці до-

рівнює

2x, а кутовий

коефіцієнт даної

прямої k

. За

умовою

перпендикулярності двох прямих

1. Звідси знаходимо

. Підставляючи

значення

в будь-яке із

заданих рівнянь,

одержимо

Таким

чином,

;

- шукана точка.

Приклад 14. Точка рухається по прямій так, що її відстань від початкового пункту через

час t дорівнює S 1t4 4t3 16t2 ; 4

а) в які моменти точка була в початковому пункті?

б) в які моменти її швидкість дорівнювала нулю?

Розв’язання. Виходячи із механічного тлумачення похідної за формулою (3), маємо

32t t t

12t 32 t t 4 t 8 .

v t S t

16t

12t

v t 0,

t t 4 t 8 0, знаходимо t1 0, t2 4

Розв’язуючи рівняння

тобто

і t3 8.

Точка буде в початковому пункті тоді, коли S t 0. Оскільки S

t4 4t3 16t2

t2 t2 16t 64

t2 t 8 2,

то

розв’язуючи

рівняння

t2 t 8 2

знаходимо

t1 0 і

t2 8.

Таким

чином, точка

була в початковому пункті при

t 0

і t 8,

а її

швидкість

дорівнювала при t 0, t

і t 8.

Приклад 15. Тіло масою 3 кг рухається прямолінійно за законом

S 1 t t2 , де S вира-

mv2

жено в сантиметрах, t

в секундах. Обчислити кінетичну енергію T

тіла через

5 с після початку руху.

Розв’язання. За формулою (3)

1 2t .

v t S t 1 t t

Через 5 с після початку руху швидкість тіла дорівнюватиме

v 5 11, а його кінетична

енергія

T 5

3 103 121

181.5 103

ерг.

Приклад 16. Залежність між витратами виробництва y та об’ємом продукції, що випуска-

ється, x виражається функцією y 50x 0.05x3 (грош.од.). Визначити середні й граничні витрати при об’ємі продукції 10 од.

Розв’язання. Функція середніх витрат виражається відношенням y							y	50 0.05x2			; при

					1		x
x 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють				y 10 50 0.05					102		45
				1
(грош.од.). Функція			граничних витрат виражається	за		допомогою			похідної
	2	; при	x 10 граничні витрати складають		10 50 0.15				10	2	35

y x 50 0.15x				y

(грош.од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45

грош.од., тоді граничні витрати, тобто додаткові витрати на виробництво додаткової продукції, при даному рівні виробництва (об’єм випуску продукції 10од.) складають 35

грош.од.

Приклад 17. Залежність між собівартістю одиниці продукції y (тич.грн.)				та випуском
продукції x (млрд.грн.) визначається функцією		y 0.5x 80. Знайти		еластичність
собівартості при випуску продукції, який дорівнює 60 млрд.грн.
Розв’язання. Еластичність собівартості
Ex y	0.5x	x	.
	0.5x 80
		x 160

При x 60 Ex 60 y 0.6, тобто при випуску продукції, який дорівнює 60 млрд.грн.,

збільшення його на 1% призводить до зниження собівартості на 0.6%.

Приклад 18. Об’єм продукції u , який виробляється бригадою робітників, може бути опи-

саним за допомогою рівняння

u	5	t3		15	t2 100t 50 (од.),	1 t 8,

6			2

де t - час роботи. Обчислити продуктивність праці, швидкість і темп її зміни через годину після початку роботи та за годину до її завершення.

Розв’язання. Продуктивність праці виражається за допомогою похідної

t 15t 100

(од./год.),

z t u t

а швидкість і темп зміни продуктивності - за допомогою похідної z

t та логарифмічної

відповідно:

похідної Tz t ln z t

t 5t 15 (од./год. ),

5t 15

2t 6

Tz t

z t

(год.-1)

z t

t2 15t 100

6t 40

У моменти часу t1 1

і t2 8 1 7 відповідно маємо: z 1 112.5

(од./год.), z 1 10

(од./год.2), Tz 1 0.09 (год.-1) і z 7 82.5 (од./год.), z 7 20 (од./год.2), Tz 7 0.24 (год.-1). Отже, до завершення роботи продуктивність праці суттєво зменшується; при цьому зміна знаку z t і Tz t з плюса на мінус свідчить про те, що збілення

продуктивності праці в перші години робочого дня змінюється її зниженням у останні години.

Приклад 19. Встановлено, що функції попиту q	p 8	й пропозиції S p 0.5, де S і q
	p 2

- кількість товару, який відповідно купують і пропонують до продажу за одиницю часу,

p - вартість товару. Знайти:

а) рівноважну вартість, тобто вартість, при якій попит і пропоциція врівноважені;

б) еластичність попиту й пропозиції для цієї вартості;

в) зміну прибутку при збільшенні вартості на 5% від рівноважної.

Розв’язання. а) Рівноважна вартість визначається з умови q S :

p 8

p 0.5,

p 2,

p 2

тобто рівноважна вартість дорівнює 2 грош.од.

б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції:

, E

p 2 p 8

2p 1

Для рівноважної вартості p 2 маємо Ep 2 q 0.3,

Ep 2 S 0.8. Одержані значення

еластичностей за абсолютною величиною менше 1, тому попит і пропозиція даного товару при рівноважній вартості нееластичні відносно вартості. Це означає, що зміна вартості не приводить до різкої зміни попиту та пропозиції. Отже, при збільшенні вартості p на 1%

попит зменшується на 0.3%, а пропозиція збільшується на 0.8%.

в) При збільшенні вартості p на 5% від рівноважної попит зменшується на 5 0.3 1.5%,

отже, прибуток зростає на 3.5%.

Питання для самоперевірки

1.Що називається приростои аргументу і приростом функції?

2.Дайте означення похідної функції.

3.Сформулюйте необхідну і достатню умови існування похідної функції в точці x0 .

4.Пригадайте правило, яке застосовують для безпосереднього знаходження похідної функції.

5.У чому полягає геометричне тлумачення похідної?

6.Яке механічне тлумачення має похідна?

7.Запишіть рівняння дотичної та нормалі до кривої.

8.Що називають кутом між двома кривими?

9.Сформулюйте основні правила диференціювання функцій.

10.Напишіть таблицю похідних основних елементарних функцій.

Вправи

Продиференціювати функції:
1.	y 3			3		.													Відповідь:				1		.
		x			2																		1
		x			2
				x3						1 .												3 3		x2						1
2.	y																		Відповідь: 3.5x2								1						.
		x						x																	x
		x						x																	x
																			.										2			x
	f x 3x 2																	2
3.							x . Знайти				f				f			2
3.							x . Знайти				f	1,	f 4 ,		f	a											3
											Відповідь:			f		2,				f			f		2					1		.

															1						4 2.5,			a						\| a \|
																														\| a \|
			t2 5t 1												,		1

4.	f t								. Знайти		f		f			f				.
4.	f t								. Знайти		f	1,	f	2		f				.
				t2													a
																						19				1					4			3	2
											Відповідь:			f			8,						,	f				3a				10a			a .

															1						f 2	16
																						16				a

	u	v5
5.				.
5.		v3		.
		v3	2
6.	z		1			.
6.	z					.
		t2 t 1
7.	y x 1 x				3		5
7.	y x 1 x						5

	2v4 v3 5
Відповідь:				.
	v3		2 2
			2t 1
Відповідь:					.
		t2	t 1 2

1. Знайти y 1 і y a .

Відповідь:		1 16,		2		2	1.
					a3
	y		y a 15a

8.
		1 2 . Знайти					Відповідь:
					2 і	0 .
				f			f x 4 5x 2x	3

9. Показати, що f a					a , якщо
10.	sin cos .						Відповідь:
11.	S	sint	.				Відповідь:

	1 cost
12.	y x2 2x 3 ex .						Відповідь:
13.	y x3 3x .						Відповідь:
14.	y ex cosx sin x .						Відповідь:
15.	y x2 log3 x .						Відповідь:

		5		0 1.

	2	9	,
		9
x5 .

cos .

1 cost

x2 1 ex .

3x2 3x ln3.

2ex cosx.

2xlog3 x ln3.

16.

Відповідь:

ln x

x ln2 x

17.

Скласти рівняння дотичних до лінії y x

в точках її перетину з віссю абсцис.

Відповідь: y 2x 2;

y 2x 2.

18.

Скласти рівняння нормалі до лінії y

x2 3x 6

в точці з абсцисою x 3.

Відповідь: 27x 3y 79 0.

19.

На лінії y x2 x 2 2

знайти точки, в яких дотичні паралельні осі абсцис.

Відповідь: O 0;0 ,

M1 1;1,

M2 2;0 .

20.

Показати, що лінія y x5 5x 12 в кожній із своїх точок нахилена до осі Ox під

гострим кутом.

21.

Під яким кутом перетинаються лінії y

Відповідь: arctg3.

22.

Тіло рухається вздовж прямої за законом S 5t3

1, де шлях S визначається в метрах,

а час t

в секундах. Якою була швидкість через 2 с після початкуруху?

Відповідь: v 60м/с.

23.

Колесо обертається так, що кут повороту пропорційний квадрату часу. Перший оберт

був зроблений за 8 с. Знайти кутову швидкість через 32 с після початку руху?

Відповідь: 2 рад/с.

24.

Заряд, що протікає через провідник,

починаючи з моменту часу t 0 зображується

формулою Q 2t2 3t 1 (Кл). Знайти силу струму в кінці п’ятої секунди.

Відповідь: 23А.

25.

Залежність між кількістю x речовини, одержуваної в деякій хімічній реакції, і часом t

виражається рівнянням x a1 e kt . Визначити швидкість реакції.

Відповідь: k a x .

26.

Об’єм продукції u

(ум.од.) цеху протягом

робочого

дня представляє функцію

u t3

5t2 75t 425,

де t -

час (год.). Знайти продуктивність праці через 2 години

після початку роботи.

Відповідь: 43 од./год.

27.

Залежність між витратами

виробництва

y (грош.од.)

і об’ємом продукції, що

випускається, x виражається функцією

y 10x 0.04x3 . Знайти середні й граничні

витрати при об’ємі продукції, який дорівнює 5 од.

Відповідь: 9 грош.од.; 7 грош.од.

28. Функції попиту q й пропозиції S від вартості p виражаються відповідно рівняннями: q 7 p і S p 1. Знайти:

а) рівноважну вартість;

б) еластичність попиту й пропозиції для цієї вартості;

в) зміну прибутку (у відсотках) при збільшенні вартості на 5% від рівноважної.

Відповідь: а) 3 грош.од.; б) Ep q 0.75; Ep S 1; в) 1.25%.

5.Диференціювання складної функції

Нагадаємо, що коли y y u	і	u u x	- диференційовні функції, то складна
функція y y u x є також диференційовною, причому
yx	yu	ux або		dy	dy	du	.

				dx du dx

Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого скінченного числа диференційовних функцій: похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, які її складають.

Розв’язання прикладів

Продиференціювати дані функції. Приклад 1. y x2 1 4 .

Розв’язання. Маємо складну степеневу функцію з проміжним аргументом u x2 1. Тому функцію можна подати у вигляді y u4 , де u x2 1. За формулою (11)

yx yu ux u4 u x2 1 x 4u3 2x 8x x2 1 3.

Приклад 2. y sin3x.

Розв’язання. Аргументом даної функції є не x а 3x (функція від x). Отже маємо складну функцію, яку можна подати у вигляді y sinu, де u 3x. Тоді за формулою (11)

yx sinu u 3x x cosu 3 3cos3x.

Приклад 3. y ln2 x ln x 2 .

Розв’язання. Це складна степенева функція з проміжним аргументом u ln x. Функція

може бути подана у вигляді y u2 , де u ln x. Знаходячи похідні yu							і ux та підставляю-
чи одержані вирази до формули (11), маємо		1			2ln x
yu 2u 2ln x,	ux		,	yx		.
		x
					x

Приклад 4. y 3sin x .

Розв’язання. Подавши дану функцію у вигляді y 3u , де u sin x , за правилом диферен-

ціювання складної функції маємо

3u ln3 cosx

3sin x cosx ln3.

Приклад 5. y arctgx2 .

Розв’язання. Покладемо y arctgu, де u x2 . Тоді

yx arctgu u

1 x4

1 u

Приклад 6. y e

ln x

Розв’язання. Подавши функцію у вигляді

y eu ,

v ln x і скориставшись пра-

вилом диференціювання складної функції одержимо

lnx

yx yu uv

vx e

v v ln x x

2 v

ln x

Приклад 7. y 1 sin2

x 4 .

Розв’язання. Покладемо y u4,

u 1 v,

v z2,

z sin x.

Тоді за правилом диферен-

ціювання складної функції

yx yu uv vz zx u

0 1 2z cosx

1 v v

z sin x x

41 sin2 x 3

2sin x cosx 41 sin2

x 3 sin 2x.

Розв’язання цього прикладу коротко можна записати так:

yx 41 sin

1 sin

41 sin

0 2sin x

sin x

41 sin2 x 3

2sin x cosx 41 sin2 x 3 sin 2x,

або ще коротше : y 41 sin2

x 3

0 2sin x cosx 41 sin2 x 3 sin 2x.

Приклад 8. y log3 x2 1 .

Розв’язання. За формулою (22а) знаходимо

x2 1 ln3

1 x2 1 ln3.

Приклад 9. y ln4 sin x lnsin x 4 .

Розв’язання. Застосовуючи послідовно формули (12а), (21а) і (15), матимемо

y 4 lnsin x 3

cosx 4ln3 sin x ctgx .

sin x

x 3

Приклад 10. y 3 lnsin

lnsin

Розв’язання. Як і в попередньому прикладі, маємо

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.02.2016739.34 Кб5Confucianism.pdf
#
04.09.2019114.19 Кб2Cоц. опитування -соціологія політики.docx
#
28.02.2016757.61 Кб4Daoism.pdf
#
28.02.20161.87 Mб446Davnya_ukr_lit_Metodichka_2009.doc
#
04.09.201977.24 Кб14default.docx
#
28.02.20161.07 Mб6diff_calc_econ_ua.pdf
#
28.02.2016122.25 Кб5dilova.docx
#
28.02.2016750.08 Кб17Diplomna_Onischuk_Ivan_Viktorovich_Word.doc
#
28.02.201661.66 Кб28Doc1.docx
#
28.02.201658.87 Кб17Doc1.docx
#
18.12.2018203.26 Кб0dohodi.doc