Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diff_calc_econ_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Нанесемо площину всі характерні точки функції y e	1
Нанесемо площину всі характерні точки функції y e	x x і використавши всі її згадані
вище особливості, накреслимо графік цієї функції (мал.22).
y
x=0

1.5

-1 -0.5

y	+			∞	+	0	–
				0		1.5	x
y
y	–			∞		–
				0			x
y	перегин
y	–	0	+	∞		+
		-0.5		0			x
				Мал.22

Приклад 2. Провести повне

дослідження

функції y

, побудувати

її графік за

3 x2

результатами дослідження.

Розв’язання. Слідуючи запропонованій схемі, маємо:

1. 3 x2 0; x

;

D y ;

3; .

і x

– точки розриву.

;

– інтервали

неперервності функції.

y x

x 3

y x . Отже, y x

– функція непарна. Її графік розташо-

3 x 2

3 x2

ваний симетрично відноснопочатку координат, тому подальші дослідження досить проводити для x 0.

4. При x 0

y 0, при y 0

x 0, тобто графік функції проходить через точку O 0;0

– початок координат.

y 0

при

x 0,

y при

;

y 0

в інтервалі

y 0

в інтервалі

3; (мал.23).

+ ∞

–

x 3 – точку розриву функції.

0 3

lim y

lim

0 2

Мал.23

x 3 0

3 0 3 x2

3 0

0 3

lim y

lim

;

x 3 0

x 3 0 3 x2

x 3 0

3 x

x 3 0

3 3 0 3 3 0

– вертикальна асимптота.

Знаходимо похилі асимптоти y kx b,

де

k lim

lim

x x

x x 3 x2

x 3 x2

оскільки степені многочленів чисельника і знаменника однакові.

x3 3x x3

lim y kx lim

lim

3 x

x 3 x

оскільки степінь многочлена чисельника менша степеня многочлена знаменника.

Отже y x – похила асимптота.

3 x

9 3x

9 x

7. y

3 x

3 x2

y 0, якщо

x2 9 x2 0,

звідки x 0;

екстр.

точка

мах

немає

розриву

x 3.

∞

+ 0

–

y , якщо

3 x2

0, звідки x

;

ymax

при x 3

(мал.24).

Мал.24

3 9

18x 4x

3 x

2 3 x

2x 9x

8. y x

3 x

2x 9 2x2

3 x2 2 4x 3 x2 9x2 x

2x 3 x2 27 9x2 6x2 2x4 18x2 2x4

3 x2 4

2x 27 3x

6x 9 x

точка

перегин розриву

3 x

2 3

3 x

∞

–

y x 0, якщо x 0; y x , якщо

yперегин

при x 0 (мал.25).

Мал.25

Зауважимо, що в зв’язку з тим, що точка x 0

знаходиться на межі півінтервалу [0; ), в

якомудосліджуєтьсяфункція,виникланеобхідністьдослідитизнак y

і y напівінтервалі

3;0 .

9. Будуєто графік функції за результатами дослідження (мал.26).

4.5

x 3

y x

-3

-4.5

x 3

∞

–

екстр.

точка

немає

розриву мах

∞

+ 0

–

перегин

точка

розриву

∞

–

Мал.26

Приклад 3. Провести повне дослідження функції

і побудувати її графік за

результатами дослідження.

Розв’язання. 1. x2 1 0, звідки x 1;

D y ; 1 1;1 1; .

2. В інтервалах ; 1 , 1;1 і 1; функція неперервна,	x 1	і x 1 – точки розри–
ву функції.

3. y x	x 2	x2	y x , отже	y x – парна функція, її графік розташований си-
	x 2 1	x2 1

метрично відносно осі Oy – тому досить провести подальші дослідження лише для x 0.

4. При x 0,

y 0,при y 0

x 0,тобтографікфункціїпроходитьчерезпочатоккоординат.

5. y 0

при

x 0,

y при x 1;

–

∞

y 0 для x 0;1 і y 0 для x 1;

(мал.27).

6. x 1 – точка розриву функції.

Мал.27

1 0 2

lim

;

x 1 x 1

1 0 1 1 0 1

x 1 0

x 1 0 x2 1

x 1 0

lim

1 0 2

;

2 1

x 1 x 1

1 0 1 1 0 1

x 1 0

x 1 0 x

x 1 0

x 1

– вертикальна асимптота. Оскільки

мах

точка

k lim

lim

розриву

y ∞

–

x x

x x x2

x x2 1

b lim y kx lim

-1

Мал.28

x x

то пряма y kx b,

тобто y 1 – горизонтальна асимптота.

2x x

1 2x x

2x x

1 x

7. y

x2 1

y 0, якщо x 0;

y 0, якщо x 1;

ymax 0

при x 0 (мал.28).

12x x

1 x

1 4x

2 3x

2 x

8. y

y 0; y при x 1. Результати дослід-

ження зображені на мал.29.

9. Будуємо графік функції (мал.30) за резуль– татами дослідження і додатковими точками:

	1	1		y 1.5 1.8,	y 2	4
y			,				.
	2	3				3

y	перегину	точка
y	немає	розриву
y ∞	0		–
y ∞	–	+	–
-1	0	1	x

Мал.29

9. Застосування похідної в економічній теорії

Розглянемо деякі приклади застосування похідної в економічній теорії. Чисельні закони теорії виробництва й споживання, попиту і пропозиції є прямими наслідками математичних теорем.

Розглянемо економічне тлумачення теореми Ферма. Один із базових законів теорії

виробництва формулюється таким чином: оптимальний для виробника рівень випуску товару визначається рівністю граничних витрат і граничного прибутку. Тобто рівень випуску x0 являється оптимальним для виробника, якщо MS x0 MD x0 , де MS –

граничні витрати, а MD – граничнай прибуток.

Позначимо функцію прибутку через C x . Тоді C x D x S x . Очевидно, що оптимальним рівнем виробництва є той, при якому прибуток максимальний, тобто таке значення випуску x0 , при якому функція C x має екстремум (максимум). За теоремою

Ферма в цій точці C x 0. Але C x D x S x , тому D x0 S x0 , тобто

MD x0 MS x0 .

Інше важливе поняття теорії виробництва – це рівень найбільш економічного ви-

робництва, при якому середні витрати через виробництво товару мінімальні. Відповідний економічний закон формулюється так: рівень найбільш економічного виробництва визна-

чається рівністю середніх і граничних витрат.

Одержимо цю теорему через наслідок теореми Ферма. Середні витрати AS x

визначаються як S x , тобто витрати по виробництву товару, поділені на його кількість. x

Мінімум цієї величини досягається в критичній точці функції y AS x , тобто за умовою

				S
	x	S x S	0, або S	S	, тобто MS x AS x .
AS	x	x2	0, або S	x	, тобто MS x AS x .

Поняття опуклості графіка функції також знаходить свою інтерпритацію в еконо-

мічній теорії. Один із найбільш відомих економічних законів – закон спадної прибутко-

вості – формулюється так: зі збільшенням виробництва додаткова продукція, яка одержа-

на на кожну нову одиницю ресурсу (трудового, технологічного й т.д.), з деякого моменту спадає.

Інакше кажучи, величина y , де x – приріст ресурсу, а y – приріст випуску

продукції, зменшується при збільшенні x. Таким чином, закон спадної прибутковості мо– же бути записаний так: функція y f x , яка виражає залежність випуску продукції від вкладеного ресурсу, є функцією, графік якої опуклий.

Іншим базисним поняттям економічної теорії є функція корисності u u x , де x –

товар, а u – корисність. Ця величина дуже суб’єктивна для кожного окремого споживача,

але достатньо об’єктивна для суспільства в цілому. Закон спадної корисності звучить таким чином: зі збільшенням кількості товару додаткова корисність від кожної нової його одиниці з деякого моменту спадає. Очевидно цей закон можна переформулювати так:

графік функції корисності є опуклим. При такому формулюванні закон спадної корисності є відправною точкою для математичного дослідження теорії попиту й пропозиції.

Додатки

Додаток 1

Завдання. Знайти похідну від заданих функцій.

Варіант 1

1.	S 5t3 t2 .						ctg	1
2 r sin cos .						6.	y 3	x .
							y arcsin 1 x
						7.			2x x2 .
		x2
3.	y		.			8.	y lnln 3 2x2 .

		ln x				9.	y x4 1 2x3 2 .
4.	y arctg			4x 1	.
5.	y cos2 x2 .					10. f t tsin 2t .

Варіант 2

1. y arccosx3.

2 y esin 2x .

3.y 4x x4 .

4.y ln x2 5x 6 .

5. y 1 cos2x 3 .

1. y x2 ln x.

sin x

2 y 3 4 .

3.y cos 3 4x .

4.y 2x2 7 3.

5.y x4 2x 3.

1. y ecos2 x .

2 y lnln x2 1 .

3.y 3 2sin x 5.

4.y x ln2.

6.y 5lg3 4x 1 .

7.y e x2 ln x.

8.S t 1 e4t .

9.y 3sin2 x sin3 x.

1ex

10.y 1 ex .

Варіант 3

6.y sin2 x . cosx

7.y x2 2x 2 e3x .

8.y ln x 1 ln x 1 .

9.y arctg1 x .

10.S t 3sin3 t3 .

Варіант 4
6. f t	1	1	.
	3cos2 t
		cost

7.y x3 2 .

8.z t t3 1 t.

9.y 10x tg x .

5. y arctgx arcsin x 3 .

1. S t	t3	.
	1 t 2

2 y 3sin 3x 5 .

3.y 1 cos2 x 4 .

4.y tg 2x .

5.y x2 log3 x.

1. y 5 tgx x2 .

2 y . ex 1

3.y xx 3ln x 2 .

4.y 2x3 5 7 .

5.y arctgln3x .

1. r 2cos2 2 . 2 y ctgx .

3.z 41 cosx4 .

4.S t sin3t cos3t .

5. y ln .

1 x2

1. S t t		10.
	2t 1
2 y 3
	2 x5 .

3.y x3e2x .

4.y ln 11 ex 2 .

5. y arctg 1 . x

10. y 5ctg 5x ctg 8 .

Варіант 5

6.y 32x 3 .

7.y earcsin 2x .

8.y ln x2 4x .

9.y sin2 x sin x2 .

10.y 5 arctgx ln 1 x2 .

Варіант 6

6. y sin x .

1 lnsin x

7.y cos 3x 2 .

8.S t ln 2t3 3t2 .

9.y ctg4 x .

10. y ex 2arcsin3x .

Варіант 7

6.y 33x 2 .

7.y arcsin sin x .

8.y 3 2x3 3 5 .

9.y x4 1 e6x .

10.y arctg4 2x 1 .

Варіант 8

6.y 3cos x2 .

7.y 5sin 2 3x .

8.y arcsin x .

9.r tg tg .

10.y ylog5 3x 4 t .

1. r sin3 3 cos3 2 .

2 y 3 2x .

3 2x

3.y ln 10x x2 .

4.y ex x3 3x2 .

5.y 72x 3 5 .

1. y cos 6x 1x .

2 y cos2 x ln tg x . 2

3.y 7sin3 x .

4.y ctg xsin x .

5.y cos2 x2 .

1. y ex lnsin x.

2 f x 5ctg 3 4x .

3.y 2tg2 x .

4.y log5 x2 4x .

5. S t 3tt 1.

1.	y cos2 6x 7 .
2	y xe1 cos x .
3.	y		1	.

		tg8 2x
4.	f t lg t cost .
5.	r				.
			1 2

1. S t 31 2tgt .

Варіант 9
6.			x
			2
	y ctg x e			.

7.	y 5log5 x3		1 .
8.	y 6arccos3x .
9.	y cos 3x 3 x .
10. y tg 3x 1 3.
Варіант 10
6.	ctg	1
	y 3	x .

7.y arcsin 1 x 2x x2 .

8.y lnln 3 2x2 .

9.y x4 1 2x3 2 .

10.f t tsin 2t .

Варіант 11

6.y 1 3tg2x .

7.y cos x3 3x .

8.y eln x .

9.y 9arcsin 4x.

10.y arccos1 3x .

Варіант 12

6.y sin3 cos3x.

7.y 14ctg4 x.

8.y arcsin 3x .

9.y ctg31 x2 .

10.y x arctgx .

Варіант 13

6. y 12arcsin 2x .

2 y arcctg6x 1.

3.y log53 cosx.

4.y ln x3 sin 2x .

	y	x2
5.			.
5.			.
	1 5x
1.	S t	1 tg4 t		1 tg2 t .
		4		2
2	y ln e2x 1 2arctgex .

3.y log34 sin3x 1 .

4.y x2 ctg 4x .

5.y 5x4 3 7 .

1. y ln e 2x xe 3x . 2 y 6cos2 x 7.

3.y arctg3x2 .

4.y tg3 7x 1 .

5.r 2 2 3 .

1. y 1 x2 arctgx. 2 y 5sin 3x ctg 3x 4 .

3.y arccos2 5x .

4.S t ln tg7t.

5.y 1 x2 .

1. y 3ln x 3ln x . 2 S t et 1 t .

3. y ln sin3 4x arctg 4x .

7.	y 2cos x3 .
	y sin	4	x2
8.				1 .

			4

9.y 3 5e2x .

10.y 12 x3 6 5 .

Варіант 14

6.y sinx x .

7.y 1 7tg x .

8.r 2cos cos2 .

tg1

9. y 2 x .

10. y 3ectgx .

Варіант 15

6.S t t2t1.

7.y lg x3 3ln x .

8. y 1 . sin2 5x

9.y 3tg5x .

10.y arcsin x3 5 .

Варіант 16

6.y x 12cos2x.

7.y ctg 3x 2 .

cos	5	x

8. y e	2 .

9.f t 51 t2 3 .

10.y x2 tg 4 .

Варіант 17

6.y 1 x2 .

1x2

7.f x 1 cos5 3x 3 .

8.y cos 3xsin 2 .

4.y 7e x3 .

5.y lg ex .

1. y x3 ln x2 5 .

			x
	tg
2 y 3		4	2
				.

3.y 3lg2 4x.

4.f x 12 e3x 5 .

5.y x2 4 x .

1.	y ln	4x2 1.
2	y 1 arctg5x.
	2		x
3.	sin2
	y e	2 .

4.y 5x2 3x 4 .

5.y 3log4 2x 1 .

1. y ln x 1 x2 . 2 f x aarcsin 3x .

3.y 2tg x2 .

4.r 1 3cos . sin 2

5.y 4x arctg3 x.

1. y 1 x2 arctgx. 2 y sin 3ln2 x .

3.y 23 tg3 x 15 tg5 x.

4.y 7ln 1 3x .

5.S t sint tcost .

9.r 14 4 13 3 .

10.y sin 2x .

Варіант 18

6. y arcsin 2x 1 .

7. S t t t 2.

8.y 2sin x4 .

9.y 6cos7x 5 3.

10.y 4e4x 5 2 .2

Варіант 19
6. r	2	.
6. r	1 2	.
	1 2

7.y 3ctg x .

8.S t e2t sin3t.

9.y 5tge5x .

10.y arcsin 3x .

Варіант 20

6.y ln 1 log3 x .

7.y 2ctg 8x 1 .

8.y 5e1 3x .

9.y cos 6 3x .

10.S t sin3 2t t2 .

Варіант 21

6.y 12xx .

7.y 34x2 12 .

8.f x e1 3x2 .

9.y x2 cos 5x .

10.y 2log3 cosx .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.02.2016739.34 Кб5Confucianism.pdf
#
04.09.2019114.19 Кб2Cоц. опитування -соціологія політики.docx
#
28.02.2016757.61 Кб4Daoism.pdf
#
28.02.20161.87 Mб446Davnya_ukr_lit_Metodichka_2009.doc
#
04.09.201977.24 Кб14default.docx
#
28.02.20161.07 Mб6diff_calc_econ_ua.pdf
#
28.02.2016122.25 Кб5dilova.docx
#
28.02.2016750.08 Кб17Diplomna_Onischuk_Ivan_Viktorovich_Word.doc
#
28.02.201661.66 Кб28Doc1.docx
#
28.02.201658.87 Кб17Doc1.docx
#
18.12.2018203.26 Кб0dohodi.doc