2. Вибіркова середня, вибіркова дисперсія та виправлена дисперсія кількісної ознаки. Яким вимогам до точкових оцінок вибірки вони задовольняють? (10 балів)

Означення. Вибірковою середньою або вибірковою зваженою середньоарифметичною називають середню арифметичну варіант вибірки із урахуванням їх частостей і позначають

,

де - об’єм вибірки,- кількість різних варіант,- частоти варіант(). Аналогічно визначаєтьсягенеральна середня або генеральна зважена середньоарифметична із заміною об’єму вибірки на- об’єм генеральної сукупності і позначається.

Вибіркова середня є аналогом математичного сподівання і використовується дуже часто. Вона може приймати різні числові значення при різних вибірках однакового об’єму. Тому можна розглядати розподіли вибіркової середньої та числові характеристики цього розподілу. Неважко довести, що:

Теорема. Вибіркова середня є незсунутою, ефективною та обгрунтованою точковою оцінкою для генеральної середньої. Іншими словами, вибіркова середня є статистикою, яка задовольняє всі умови точкового оцінювання, для параметра – генеральної середньої кількісної ознаки.

Означення. Вибірковою дисперсією називають середню (зважену) квадратів відхилення варіант від вибіркової середньої:

.

Зауважимо, що для спрощення обчислення вибіркової дисперсії можна застосовувати формулу: .

Означення. Вибірковим середньоквадратичним відхиленням (стандартом) називають квадратний корінь із вибіркової дисперсії .

Можна показати,що:

Вибіркова дисперсія є ефективною, обгрунтованою, алеЗСУНУТОЮ точковою оцінкою для генеральної дисперсії .

Зауваження. Вибіркова дисперсія дає занижені оцінки для генеральної дисперсії, але . Тому вибіркову дисперсію виправляють так, щоб вона стала незсунутою оцінкою. А саме, вводять так званувиправлену вибіркову дисперсію

.

Очевидно, що при достатньо великих об’ємах вибірки ( ) вибіркова дисперсія та виправлена вибіркова дисперсія різняться дуже мало, тому в практичних задачах виправлені вибіркові дисперсію та стандарт використовують лише при об’ємах вибірок.

№ 10

1. Сформулювати центральну граничну теорему (8 балів). Довести інтегральну теорему Муавра-Лапласа (12 балів ) та її частинні випадки (10 балів).

Наслідок (центральна гранична теорема). Зокрема, якщо всі ВВ однаково розподілені, то закон розподілу їх суми при необмежено наближається до нормального.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Для біноміально розподіленої ДВВ - частоти появи подіїз імовірністюв серії ізНПВ справедлива наближена формула:

,

де - інтегральна функція Лапласа, .

Доведення.

Частинні випадки інтегральної теореми Муавра-Лапласа . Для частоти та частості появи події з імовірністюв серії ізНПВ справедливі наближені формули:

,

.

2. Прості та складні статистичні гіпотези. Похибки першого та другого роду (10 балів)

Гіпотези можуть містити тільки одне припущення ( прості ) або більше одного припущення ( складні ). Наприклад, якщо - параметр показникового розподілу, то гіпотеза- проста, а гіпотеза- складна (містить нескінченну множину гіпотез).

Статистична гіпотеза, яка висунута, може бути правильною або неправильною, тому виникає необхідність її статистичної перевірки (перевірка за даними вибірки). При цьому за даними випадкової вибірки можна зробити хибний висновок.

Означення. Якщо за висновком буде відкинута правильна гіпотеза, то кажуть, що це похибка першого роду.

Означення. Якщо за висновком буде прийнята хибна гіпотеза, то кажуть, що це похибка другого роду.

Відмітимо, що наслідки похибок другого роду більш небезпечні, ніж наслідки похибок першого роду.

Означення. Імовірність здійснити похибку першого роду називають рівнем значущості.