1. Означення інтегральної функції розподілу (5 балів ) та доведення її властивостей (25 балів).

Означення. Інтегральною функцією розподілу ВВ називається імовірність того, що ВВ прийме значення, менше від числа , тобто

Ця функція повністю характеризує ВВ з імовірнісної точки зору, тобто є однією із форм закону розподілу. Тепер можна дати чітке означення ДВВ та НВВ. Графік інтегральної функції розподілу ВВ зображений на рис.

ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ

Всюди надалі вважається, що інтегральна функція визначена .

1. Значення функції належать проміжку , тобто, причому.

Доведення.

2. Функція є неспадною, тобто .

Доведення.

Наслідок ( основна формула теорії ймовірностей) :

.

3. Імовірність того, що НВВ прийме деяке окреме значення дорівнює нулю, тобто.

Доведення.

Наслідок . Для НВВ справедливі рівності:

Доведення.

Розглянуті властивості функцій розподілу можна сформулювати наступним чином: будь-яка функція розподілу є невід’ємною неспадною функцією, що задовольняє умови . Справедливе і обернене твердження: будь-яка функція, що задовольняє вищевказаним властивостям, може бути функцією розподілу деякої ВВ.

2. Означення статистичної та кореляційної (регресійної) залежності двох випадкових величин. Як встановлюється щільність (сила) кореляційної (регресійної) залежності? (10 балів)

Нагадаємо, що функціональна залежність характеризується відповідністю кожному значенню однієї змінної (аргумента) цілком певного, єдиного значення іншої змінної (функції).

Означення. Статистичною залежністю між двома змінними називається залежність, при якій кожному можливому значенню однієї змінної відповідає закон розподілу іншої змінної.

Означення. Кореляційною (регресійною) називають залежність, при якій кожному можливому значенню однієї змінної відповідає середнє (умовне середнє) значення іншої змінної (знайдене по закону розподілу або отримане шляхом спостережень). Кореляція – взаємозв’язок, регресія – вплив.

Після знаходження оцінок невідомих параметрів регресійної моделі оцінимо щільність зв’язку між величинами, тобто потрібно відповісти на запитання, наскільки значним є вплив незалежної змінної (фактора, регресора) на залежну змінну (результат, регресант). Найпростішим критерієм, який дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками, є коефіцієнт кореляції:

де - коефіцієнт коваріації міжта;- дисперсії змінних.

Як видно із виразу, коефіцієнт кореляції, на відміну від коефіцієнта коваріації, є вже не абсолютною, а відносною мірою зв’язку між двома факторами. Тому значення коефіцієнта кореляції розташовані між -1 та +1 (). Позитивне значення коефіцієнта кореляції свідчить про прямий зв’язок між факторами, а негативне – про зворотний зв’язок. Коли коефіцієнт кореляції прямує за абсолютною величиною до 1, це свідчить про наявність сильного зв’язку (- щільність зв’язку велика), коли коефіцієнт кореляції прямує до нуля, то зв’язок дуже слабкий.

№ 8