1. Означення диференціальної функції розподілу (5 балів ) та доведення її властивостей (25 балів).

Означення. Щільністю розподілу ймовірностей (або диференціальною функцією розподілу) називається похідна (якщо вона існує) від інтегральної функції розподілу:

ВЛАСТИВОСТІ

1. Щільність розподілу імовірностей – невід’ємна функція, тобто .

Доведення.

Теорема .(основна формула теорії імовірностей). Імовірність того, що НВВ прийме значення із деякого проміжка знаходиться за формулою:

.

Доведення.

Інтегральна функція розподілу та диференціальна (щільність розподілу імовірностей) є еквівалентними узагальненими характеристиками НВВ, які пов’язані співвідношенням: .

Доведення.

Умова нормування закону розподілу НВВ має вигляд: .

Доведення.

Числові характеристики НВВ визначаються наступними формулами (якщо збігаються відповідні невласні інтеграли):

.

2. Означення статистичних гіпотез. Означення області допустимих значень, критичної області та критичної точки перевірки статистичної гіпотези (10 балів)

Означення. Статистичними називають гіпотези про вигляд розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.

Наприклад, статистичними будуть гіпотези: а) генеральна сукупність розподілена за нормальним законом; б) дисперсії двох сукупностей, розподілених за законом Пуассона, рівні між собою.

Приклад нестатистичної гіпотези (оскільки не йде мова ні про вигляд закону розподілу, ні про його параметри): значна частина людей, народжених у другому півріччі, має краще розвинену праву частину мозку, яка здійснює образне мислення.

Разом із припущеною гіпотезою завжди можна розглядати протилежну їй гіпотезу, які доцільно розрізняти.

Означення. Основною (нульовою) називають припущену гіпотезу і позначають .

Означення. Альтернативною (конкурентною) називають гіпотезу, що суперечить основній і позначають .

Наприклад, якщо , то.

Гіпотези можуть містити тільки одне припущення ( прості ) або більше одного припущення ( складні ). Наприклад, якщо - параметр показникового розподілу, то гіпотеза- проста, а гіпотеза- складна (містить нескінченну множину гіпотез).

Статистична гіпотеза, яка висунута, може бути правильною або неправильною, тому виникає необхідність її статистичної перевірки (перевірка за даними вибірки). При цьому за даними випадкової вибірки можна зробити хибний висновок.

Означення. Якщо за висновком буде відкинута правильна гіпотеза, то кажуть, що це похибка першого роду.

Означення. Якщо за висновком буде прийнята хибна гіпотеза, то кажуть, що це похибка другого роду.

Відмітимо, що наслідки похибок другого роду більш небезпечні, ніж наслідки похибок першого роду.

Означення. Імовірність здійснити похибку першого роду називають рівнем значущості.

Означення. Критичною областю називають множину можливих значень критерію, при яких основна гіпотеза відхиляється. Є однобічні та двобічні критичні області.

Означення. Областю прийняття гіпотези (областю допустимих значень) називають множину можливих значень критерію, при яких основна гіпотеза приймається.

Для знаходження критичних областей (та областей прийняття гіпотез) задають рівень значущості , визначають кількості ступенів вільності (це поняття буде розглянуто далі), а потім шукають критичну точку із умовиу випадку правобічної критичної області. Ця точка відокремлює критичну область від області прийняття гіпотези.

Зауваження. Єдиним способом одночасного зменшення імовірностей похибок першого та другого роду є збільшення об’єму вибірки.

№ 9

1. Означення нормального закону розподілу (6 балів ). Вивести формулу для імовірністі попадання значень нормально розподіленої випадкової величини до заданого проміжку (12 балів), наслідок (6 балів). Правило “трьох сигм” (6 балів)

Означення. НВВ розподілена за нормальним законом з параметрамита, якщо її щільність розподілу імовірностей має вигляд:

.

Скористувавшись означеннями, неважко переконатись, що числові характеристики нормально розподіленої ВВ дорівнюють.

ВЛАСТИВОСТІ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ.

Імовірність попадання значень нормально розподіленої ВВ до проміжкузнаходиться за формулою:

.(*)

Доведення.

Імовірність того, що модуль відхилення нормально розподіленої ВВ від свого математичного сподівання не перевищить величину, дорівнює

. (**)

Доведення.

Правило трьох сигм. Із практичною достовірністю (з імовірністю 0,9973) можна стверджувати, що значення нормально розподіленої ВВ попадають до проміжка.

Доведення.

Графічно це можна зобразити так: