2. Поняття статистичної та кореляційної залежності. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості (10 балів)

Нагадаємо, що функціональна залежність характеризується відповідністю кожному значенню однієї змінної (аргумента) цілком певного, єдиного значення іншої змінної (функції).

Означення. Статистичною залежністю між двома змінними називається залежність, при якій кожному можливому значенню однієї змінної відповідає закон розподілу іншої змінної.

Означення. Кореляційною (регресійною) називають залежність, при якій кожному можливому значенню однієї змінної відповідає середнє (умовне середнє) значення іншої змінної (знайдене по закону розподілу або отримане шляхом спостережень). Кореляція – взаємозв’язок, регресія – вплив.

Коефіцієнт кореляції

Після знаходження оцінок невідомих параметрів регресійної моделі оцінимо щільність зв’язку між величинами, тобто потрібно відповісти на запитання, наскільки значним є вплив незалежної змінної (фактора, регресора) на залежну змінну (результат, регресант). Найпростішим критерієм, який дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками, є коефіцієнт кореляції:

де - коефіцієнт коваріації міжта;- дисперсії змінних.

Як видно із виразу, коефіцієнт кореляції, на відміну від коефіцієнта коваріації, є вже не абсолютною, а відносною мірою зв’язку між двома факторами. Тому значення коефіцієнта кореляції розташовані між -1 та +1 (). Позитивне значення коефіцієнта кореляції свідчить про прямий зв’язок між факторами, а негативне – про зворотний зв’язок. Коли коефіцієнт кореляції прямує за абсолютною величиною до 1, це свідчить про наявність сильного зв’язку (- щільність зв’язку велика), коли коефіцієнт кореляції прямує до нуля (), то зв’язок дуже слабкий. У нашому прикладі щільність прямого зв’язку між факторами велика, оскільки коефіцієнт кореляції близький до одиниці.

№ 5

1. Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості (10 балів). Довести (на вибір) три з них. (20 балів)

Означення. Математичним сподіванням (середнім значенням або центром розподілу) ДВВ називається сума добутків всіх її значень на відповідні ймовірності, тобто

Зауваження. Для будь-якої ДВВ із скінченною множиною значень математичне сподівання існує (і є невипадковим, сталим числом) і має таку саму розмірність, що й сама ДВВ. У випадку нескінченної зліченої множини значень ДВВ її математичне сподівання (МС) визначається як сума ряда, який може розбігатись, і тому МС може не існувати.

ВЛАСТИВОСТІ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДІВАННЯ.

1. МС сталої ВВ дорівнює самій цій сталій: .

Доведення.

2. Сталий множник виноситься за знак МС: .

Доведення.

3. МС суми ВВ дорівнює сумі їх МС: .

Наслідок. МС різниці ВВ дорівнює різниці їх МС: .

4. МС добутку (незалежних) ВВ дорівнює добутку їх МС: .

Доведення.

Властивості 3,4 та наслідок легко розповсюдити на випадок фіксованої кількості доданків (співмножників), зокрема, неважко довести, що МС середнього арифметичного ВВ дорівнює середньому арифметичному їх МС.

5. МС центрованої ВВ дорівнює нулю:.

Доведення.