У першій Всеукраїнській учнівській олімпіаді з астрономії взяли участь учні 10-х та 11-х класів. Зважаючи на це олімпіадні завдання і задачі були двох рівнів. Їх розподілили на три тури – теоретичний, практичний та псевдоспостереження. Нижче подано ці завдання і задачі, а також відповіді на них.
Завдання теоретичного туру IV етапу I Всеукраїнської учнівської олімпіади з астрономії (28.03.2011 м. Львів), 10 клас
1. Айсберг. Космонавти здійснили посадку на берег океану планети Х та побачили, що айсберг, який на 20 м виступає над поверхнею води, повністю зникає з поля зору при віддаленні від берега на 20 км. Оцініть радіус планети Х.
2. Обертання Землі. Уявіть, що обертання Землі навколо осі відбувається з тим самим періодом, але у зворотному напрямку. Визначте: а) як зміниться при цьому тривалість сонячної доби; б) скільки середніх сонячних діб при цьому міститиме тропічний рік.
3. Сонячне затемнення на полюсах. У яких місяцях року Ведмідь (на північному полюсі) та Пінгвін (на південному) одночасно можуть спостерігати сонячне затемнення (будь-яке сонячне затемнення). Розв’язок необхідно супроводити рисунком із зображеннями Ведмедя та Пінгвіна на полюсах.
4. Марс-500. Зараз в Інституті медико-біологічних проблем Російської академії наук проходить експеримент «Марс-500» – імітація польоту космонавтів на Марс. У лабораторіях імітовано марсіанську поверхню, на яку здійснюють посадку. Всі дії екіпажу фіксуються відеоапаратурою. Водночас, під час перегляду відеоматеріалів одразу видно, що це відбувається на Землі, а не на Марсі – відчувається земна гравітація. Ефект меншої сили тяжіння можна створити штучно, змінивши при зйомці частоту кадрів. Розрахуйте, з якою частотою кадрів необхідно робити зйомку, щоб під час перегляду зі стандартною швидкістю (24 кадри за секунду) створювалось би враження, що подія – на Марсі.
5. Кошенята та Місяць. Уявімо, що фотографія, на якій зображено двоє кошенят, що дивляться на Місяць, зроблена у Львові (широта становить 50°) наприкінці лютого. Оцініть (а) відстань від фотографа до кошенят та (б) орієнтовний час зйомки. Уважайте, що нижній край знімку перебуває на висоті 16° над горизонтом.
6. Парадоксальна планета. Вже понад 100 років ведуться спостереження деякої гіпотетичної планети Сонячної системи, яка обертається навколо Сонця по коловій орбіті. Вражає те, що протягом 365 діб кожного звичайного року для цієї планети двічі на рік наступає з’єднання (різноманітних типів) з Сонцем, а протягом 366 діб кожного високосного року (хоча він довший!) – лише один раз! Поясніть цей парадокс. Який може бути період обертання цієї планети навколо Сонця?
ВІДПОВІДІ (pdf-файл, 198 КБ):
Розв’язки задач теоретичного туру
IV етапу I Всеукраїнської учнівської олімпіади з астрономії
(28.03.2011 м. Львів)
10-й клас
1. Айсберг. З прямокутного трикутника (рис. 1) отримаємо
Рис. 1
()222⊕⊕−+=RhRl,
де h – висота айсберга, l – відстань до нього, коли він зникає з очей. Оскільки , то для радіусу планети матимемо ⊕<<Rh
1000022⊕h км==lR.
2. Обертання Землі.
Варіант 1.
а) Оскільки за умовою задачі Земля обертається у зворотному напрямку, то кутову частоту наступності сонячних діб визначаємо як різницю частот
орбосSω−ω−=ω,
де ω – частота осьового обертання планети; осорбω – частота її орбітального руху. Оскільки Tπ=ω2, то після нескладних перетворень отримаємо:
smhSTTTTT085223осорборбос−=+−=.
Сонячна доба була б коротша, ніж зараз, а знак мінус означає, що Сонце на небі Землі пересуватиметься у цьому разі у протилежному напрямку: сходити на заході та заходити на сході.
б)
діб25,367троп=STT
Варіант 2.
а) Нехай зараз відбувається кульмінація Сонця (рис. 2). Якщо Земля буде обертатися в протилежному напрямку, то для того, щоб Сонце знову кульмінувало, Землі потрібно повернутися на 360°/365≈1° менше, ніж повний оберт. Поворот на 1° займає у Землі приблизно 24 год/360°=4 хвилини. Тобто сонячна доба буде МЕНШЕ періоду обертання (який як і зараз дорівнює 23 год 56 хв) на 4 хвилини, тобто становить 23 год 52 хв.
б) Зараз у році 366,25 зоряних діб (періодів обертання навколо осі). За рік Земля «зекономить» час в 1 сонячну добу за рахунок обертання навколо Сонця, тобто тепер встигне пройти 367,25 сонячних діб.
3. Сонячне затемнення на полюсах.
У жодні місяці. Це неможливо навіть для часткового затемнення. У цьому випадку максимальна відстань між точками спостереження не може перевищувати діаметр конусу місячної півтіні. На поверхні Землі, який складає приблизно два діаметри Місяця (7000 км, це можна також порахувати з геометричних міркувань). Відстань між полюсами Землі становить 12742 км.
4. Марс-500.
На Марсі вільне падіння відбувається повільніше. Оскільки h∼gt2, то t∼1/g1/2 . Отже на Марсі все повинно бути наче в (gз/gм) разів повільніше. Величини прискорень вільного падіння на Землі та Марсі візьмемо з таблиць:
gз=9,81 м/с2,
gм=3,71 м/с2 .
63,171,381,92/12/1З==мgg
Таким чином, зйомка в земних умовах повинна здійснюватись на швидкості у 1,63 рази більше нормальної, тобто Vз= Vм ⋅1,63 кадрів на секунду.
5. Кошенята та Місяць.
а) Кутовий діаметр Місяця становить ≈0,5°. Видимий кутовий діаметр голови кошеняти оціночно удвічі більший, тобто, становить ≈ 1°. Реальний розмір голови кошеня дорівнює приблизно 6 см. Такі розміри видно під кутом 1° з віддалі r≈0,06/(tg 1°)=0,06×57≈3,5 м.
Відповідь: фотограф перебуває на відстані 3-4 м від місця, де сидять кошенята.
б) Місце спостереження – Львів, широта ≈ 50°. «Вік» Місяця близько 9 днів. Висота Місяця над горизонтом: 2° над краєм знімку + 16° знімок над горизонтом =18°.
Шляхом уявної побудови трьохвимірної просторової картини розташування Місяця та Сонця можна приблизно встановити кут між лінією горизонту та напрямком на Сонце – приблизно 40°.
Момент спостереження – наприкінці лютого, до моменту рівнодення. Тому Сонце не вище екватору над горизонтом, тобто не вище 90°–50° = 40°. Отже Сонце перебуває близько кульмінації.
Кульмінація Сонця у Львові (24° східної довготи ) відбувається приблизно о 12 годині 24 хвилин за поясним часом (для 30° сх. довготи – рівно о 12-й, а 6° відповідають 24 хвилинам). Але так як обчислення висоти Сонця з дуже невеликою точністю, ми можемо говорити про час біля середини дня.