№ 1. 1. Класичне означення імовірності події (3 бали). Довести властивості імовірності (9 балів). Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї (18 балів).

2. Точкові оцінки вибірки та три основні вимоги до точкового оцінювання. (10 балів).

№2. 1. Довести теорему суми імовірностей (12 балів ) та 3 наслідки з неї (18 балів).

2. Критерій незалежності двох дискретних та неперервних випадкових величин. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості (10 балів).

№ 3. 1. Довести теореми (формула повної імовірності (20 балів ) та формули Байєса (10 балів)).

2. Інтервальні оцінки вибірки. Три типи задач на вибірку. (10 балів)

№ 4. 1. Виведення формул для математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення частоти (10+8+2 балів ) та відносної частоти (10 балів ) в схемі незалежних повторних випробувань.

2. Поняття статистичної та кореляційної залежності. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості (10 балів)

№ 5. 1. Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості (10 балів). Довести (на вибір) три з них. (20 балів)

2. Схема застосування критерія Пірсона (10 балів).

№6 1. Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. (10 балів ) Довести (на вибір) три з них. (20 балів)

2. Декомпозиція дисперсій. Коефіцієнт детермінації та його властивості (10 балів)

№7 1. Означення інтегральної функції розподілу (5 балів ) та доведення її властивостей (25 балів).

2. Означення статистичної та кореляційної (регресійної) залежності двох випадкових величин. Як встановлюється щільність (сила) кореляційної (регресійної) залежності? (10 балів)

№ 8 1. Означення диференціальної функції розподілу (5 балів ) та доведення її властивостей (25 балів).

2. Означення статистичних гіпотез. Означення області допустимих значень, критичної області та критичної точки перевірки статистичної гіпотези (10 балів)

№ 9 1. Означення нормального закону розподілу (6 балів ). Вивести формулу для імовірністі попадання значень нормально розподіленої випадкової величини до заданого проміжку (12 балів), наслідок (6 балів). Правило “трьох сигм” (6 балів)

2. Вибіркова середня, вибіркова дисперсія та виправлена дисперсія кількісної ознаки. Яким вимогам до точкових оцінок вибірки вони задовольняють? (10 балів)

№ 10 1. Сформулювати центральну граничну теорему (8 балів). Довести інтегральну теорему Муавра-Лапласа (12 балів ) та її частинні випадки (10 балів).

2. Прості та складні статистичні гіпотези. Похибки першого та другого роду (10 балів)

№ 1

1. Класичне означення імовірності події (3 бали). Довести властивості імовірності (9 балів). Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї (18 балів).

Означення. Імовірність події дорівнює:

де - число (кількість) подій у просторі елементарних подій,

а - число наслідків (із простору елементарних подій), які сприяють появі події .

Властивості:

1. Для довільної події : ;

2. Для достовірної події : .

3. Для неможливої події : .

Теорема (добутку імовірностей). Імовірність добутку двох подій ідорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої, при умові, що настала перша подія:

Доведення. Нехай - кількість подій (елементарних наслідків) у просторі елементарних подій, з яких подій сприяють появі , - сприяють появі , а - сприяють появі (див.схему).

За класичним означенням імовірності:

.

Аналогічно доводиться, що .

Теорема легко розповсюджується на випадок фіксованої кількості співмножників-подій. Наприклад, для трьох подій:

.

Наслідок 1 (формули визначення умовних імовірностей). Якщо імовірності подій відмінні від нуля, то

Зауважимо, що теорема добутку справедлива навіть у випадку нульових імовірностей подій.

Наслідок 2. Якщо подія не залежить від події, то і навпаки, подіяне залежить від події, тобто вони взаємно незалежні.

Доведення.

Наслідок 3. Із незалежності подій івипливає незалежність пар подій :і,і,і.

Наслідок 4. Імовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх імовірностей:

.

Наслідок легко розповсюджується на випадок фіксованої кількості співмножників-подій.

2. Точкові оцінки вибірки та три основні вимоги до точкового оцінювання. (10 балів).

Точкові оцінки параметрів розподілу є випадковими величинами, їх можна вважати первинними результатами обробки вибірки, оскільки невідомо, з якою точністю кожна з них оцінює відповідну числову характеристику генеральної сукупності. Якщо об’єм вибірки досить великий, то точкові оцінки задовольняють практичні потреби точності. Якщо ж об’єм вибірки малий, то точкові оцінки можуть давати значні похибки, тому питання точності оцінювання у цьому випадку дуже важливе і необхідно використовувати інтервальні оцінки.

№2

1. Довести теорему суми імовірностей (12 балів ) та 3 наслідки з неї (18 балів).

Теорема. Імовірність суми двох подій і дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх добутку. Іншими словами, імовірність появи хоча б однієї із двох подій дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи:

Доведення. Для доведення скористуємось діаграмою теореми добутку (див.вище). За класичним означенням :

Зауважимо, що теорема досить важко розповсюджується на випадок скінченної кількості доданків-подій. Так, наприклад, для трьох подій:

Наслідок 1. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей:

.

Наслідок легко розповсюджується на випадок фіксованої кількості несумісних подій-доданків.

Наслідок 2. Сума імовірностей подій , що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

.

Доведення.

Наслідок 3. Для взаємно протилежних подій і:

Наслідок 4 . Імовірність появи хоча б однієї із подій дорівнює:

.

Зокрема, якщо події незалежні в сукупності, то: