i L2 виражається подвiйним iнтегралом

Iнтеграл в правiй частинi цiєї рiвностi може бути виражений в еле-

потiм при B = B1, а отриманi значення вiдняти.

Для отримання наближеної формули розкладемо пiдiнтегральний вираз

в (4.21) в ряд за степенями e i виконаємо почленне iнтегрування: h

P = a2(1 −e2)(L2 −L1) (sin B2 −sin B1) + 23 e2(sin3 B2 −sin3 B1)+

i

+ 35 e4(sin5 B2 −sin5 B1) + 47 e6(sin7 B2 −sin7 B1) + . . .

Знайдемо площу всiєї поверхнi елiпсоїда. Для цього в (4.21) слiд покласти L2 − L1 = 2π, B1 = 0, B2 = π2 та отриманий результат подвоїти. В

результатi отримаємо:

P = πa2 2e − 21e ln 11 −+ ee + 1 = 4πa2(1 −e2) h1 + 23 e2 + 35 e4 + 47 e6 + . . .i . (4.23)

4.5. Геодезична лiнiя на поверхнi елiпсоїда

Запишемо систему диференцiальних рiвнянь, якi описують геодезичну лiнiю на поверхнi елiпсоїда. Для цього потрiбно в (3.34) з врахуванням

яка показує, що добуток радiуса паралелi Rп = N cos B на синус азимута в будь-якiй точцi геодезичної лiнiї є величиною сталою.

Формула Клеро дозволяє якiсно прослiдкувати хiд геодезичної лiнiї на елiпсоїдi при будь-якiй її протяжностi. Нехай геодезична лiнiя починається вiд деякої точки з широтою B > 0 i азимутом 0◦ < A < 90◦. Переходячи до точки з бiльшою широтою, тобто з меншим радiусом паралелi, приходимо до висновку, що для сталостi добутку (4.28) необхiдно, щоб збiльшилось значення sin A, а отже, i значення A. В деякiй точцi з широтою +B0 зна-

чення sin A досягне свого максимуму, тобто 1, а азимут буде дорiвнювати 90◦, тобто геодезична лiнiя буде дотикатися деякої паралелi (рис. 4.6). Пiсля цього вздовж геодезичної азимут почне збiльшуватись, починаючи з 90◦, а sin A — зменшуватись. Таке збiльшення азимуту буде продовжуватись до екватора, де радiус паралелi досягне найбiльшої величини, sin A

— найменшої величини, а азимут A — найбiльшої. Нижче екватора поведiнка геодезичної лiнiї буде дзеркальним вiдображенням її поведiнки в пiвнiчнiй половинi елiпсоїда. Прослiдковуючи шлях геодезичної, приходимо до висновку, що геодезична лiнiя буде описувати на елiпсоїдi нескiнчену кiлькiсть обертiв, послiдовно дотикаючись двох паралелей з широтами +B0 та −B0.

B0

–B0

Рис. 4.6. Шлях геодезичної лiнiї на поверхнi елiпсоїда

Неважко бачити, що меридiан є частковим випадком геодезичної лiнiї. Дiйсно, пiдставляючи A(s) = 0 в (4.24), отримаємо:

Випишемо формули для кривизни та кручення геодезичної лiнiї:

(рис. 5.2), а також напрямки з цих точок на третю точку Q3 (азимути A13, A23). Лiнiями, для яких заданi напрямки, можуть бути геодезичнi лiнiї, нормальнi перерiзи та iн. Необхiдно знайти геодезичнi координати точки Q3.

Лiнiйна засiчка. Дано геодезичнi координати двох точок Q1 та Q2 (рис. 5.2), а також довжини геодезичних лiнiй s13, s23, що з’єднують точки Q1, Q2 з точкою Q3. Необхiдно знайти геодезичнi координати точки Q3.

5.2. Сферичний трикутник

Якщо перетнути сферу площиною, яка проходить через її центр, то в перетинi отримаємо велике коло, радiус якого дорiвнює радiусу сфери. Очевидно, через двi точки на поверхнi сфери можна провести тiльки одне велике коло, якщо, звичайно, цi точки не лежать на протилежних кiнцях дiаметру. Три точки A, B, C на поверхнi сфери можна з’єднати дугами великих кiл i тим самим отримати сферичний трикутник (рис. 5.3). Довжини сторiн сферичного трикутника позначимо через a, b, c, а протилежнi ним кути, пiд якими перетинаються дуги, що утворюють сторони трикутника,

— через α, β, γ. Надалi будемо розглядати сферичнi трикутники, у яких кути α, β, γ меншi вiд π; такi трикутники називаються трикутниками Ейлера.

A

D

Рис. 5.3. Сферичний трикутник

Кожному сферичному трикутнику вiдповiдає тригранний кут з вершиною O в центрi сфери та ребрами OA, OB, OC. Довжини сторiн сферичного трикутника пропорцiйнi вiдповiдним плоским кутам вказаного тригранника (цi кути називають центральними). Так, наприклад, якщо BOC = ϕ, при-

Розглянемо рiзнi випадки розв’язання сферичних трикутникiв.

1. Вiдомi положення вершин трикутника.

Нехай L1, L2, L3 — довготи, а ϕ1, ϕ2, ϕ3 — геоцентричнi широти вершин A, B, C сферичного трикутника (рис. 5.4).

Розглянемо одну з сторiн, скажiмо, AC . Проведемо з полюсу P сфери два меридiани, яким вiдповiдають довготи L1 та L3. З рис. 5.4 видно, що в

та кут

APC = L3 −L1,

атому для знаходження центрального кута AOC скористаємось форму-

лами типу (5.2)–(5.4), виконавши пiдстановку

=sin ϕ1 sin ϕ3 +cos ϕ1 cos ϕ3 cos(L3 −L1) ≡ TAOC , (отриманий вираз позначено через TAOC ). Звiдси випливає

AOC = arccos(TAOC ).

β

B

Рис. 5.4. До знаходження сторiн сферичного трикутника

Аналогiчно для iнших двох центральних кутiв маємо

TBOC = sin ϕ2 sin ϕ3 + cos ϕ2 cos ϕ3 cos(L3 −L2). Довжини сторiн сферичного трикутника ABC дорiвнюють

a = R · BOC, b = R · AOC, c = R · AOB. Формули для знаходження кутiв наведено далi.

2. Вiдомi сторони трикутника.

Формули для знаходження кутiв мiж сторонами отримуються з спiввiд-

Якщо довжини сторiн обчислювались на основi введених вище величин TAOB, TBOC , TAOC , то кути можна обчислити, виконавши в формулах (5.16)–

3. Вiдомi двi сторони та кут мiж ними.

Нехай вiдомi, скажiмо, сторони a, b та кут γ мiж ними. Тодi з (5.2)

4. Вiдомi сторона та два прилеглих до неї кути.

Нехай вiдомi, скажiмо, сторона a та кути β та γ. З (5.5) знаходимо

a

α = arccos sin γ sin β cos R −cos γ cos β

Сторони b та c обчислюються за формулами (5.20), (5.21).