Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища геодезія

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Ще одна геометрична iнтерпретацiя радiуса кривизни показана на рис. 3.6. Нескiнченно мала дуга кривої довжиною ds, очевидно, спiвпадає з нескiнченно малою дугою кола, яка лежить всерединi кута dϕ, а тому мiж ними iснує спiввiдношення

ds = Rdϕ.

(3.7)

Коефiцiєнт кручення κ характеризує швидкiсть повороту вектора бiнормалi при русi вздовж кривої. Зокрема, для кривої, яка цiлком лежить в однiй площинi, вiн дорiвнює нулю в усiх точках кривої.

Укажемо без виведення формули для обчислення кривизни та кручення

кривої:

#„

(xy˙ ¨

xy¨ ˙)

+ (yz˙ ¨

+ (zx˙ ¨

k =

r ,

−yz¨ ˙)

−zx¨ ˙ )

(3.8)

#„˙

−

(x˙ 2 + y˙2 + z˙2)3

x˙

y˙

z˙

...

x¨

y¨

z¨

#„

...

#„

r˙

r¨

(3.9)

#„

(x˙ y¨

x¨ y˙)

(y˙z¨

y¨z˙)

+ (z˙x¨

z¨x˙ )

r˙

r¨

−

Приклад. Гвинтова

лiнiя

(рис. 3.7)

описується

векторною функцiєю вигляду

a cos t

#„

(t) = a sin t

(3.10)

i є прикладом просторовоїbtкривої,

яка має ста-

лу кривизну та кручення. Дiйсно, диференцiюючи

(3.10) по t, знаходимо

a sin t

a cos t

...

a sin t

#„

−

#„

r˙ = −a cos t ,

r¨

−a sin t ,

r = −a cos t .

також

Знайдемо

вектор бiнормалi

Рис. 3.7. Гвинтова лiнiя

ab sin t

#„

„

#„

ab cos t

B =

та його абсолютну величину

−

#„

B = p(ab sin t)2 + (−ab cos t)2 + (a2)4 = apa2 + b2.

Крiм того, знайдемо

ab cos tp) (

a cos t) + a2 0 = a2b,

r = (ab sin t) (a sin t) + (

#„ · #„

−

· −

#„

( a sin t) + (a cos t) + b

a + b ,

#„ ...

−

#„

B · B = (ab sin t) ·(ab sin t) + (−ab cos t) ·(−ab cos t) + a2 ·a2 = a2(a2 + b2).

Пiдставимо цi вирази у (3.8), (3.9) та пiсля спрощень отримаємо:

r˙

√a2 + b2

+ b2

#„

√

k =

a + b

= const,

a2b

#„

...

#„

κ = #„ · #„

= const.

)

+ b

B · B

a (a + b

3.5. Дослiдження просторової кривої в середовищi MATLAB

Задано рiвняння просторової кривої у векторнiй формi

a cos t

#„(t) = a sin t . r

bt2

Вектор дотичної, вектор головної нормалi, вектор бiнормалi, кривизни, радiус кривизни та кручення кривої потрiбно виразити як функцiї вiд t, а також знайти їх числовi значення при t = 1. Обчислити довжину кривої мiж точками, яким вiдповiдають значення t = 0 i t = 1.

Нижче продемонстровано розв’язання даної задачi в MATLAB. Попередньо рекомендується детально вивчити Додаток Б.

clc, clear ClearSymOutput

%Оголошуємо символьнi змiннi; вiдразу вказуємо, що їх слiд вважати

%дiйсними величинами

syms a b t real

%Задаємо припущення вiдносно змiнної a assume(a>0)

%Задаємо аналiтичний вираз векторної функцiї як вектор

%з трьох символьних виразiв

r = [a*cos(t); a*sin(t); b*t^2];

%Знаходимо аналiтичнi вирази для

%...першої, другої, третьої похiдних вiд векторної функцiї

dr = diff(r, t); d2r = diff(r, t, 2);

d3r = diff(r, t, 3);

% ...вектора бiнормалi

B = simplify(cross(dr, d2r));

% ...вектора головної нормалi

N = simplify(cross(B, dr));

% ...кривизни кривої

k = simplify(norm(B)/norm(dr)^3);

% ...кручення кривої

kappa = simplify(dot(B,d3r) / dot(B,B));

% Створюємо аналiтичний вираз для | #˙„| r

norm_dr = simplify(norm(dr));

%Спроба аналiтично обчислити iнтеграл

S = int(norm_dr, t, 0, 1);

%Задаємо числовi значення параметрiв

a = 1; b = 2; t = 1;

%Задаємо кiлькiсть цифр для арифметики довiльної точностi digits(10)

%Пiдставляємо числовi значення для a, b, t та виводимо результати

ShowSym( ' Вектор дотичної ' , ...

'\dot{\vec{r}}(t) = dr ' , ...

'\dot{\vec{r}}(t=1) = double(subs(dr)) ' , ...

'Вектор бiнормалi ' , ...

'\vec{B}(t) = B ' , ...

'\vec{B}(t=1) = double(subs(B)) ' , ...

'Вектор головної нормалi ' , ...

'\vec{N}(t) = N ' , ...

'\vec{N}(t=1) = double(subs(N)) ' , ...

'Кривизна кривої ' , ...

'k(t) = k ' , ...

'k(t=1) = double(subs(k)) ' , ...

'Радiус кривизни ' , ...

'R = double(subs(1/k)) ' , ...

'Кручення ' , ...

' \kappa(t) = kappa ' , ...

'\kappa(t=1) = double(subs(kappa)) ' , ...

'Довжина дуги кривої ' , ...

'S = double(subs(S)) ' )

Числовi та символьнi результати видаються у вiкно Web Browser — рис. 3.8.

початок	продовження
	Рис. 3.8

3.6. Поверхня та криволiнiйнi координати на нiй

Нехай радiус-вектор залежить вiд двох скалярних параметрiв u та v,

тобто його компоненти є функцiями u, v				y(u, v)	(3.11)
r = r (u, v)		r (u, v) =		y(u, v)	(3.11)
				x(u, v)
#„ #„		#„		z(u, v)
Iншою формою запису (3.11) є				z(u, v)
	#„	#„		#„	(3.12)
r (u, v) = x(u, v) i		+ y(u, v) j	+ z(u, v) k.		(3.12)
#„

Формули (3.11), (3.12) — це параметричне представлення поверхнi. Кожнiй точцi поверхнi вiдповiдає своя пара чисел u, v, тому величини u, v можна розглядати як криволiнiйнi координати точки на поверхнi. Зафiксу-

ємо одну з криволiнiйних координат, поклавши v = v = const. Тодi #„(u, v )

0 r 0

виражає залежнiсть радiус-вектора вiд одного скалярного параметра u, а тому є рiвнянням просторової кривої, причому рiзним значенням v0 вiдповiдають рiзнi просторовi кривi. З iншого боку, зафiксувавши u = u0 = const,

маємо залежнiсть #„(u , v), яка також при рiзних u описує просторовi

r 0 0

кривi. Таким чином, на поверхнi можна видiлити сiмейство лiнiй, вздовж кожної з яких параметр v зберiгає стале значення, а змiнюється лише параметр u, а також сiмейство лiнiй, вздовж яких u є сталим, а v змiнюється; цi лiнiї називаються координатними. Сiмейства лiнiй u = const та v = const

разом утворюють координатну сiтку на поверхнi (рис. 3.9).

Приклад. Рiвняння вигляду

x(ϕ, u) = a cos ϕ cos u

y(ϕ, u) = a sin ϕ cos uz(ϕ, u) = b sin u

описують поверхню сфероїда з пiвосями a та b. Лiнiї ϕ = const та u = const утворюють на поверхнi сфероїда сiтку меридiанiв i паралелей (ϕ — довгота, u — приведена широта).

Приклад. Рiвняння (1.9) на стор.10 при H = 0 також описують сфероїд, лiнiї L = const та B = const утворюють сiтку меридiанiв i паралелей, але параметр B є геодезичною широтою.

Частиннi похiднi вiд радiус-вектора криволiнiйним координатам означають обчислення частинних похiдних вiд компонент радiус-вектора, тобто

#„		∂ r			∂x(u, v) #„		∂y(u, v) #„		∂z(u, v) #„
		#„
ru ≡				=		i +		j +		k,	(3.13)
		∂u			∂u		∂u		∂u
#„	∂ r				∂x(u, v) #„		∂y(u, v) #„		∂z(u, v) #„
		#„
rv ≡			=			i +		j +		k	(3.14)
	∂v				∂v		∂v		∂v
(для скорочення запису їх будемо позначати через ru,										rv). Вектори ru,
									#„	#„	#„

#„ називаються координатними векторами, їх геометричний змiст насту- rv

пний. Частинна похiдна по u обчислюється в припущеннi, що v = const,

#„

тому ∂∂ur можна розглядати як диференцiювання векторної функцiї, яка описує просторову криву, вздовж якої змiнюється лише параметр u, тобто

координатну лiнiю. Звiдси випливає, що #„ є вектором дотичної до коор- ru

динатної лiнiї v = const. Аналогiчно #„ в свою чергу є вектором дотичної rv

до координатної лiнiї u = const.

	v = CONST	u = CONST
	v = CONST	#„
		#„
z		v = const n
z		u = const
		u = const
		#„
		rv
		θ	˙
			#„
		#„	r
		ru

Рис. 3.9. Координатна сiтка на поверхнi

Рис. 3.10

Вектор нормалi #„ до поверхнi в будь-якiй її точцi очевидно перпен- n

дикулярний до координатних лiнiй, а значить, i до координатних векторiв

#„	#„			#„
ru,	rv, що вiдповiдають точцi, в якiй побудована нормаль. Тому вектор			n
виражається через координатнi вектори як
	#„	#„ #„	(3.15)
	n	= [ ru, rv]	(3.15)

Площина, яка проходить через окрему точку поверхнi перпендикулярно до

вектора нормалi n, називається дотичною площиною. Очевидно, ru,		rv
#„	#„	#„
лежать в дотичнiй площинi, оскiльки ru n,	rv n.
#„ #„	#„ #„

Нехай деяка крива лежить на поверхнi i параметризована за допомогою параметра t. Тодi кожному значенню t вiдповiдає певна точка кривої, а значить, i певнi значення криволiнiйних координат u, v. Таким чином, криволiнiйнi координати точок кривої, розташованої на поверхнi, є функцiями

параметра t. Вiдповiдну систему спiввiдношень
u = u(t),	v = v(t)	(3.16)

називають внутрiшнiми рiвняннями кривої на поверхнi. Пiдстановка
(3.16) в рiвняння поверхнi r = r (u, v) приводить до рiвняння вигляду
#„	#„
r = r u(t), v(t) ,		(3.17)
#„	#„

яке по сутi виражає залежнiсть радiус-вектора вiд t i є параметричним рiвнянням просторової кривої.

Дотичний вектор до кривої на поверхнi отримаємо диференцiюванням (3.17) по t:

d r		∂ r du			∂ r dv		#„	#„
#„		#„			#„
	=			+			= ruu˙ + rvv˙.		(3.18)
dt		∂u	dt		∂v	dt

Формула (3.18) показує, що вектор дотичної до кривої на поверхнi є лiнiйною комбiнацiєю координатних векторiв, а тому вiн лежить в дотичнiй до поверхнi площинi.

Обчислимо довжину дуги кривої, розташованої на поверхнi. З (3.18)

знайдемо диференцiал радiус-вектора		+ rvv˙)dt	(3.19)
d r = ( ruu˙
#„	#„	#„

З геометричної точки зору, d #„ — це нескiнченно малий прирiст, який отри- r

мує радiус-вектор точки, коли параметр t отримує прирiст dt i точка змi-

щується вздовж кривої. Диференцiал дуги кривої

#„

(3.20)

ds =|d r | =

√d r ·d r

= p( ruu˙

+ rvv˙)2 dt

#„

2 dt

ru2u˙

+ 2 ru rvu˙ v˙ + rv2v˙

Введемо позначення

≡ E,

ru rv

≡ F,

rv2

≡ G.

(3.21)

ru2

#„

Довжина дуги, обмежена точками кривої, яким вiдповiдають параметри t1 i t2, виражається iнтегралом

	S = Zt2
	S = Zt2			Eu˙ 2 + 2Fu˙ v˙ +Gv˙2 dt				(3.22)
	t1	p
Вираз (3.19) перепишемо так:					dt = rudu + rvdv,
d r = ru dt			+ rv dt		dt = rudu + rvdv,
#„	#„ du			#„ dv	#„	#„
а тому (3.20) еквiвалентно виразу							=	(3.23)
ds2 = d r ·d r = ru2du2 + 2 ru rv dudv + rv2dv2							=	(3.23)
#„	#„		#„		#„ #„	#„

= Edu2 + 2F dudv +Gdv2

Вираз в правiй частинi (3.23) називається першою квадратичною формою поверхнi.

Кут, пiд яким двi кривi на поверхнi перетинаються, — це кут мiж їх

дотичними в точцi перетину (рис. 3.11). Нехай r1 та

r2 — дотичнi вектори

#„

до кривих. Кут θ мiж векторами

визначається як

r1 та

#„

#„ #„

cos

θ =

r1 r

(3.24)

#„

| r1|·| r2

З (3.24) легко отримати значення кута мiж лiнiями координатної сiтки.

Як було показано вище, вектори

та

rv є дотичними для координатних

#„

лiнiй, а тому

#„

cos θ =

ru rv

(3.25)

p ru2

·p rv2

√EG

#„

v v + dv

ru, rv

#„ #„

u + du

rvdv

#„

rudu

#„

Рис. 3.11. Кут мiж кривими на поверхнi

Рис. 3.12. Площа нескiнченно малої

дiлянки поверхнi

Зокрема, достатньо F = 0 для того, щоб координатнi лiнiї перетинались пiд прямим кутом, тобто утворювали ортогональну сiтку (такий вигляд має, наприклад, координатна сiтка декартових та полярних координат на площинi, сiтка меридiанiв та паралелей на сферi та сфероїдi).

Розглянемо задачу про знаходження площi дiлянки поверхнi. Спочатку знайдемо площу нескiнченно малої дiлянки, яка обмежена координатними лiнiями u, u + du, v, v + dv (рис. 3.12). Внаслiдок малостi сторiн дiлянка

має форму паралелограма. Зображений на рис. 3.12 вектор #„ du є приро- ru

стом, який отримує радiус-вектор, коли скалярний параметр u змiнюється на нескiнченно малу величину du, а параметр v залишається сталим. Ана-

#„

логiчно rv dv — це прирiст радiус-вектора при змiнi v на величину dv при

u = const. Сторони дiлянки мають довжини

#„

ru du та

rv dv , а площа не-

#„

скiнчено малого паралелограма, побудованого на векторах

ru du та

rv dv

як на сторонах, буде

#„

#„ #„

#„

dS = rudu, rvdv

= ru, rv

du dv = q ru

rv 2 du dv.

Площа скiнченої областi поверхнi виражається подвiйним iнтегралом

S = ZZ q #„ , #„ 2 du dv (3.26) ru rv

(iнтегрування потрiбно виконати по всiй областi).

Використовуючи вiдоме спiввiдношення
					= a	2 b2	−( a b)2		,
		a		, b	= a	2 b2	−( a b)2		,
		#„		#„ 2	#„	#„	#„	#„
маємо з врахуванням (3.21)
i (3.26)			2	= ru2 rv2 −( ru rv)2				= EG −F2,
	ru, rv			= ru2 rv2 −( ru rv)2				= EG −F2,
	#„	#„		#„	#„	#„	#„

перетворюється в

ZZ p

S = EG −F2 du dv.

3.7. Нормальна та геодезична кривизна лiнiї на поверхнi

(3.27)

(3.28)

(3.29)

Нехай деяка крива розташована на криволiнiйнiй поверхнi (рис. 3.13). Виберемо на кривiй точку Q, проведемо в цiй точцi вектор нормалi до по-

верхнi n та вектор дотичної до кривої	˙	. Через вектори n	та	˙	проведемо
верхнi n та вектор дотичної до кривої	r	. Через вектори n	та	r	проведемо
#„	#„	#„		#„

т. зв. нормальну площину. Взагалi кажучи, через нормаль до поверхнi можна провести безлiч нормальних площин, але в даному випадку лише одна з них буде розташована по дотичнiй до кривої. Лiнiя перетину нормальної площини i поверхнi називається нормальним перерiзом.

#„

Вектор кривизни кривої в точцi Q — вектор k на рис. 3.13 — це

#„

вектор, напрям якого спiвпадає з вектором головної нормалi N в точцi Q,

#„

k = k

#„ n

#˙„ r

#„

kn k α

#„

Рис. 3.13. Нормальна та геодезична кривизни кривої на поверхнi

а абсолютна величина дорiвнює кривизнi кривої в цiй точцi:

#„

#„ .

|N|

#„

Проекцiя вектора k на побудовану нормальну площину (на напрямок

нормалi	#„
нормалi	n) називається нормальною кривизною kn кривої; вона дорiвнює
				#„		·	#„
				N			#„
	kn = k	\|	cos α = k	N			n			.	(3.30)
	kn = k		cos α = k	#„				#„		.	(3.30)
			\|	N	\|·\|			n
				\|	\|·\|				\|

Геодезичною кривизною kg лiнiї на поверхнi в точцi називається модуль проекцiї вектора кривизни на дотичну площину до поверхнi. З рис. 3.13

видно, що
kg = k\| sin α\| = q			,
kg = k\| sin α\| = q		k2 −kn2	,	(3.31)
3.8. Числовий приклад знаходження кривизни лiнiї на поверхнi
На поверхнi
	u + v			(3.32)
r (u, v) = uv2				(3.32)
#„
	u2 + v2
розташована крива, задана внутрiшнiми рiвняннями
u(t) = t2,	v(t) = 2t + 1.			(3.33)

В точцi поверхнi, яка вiдповiдає значенням криволiнiйних координат

u = 2, v = 3, знайти координатнi вектори #„ , #„ та вектор нормалi до по- ru rv

верхнi, аналiтичнi вирази та числовi значення коефiцiєнтiв E, F, G першої квадратичної форми, кут мiж координатними лiнiями.

В точцi кривої, яка вiдповiдає значенню скалярного параметра t = 0,5, знайти вектор кривизни, а також повну, нормальну та геодезичну кривизни кривої.

clc, clear

ClearSymOutput

% Оголошуємо символьнi змiннi syms u v t real

% Задаємо рiвняння поверхнi як вектор з трьох символьних виразiв r = [ u+v; u*v^2; u^2+v^2 ];

%Знаходимо в аналiтичному виглядi

%...координатнi вектори

ru = diff(r, u);

rv = diff(r, v);

% ...коефiцiєнти 1−ої нормальної форми

E = dot(ru, ru);

F = dot(ru, rv);

G = dot(rv, rv);

% ...вектор нормалi до поверхнi

n = cross(ru, rv);

% ...кут мiж координатними лiнiями theta = acos(F/sqrt(E*G));

u = 2; v = 3;

digits(10);

% Виводимо результати у вiкно Web Browser

ShowSym( ' Рiвняння поверхнi ' , ...

'\vec{r}(u,v)=r ' , ...

'Координатнi вектори ' , ...

'\vec{r}_u = ru = subs(ru) ' , ...

'\vec{r}_v = rv = subs(rv) ' , ...

'Коефiцiєнти першої нормальної форми ' , ...

'E = E = subs(E) ' , ' F = F = subs(F) ' , ' G = G = subs(G) ' ,...

'Вектор нормалi до поверхнi ' , ...

'\vec{n} = n = subs(n) ' , ...

'Кут мiж координатними лiнiями ' , ...

'\theta = theta = double(subs(theta)) ' )

%Змiнним u та v присвоюємо символьнi вирази, якi виражають

%внутрiшнi рiвняння кривої на поверхнi

u = t^2; v = 2*t+1;

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20192.57 Mб4ВИПАДКОВІ ПОДІЇ.doc
#
19.02.2016228.35 Кб26виробн корм др.doc
#
19.02.20161.64 Mб20Вища геодезія для Mathcad.pdf
#
19.02.20161.2 Mб20Вища геодезія для MatLab.pdf
#
06.09.2019908.69 Кб14Вища геодезія.docx
#
19.02.20161.24 Mб31Вища геодезія.pdf
#
10.11.2018126.98 Кб0Вопрос_Квал_6 к_2011.doc
#
28.10.201879.87 Кб15Вопросы - Вступительные.doc
#
17.09.2019214.53 Кб2вопросы на магистра которых небыло с 31-60 .doc
#
16.07.2019139.26 Кб1Вопросы_модуль.doc
#
19.02.2016353.28 Кб118Всі лаби по архітектурі.doc