Вища геодезія

В функцiю треба передати геодезичнi елiпсоїдальнi координати B, L, H (широта i довгота задаються в радiанах, висота — в метрах) та параметри елiпсоїда — екваторiальний радiус a та ексцентриситет e. Приклад використання — в пунктi 1.8.

XYZ2BLH перетворює декартовi геоцентричнi координати в геодезичнi елiпсоїдальнi методом послiдовних наближень; широта i довгота повертаються в радiанах, висота — в метрах.

[B, L, H] = XYZ2BLH(X, Y, Z, a, e)

Система координат з приведеною широтою застосовується для задання положення точок, якi лежать безпосередньо на поверхнi елiпсоїда. Для цього потрiбнi лише двi координати — довгота L та приведена широта u, яка вводиться наступним чином. На великiй осi меридiанного елiпса як на дiаметрi побудуємо коло радiусом a (рис. 1.7). З точки Q проведемо перпендикуляр до екваторiальної площини елiпсоїда; точку перетину цього перпендикуляра з побудованим колом позначимо через Q′. Приведена широта точки Q — це кут мiж екваторiальною площиною та вiдрiзком OQ′ на рис. 1.7.

Q'

Q

меридіанний

еліпс

Рис. 1.7. До поняття приведеної широти

Декартовi геоцентричнi координати через приведену широту та довготу

Укажемо також зв’язок мiж геодезичною та приведеною широтами:

1.5. Топоцентричнi координати

Якщо початок координат збiгається з пунктом спостереження на земнiй поверхнi (топоцентром), то систему координат називають топоцентричною.

В геодезiї широко використовуються системи топоцентричних координат у виглядi декартових x, y, z (рис. 1.8) або полярних сферичних θ, A, D (рис. 1.9).

Початок системи топоцентричних координат знаходиться в деякiй точцi Q1, розташованiй переважно на земнiй поверхнi.

Декартовi топоцентричнi координати вводяться так: вiсь z розташована на продовженнi нормалi до поверхнi елiпсоїда в точцi Q1; вiсь x лежить в площинi меридiана точки Q1 перпендикулярно до вiсi z i направлена на пiвнiч; вiсь y доповнює лiву(!) декартову систему координат.

Полярнi топоцентричнi координати: геодезичний азимут A

(0◦ 6 A< 360◦) — двогранний кут мiж площиною меридiана початкової точки Q1 i нормальною площиною, що проходить через нормаль в данiй точцi i точку Q2 (рис. 1.9); зенiтна вiдстань θ (0◦ 6 θ 6 180◦) — кут мiж вiссю z i прямолiнiйним напрямом з точки Q1 в точку Q2; вiдстань D вимiрюється мiж точками Q1 i Q2 по прямiй.

За визначенням топоцентричних полярних координат θ, A, D маємо такi

формули для координатних перетворень:

x = D sin θ cos A,

Взаємнi перетворення полярних та декартових топоцентричних координат виконують наступнi двi функцiї.

xyz2polar перетворює декартовi топоцентричнi координати x, y, z в полярнi топоцентричнi q, A, D. Геодезичний азимут A та зенiтна вiдстань q повертаються в радiанах. Формат виклику:

[q, A, D] = xyz2polar(x, y, z)

polar2xyz перетворює полярнi топоцентричнi координати q, A, D в декартовi топоцентричнi x, y, z. Формат виклику:

[x, y, z] = polar2xyz(q, A, D)

Нехай точка Q2 має топоцентричнi координати x2, y2, z2 вiдносно системи координат, зв’язаної з точкою Q1, геоцентричнi декартовi координати якої є X1,Y1, Z1. Тодi декартовi геоцентричнi координати X2,Y2, Z2 точки Q2

Матриця A1 має такi елементи (тут B1, L1, H1 — геодезичнi координати точки Q1):

1.6. Пряма i обернена геодезичнi задачi мiж точками простору

Пряма геодезична задача формулюється наступним чином. Задано геодезичнi координати B1, L1, H1 початкової точки Q1 i топоцентричнi полярнi координати θ2, A2, D2 точки Q2 вiдносно початкової точки Q1. Необхiдно визначити геодезичнi координати B2, L2, H2 точки Q2.

Поставлену задачу розв’язують в такiй послiдовностi:

• За формулами зв’язку (1.9) обчислюють декартовi координати X1,Y1, Z1 точки Q1;

•Обчислюють елементи матрицi перетворення координат за формулою (1.27);

•За формулою (1.24) обчислюють топоцентричнi декартовi координати x2, y2, z2 точки Q2;

•За формулою (1.26) обчислюють декартовi координати X2,Y2, Z2 точ-

ки Q2;

• За формулами (1.10)–(1.13) знаходять геодезичнi координати

B2, L2, H2 точки Q2.

Таким чином, процес розв’язання прямої задачi описується схемою, зображеною на рис. 1.10.

Обернена геодезична задача. Задано геодезичнi координати B1, L1, H1 та B2, L2, H2 двох точок Q1 та Q2. Необхiдно знайти топоцентричнi полярнi координати θ1, A1, D1 точки Q1 вiдносно початкової точки Q2 i координати θ2, A2, D2 точки Q2 вiдносно початкової точки Q1.

Для розв’язання поставленої задачi застосовують таку схему:

•Вiд геодезичних координат точок Q1 та Q2 за формулами (1.9) переходять до декартових X1,Y1, Z1 та X2,Y2, Z2.

•Обчислюють елементи матриць перетворення координат за формула-

обчислюють топоцентричнi декартовi координати x2, y2, z2 точки Q2

Q1 та θ1, A1, D1 точки Q1 вiдносно точки Q2 обчислюють за формулами (1.25).

На рис. 1.11 показана схема розв’язання оберненої задачi.

1.7.Числовий приклад розв’язання прямої геодезичної задачi мiж точками простору

Розв’язати пряму геодезичну задачу мiж точками Q1 i Q2 при заданих геодезичних координатах початкового пункту Q1

B1 = 49◦ 50′ 00′′

L1 = 24◦ 00′ 00′′

H1 = 385,471 м

та топоцентричних полярних координатах пункту Q2 вiдносно пункту Q1 D2 = 22 488,169 м

θ2 = 89◦ 18′ 00′′ A2 = 191◦ 49′ 00′′

(геодезичнi координати заданi вiдносно елiпсоїда WGS–84)

Розв’язання

Декартовi координати початкового пункту Q1 знаходимо за формулами (1.9)

Обчислюємо елементи матрицi перетворення координат

Обчислюємо топоцентричнi декартовi координати пункту Q2 вiдносно пункту Q1

x2 = D2 sin θ2 cos A2=−22 009,954 м y2 = D2 sin θ2 sin A2 =−4604,801 м

За формулами (1.10)–(1.13) визначаємо для пункту Q2 геодезичну широту B2, довготу L2 та висоту H2:

B2 = 49◦ 38′ 7,614′′

L2 = 23◦ 56′ 10,5386′′ H2 = 699,873 м

1.8.Приклад розв’язання в MATLAB прямої геодезичної задачi мiж точками простору

Внаведенiй нижче програмi розв’язується пряма геодезичної задачi мiж точками простору (вихiднi числовi данi для задачi наведено в п.1.7). В програмi застосовуються функцiї BLH2XYZ, XYZ2BLH, dms2rad, rad2dms, rad2str, polar2xyz, якi описанi в попереднiх пунктах.

%−−−−−− РОЗВ'ЯЗАННЯ ПРЯМОЇ ГЕОДЕЗИЧНОЇ ЗАДАЧI −−−−−−

%Дано геодезичнi координати (B1, L1, H1) початкової точки Q1

%та топоцентричнi полярнi координати (θ, A, D) точки Q2

%вiдносно Q1. Потрiбно знайти геодезичнi координати (B2, L2, H2)

%точки Q2.

%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

clc, clear, close all

%вказуємо, що у командне вiкно потрiбно видавати числа з

%точнiстю 15 знакiв

format long g

% завантажуємо з файла параметри елiпсоїда WGS−84 load WGS84_data

%геодезичнi координати точки Q1

B1 = dms2rad(49, 50, 0);

L1 = dms2rad(24, 0, 0);

H1 = 385.471;

%знаходимо геоцентричнi декартовi координати точки Q1

[X1, Y1, Z1] = BLH2XYZ(B1, L1, H1, WGS84.a, WGS84.e);

%обчислюємо матрицю перетворення координат

%топоцентричнi полярнi координати точки Q2 вiдносно Q1 q2 = dms2rad( 89, 18, 0);

A2 = dms2rad(191, 49, 0);

D2 = 22488.169;

%обчислюємо топоцентричнi декартовi координати точки Q2 вiдносно Q1

[x2, y2, z2] = polar2xyz(q2, A2, D2);

%обчислюємо геоцентричнi декартовi координати точки Q2,

%отримуємо R2 − вектор з трьох елементiв

% переводимо їх в геодезичнi координати

[B2, L2, H2] = XYZ2BLH (X2, Y2, Z2, WGS84.a, WGS84.e);

% видаємо результати в командне вiкно

Disp( ' B2 = ' , rad2str(B2,4)) Disp( ' L2 = ' , rad2str(L2,4))

Disp( ' H2 = ' , H2)

Програма видає в командне вiкно наступнi результати:

B2 =

49° 38' 7.6144"

L2 =

23° 56' 10.5386"

H2 =

699.872632717714

1.9.Числовий приклад розв’язання оберненої геодезичної задачi мiж точками простору

Розв’язати обернену геодезичну задачу мiж пунктами Q1 i Q2 при заданих їх геодезичних координатах

(геодезичнi координати заданi вiдносно елiпсоїда WGS–84).

Розв’язання

За формулами (1.10)–(1.13) знаходимо для точок Q1 та Q2 декартовi координати

Обчислюємо за формулами (1.30), (1.31) елементи матриць перетворе-

θ1 = 90◦ 53′ 21,3694′′ A1 = 12◦ 09′ 58,4216′′ θ2 = 89◦ 18′ 55,1514′′ A2 = 192◦ 13′ 01,5467′′ D = 22 762,121 м