Вища геодезія

Коефiцiєнти Ak, Bk в цих рядах є функцiями x.

В MATLAB-програмi перехiд вiд геодезичних координат B, L до плоских декартових координат Гауса–Крюгера i навпаки здiйснюється за допомогою функцiй GK_BL2xy та GK_xy2BL.

GK_xy2BL на основi плоских координат Гауса–Крюгера x, y для елiпсоїда iз екваторiальним радiусом a та ексцентриситетом e повертає значення геодезичної широти B та рiзницi довгот dL (вона вiдповiдає величинi l, яка використовувалась у наведених вище формулах); формат виклику наступний:

[B, dL] = GK_xy2BL(x, y, a, e)

GK_BL2xy на основi геодезичної широти B та рiзницi довгот dL повертає для заданої точки значення плоских координат Гауса–Крюгера x, y, а також

γ — зближення меридiанiв в точцi Q1.

Додаток А. Параметри загальноземних елiпсоїдiв, якi використовуються в деяких координатних системах

Таблиця 1.1

a — екваторiальний радiус елiпсоїда, м b — мала пiввiсь елiпсоїда, м

α— стиснення елiпсоїда

e— ексцентриситет елiпсоїда

ω— кутова швидкiсть обертання Землi, рад/с

U0 — нормальний потенцiал на поверхнi елiпсоїда, м2/с2 W0 — потенцiал на геоїдi, м2/с2

gекв — прискорення вiльного падiння на екваторi, м/с2 gпол — прискорення вiльного падiння на полюсi, м/с2

M— маса Землi, кг

GRS-80

Визначаючi параметри:

Додаток Б. Особливостi виконання символьних обчислень

в MATLAB

Б.1. Поєднання символьних та числових обчислень

В п. 3.5 та 3.8 для дослiдження просторової кривої використовуються засоби символьної математики MATLAB.

Нагадаємо, що для роботи з символьною математикою в MATLAB повинен бути встановлений Symbolic Math Toolbox. Традицiйно робота з символьною математикою включає в себе оголошення в програмi символьних змiнних, створення символьних (аналiтичних) виразiв та їх перетворення за допомогою вiдповiдних функцiй, а також пiдстановку в символьнi вирази числових значень i отримання результатiв в числовому виглядi.

Символьнi змiннi в програмi створюються або за допомогою функцiї syms, або шляхом присвоєння змiннiй символьного виразу, наприклад:

% оголошуємо символьнi змiннi a, b, t

syms a b t

% створюємо символьну змiнну f, якiй присвоєно значення − символьний вираз f = a*cos(2*t) + b*sin(3*t);

Одна з функцiй Symbolic Math Toolbox, яка використовувалась в п. 3.5 та 3.8 — це функцiя diff, призначена для обчислення похiдних. Її аргументи

— це вираз, вiд якого треба взяти похiдну, та змiнна, по якiй береться похiдна. Наприклад,

% обчислюємо першу похiдну вiд f по t df = diff(f, t);

%в результатi df = 3*b*cos(3*t) - 2*a*sin(2*t)

%обчислюємо другу похiдну вiд f по t

d2f = diff(f, t, 2);

% в результатi d2f = - 9*b*sin(3*t) - 4*a*cos(2*t)

Диференцiювати можна i символьний вектор, наприклад,

r= [t^2; 3*t; exp(a*t)];

dr = diff(r, t);

% в результатi dr = [2*t; 3; a*exp(a*t)]

Для пiдстановки в символьнi вирази iнших виразiв та числових значень використовується функцiя subs (вiд англ. substitute), яка в програмi найчастiше викликається в такому форматi:

NewExpr = subs(Expr, змiнна, значення)

де Expr — символьний вираз або змiнна, якiй присвоєно символьний вираз; в цей вираз буде здiйснюватись пiдстановка;

змiнна — iм’я змiнної, замiсть якої буде пiдставлено значення, яке в свою чергу може бути iншим символьним виразом або числом.

Якщо потрiбно зробити одночасно декiлька пiдстановок, формат виклику функцiї subs має бути таким:

NewExpr = subs(Expr, {змiнна1, змiнна2, ...}, {значення1, значення2, ...})

syms a b x y t

%вираз, в який буде зроблена пiдстановка f = a*cos(2*t) + b*sin(3*t);

%замiсть змiнних a i b пiдставляємо вiдповiдно вирази x^2 i y^3

f1 = subs(f, {a, b}, {x^2, y^3});

%в результатi f1 = cos(2*t)*x^2 + sin(3*t)*y^3

%замiсть змiнних a, b, t пiдставляємо вiдповiдно числа 4, 5, 1

f2 = subs(f, {a, b, t}, {4, 5, 1}); % в результатi f2 = 4*cos(2) + 5*sin(3)

Продемонстрована пiдстановка не впливає на змiннi a, b, t.

Ще один варiант пiдстановки полягає в тому, щоб в програмi виконати присвоєння числових значень або символьних виразiв необхiдним змiнним, а потiм викликати функцiю subs лише з одним аргументом:

a = 4; b = 5; t = 1;

f2 = subs(f);

% в результатi f2 = 4*cos(2) + 5*sin(3)

Зауважимо, що при цьому змiннi a, b, t в результатi присвоєння набувають типу double. Якщо ж необхiдно, щоб змiннi a, b, t залишались символьними, присвоєння слiд виконувати так:

f2 = subs(f);

В наведених вище прикладах змiнна f2 мiстить символьний вираз, який вже “готовий” до перетворення в число з плаваючою комою. Отримати результат в числовому виглядi можна декiлькома способами:

% 1) перетворення засобами арифметики довiльної точностi; кiлькiсть цифр контролюється функцiєю digits

f3 = vpa(f2);

%в результатi f3 = -0.9589873058892334374865489039625,

%але f3 − це символьна змiнна

%2) перетворення засобами арифметики довiльної точностi; кiлькiсть цифр задається явно

f4 = vpa(f2, 6);

%в результатi f4 = -0.958987, але f4 − це теж символьна змiнна

%3) перетворення в тип double (число з плаваючою комою подвiйної точностi)

f5 = double(f2);

% в результатi f5 = -0.958987305889233, але f5 − це змiнна типу double

Б.2. Символьнi операцiї з векторами

Такi часто уживанi операцiї з векторами, як скалярний i векторний добуток та знаходження модуля вектора, в MATLAB виконують функцiї dot, cross та norm вiдповiдно. Вони розрахованi на роботу з векторами числового типу; при спробi застосувати їх до символьних векторiв результат не завжди задовольняє користувача. Розглянемо приклад.

clc, clear all

syms ax ay az bx by bz

% створюємо два символьних вектора−стовпця a = [ax; ay; az];

b = [bx; by; bz];

D = dot(a, b);

% в результатi D = bx*conj(ax) + by*conj(ay) + bz*conj(az)

C = cross(a, b);

% в результатi C = [ ay*bz-az*by; az*bx-ax*bz; ax*by-ay*bx ]

N = norm(a);

% в результатi N = (abs(ax)^2 + abs(ay)^2 + abs(az)^2)^(1/2)

Бачимо, що iз знаходженням векторного добутку проблем не виникає, але при знаходженнi скалярного добутку та модуля вектора результат мiстить функцiю conj, яка означає комплексне спряження (комплексно спряженим до числа z = x + yi називається число z = x − yi), та функцiю abs, яка означає знаходження абсолютної величини (модуля) числа, тобто ска-

лярний добуток векторiв та модуль вектора обчислюються за правилами q