24. Параболоиды.
Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.
Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:
Z=ax2 +by2
если a и b одного знака, то параболоид называется эллиптическим.
если a и b разного знака, то параболоид называется гиперболическим.
если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.
Эллиптический параболоид
Эллиптический параболоид при a=b=1
Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, описываемая функцией вида
Z=
+
Гдеa
и b
одного знака. Поверхность описывается
семейством параллельных парабол с
ветвями, направленными вверх, вершины
которых описывают параболу, с ветвями,
также направленными вверх.
Если a=b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.
Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид при a=−b=1
Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида
Z=
-
=(
+
) (
-
)
Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.
Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной.
25.Линейное векторное пространство. Подпространство. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства. Координаты векторов. Преобразование координат вектора при замене базиса.
Линейным действительным пространством или векторным действительным пространством наз. множество V элементов x,y,z…, для которых определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число,удовлетворяющее след. аксиомам:
1. х+у=х+у,
2.(х+у)+z=x+(y+z),
3. существует элемент 0 такой, что x+0=x
4. для каждого x существует элемент -x, такой что x+(-x)=0
5. 1*x=x
6. a*(b*x)=(a*b)*x
7. (a+b)x=ax+bx
8. a(x+y)=ax+ay
Множество W V наз.подпространством линейного пространства V,если выполняются след. условия:
1.в множестве W определены те же операции,что и в множестве V
2.если х,у ∈ W, то х+у ∈ W
3.если х ∈ W, то αх ∈ W.
Система векторов
наз. линейно независимой,если линейная
комбинация этих векторов λ1а1
+ λ2а2
+…+ λnаn
=0 тогда и
только тогда ,когда все λ =0
Система векторов наз. линейно зависимой,если существует такая линейная комбинация этих векторов =0,где не все λ =0
Базисом системы векторов наз. такая подсистема в которой все вектора линейно независимы и любой др. вектор явл. линейной комбинацией векторов этой подсистемы.
Число n наз. размерностью линейного пространства V, если выполняются следующие условия:1. в V существует n линейно независимых векторов.2. любая система n+1 векторов из V линейно зависима.
Координатами вектора х в базисе е1,е2,…,еn наз. коэффициенты α1, α2,… αn в разложении этого вектора по данному базису,т.е. в формуле
х=α1е1 + α2е2+…+ αnen
Если система векторов e1, ..., en n-мерного линейного пространства Ln образует базис в Ln, то любой вектор x из Ln может быть представлен в виде
x = С1·e1+ С2·e2+ ...+ Сn· en.
Выражение x = С1·e1+ С2·e2+ ...+ Сn· en называется разложением вектора по базису e1, ..., en, а числа С1, С2, ..., Сn называются координатами вектора x в базисе e1, ..., en.
Координаты вектора принято обозначать тем же символом, что и сам вектор:
x = x1·e1+ x2·e2+ ...+ xn· en.
Взаимно однозначное соответствие x = x1·e1+ x2·e2+ ...+ xn· en ⇐⇒ x = (x1, x2, ..., xn)— изоморфизм Ln и Rn.
Преобразование координат вектора при замене базиса.
Пусть системы векторов e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fn} — два базиса n-мерного линейного пространства Ln.
Обозначим xe = (x1,x2, ..., xn) и xf = (x'1,x'2, ..., x'n) — координаты вектора x ∈ Ln соответственно в базисах e и f.
Справедливо следующее xe= Ce→f·xf :
Здесь Ce→f — матрица перехода от базиса e к базису f, это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов f1, ..., fn в базисе e1, ..., en:
f1 = с11· e2 + с21· e1 + ... + сn1· en, f2 = с12· e1 + с22· e2 + ... + сn2· en, ..., fn = с1n· e2 + ... + сnn· en.
Формулу преобразования координат вектора при изменении базиса принято записывать в виде xf= (Ce→f)− 1·xe