8 Вопрос Декартова система координат. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса.

Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координатВектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке A ) называется противоположным векторуАВ . Вектор, противоположный вектору а , обозначается -а .

Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|.Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через e . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , называется ортом вектора a и обо значается a °.

Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a ||b .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектор  а и b называются равными (а = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство b =d , ноа¹ с. Векторы а и с — противоположные, а =-с.

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны

5.2. Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть а и b — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ОА=а. От точки А отложим вектор АВ = b . Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов а и b : О B=а+b (см. рис. 2).

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелoграмма (см. рис. 3).

На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, b и с.

 

Под разностью векторов а и b понимается вектор с=а-b такой, что b+с=а (см. рис. 5).

 

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и b одна направленная диагональ является суммой векторов а и b , а другая — разностью (см. рис. 6).

Можно вычитать векторы по правилу: а - b = а + (-b ), т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противоположным вектору b .

Произведением вектора а на скаляр (число) λ  называется вектор λ*а (или а*λ), который имеет длину    |λ|*|а|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектораа, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0. Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если b=λ * а , то b || а . Наоборот, если b ||а , (а¹0 ), то при некотором λ  верно равенство b = λа ;

2)    всегда а =|а | • а ^-о , т. е. каждый вектор равен произведению его мо дуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.    а+b=b+а 2.     (а +b) +с=а + (b +с), 3.    λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а, 4.      (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а, 5.    λ • (а +b) =λ •а+λ •b.

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях свектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.