- •1.Случайные события, действия над событиями
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •4.Формулы комбинаторики, гипергеометр. Распределение.
- •6. Формула полной вер-сти. Ф-ла Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •11.Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и её свойства.
- •13.Коэффициент корреляции и ковариация
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения св.
- •16.Равномерное распределение.
- •Показательное распред. Наз.Распред.Вер-тей св,к-рое опис-ся плотностью
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходим.Случ.Посл-тей
- •23. Теорема Чебышева.Теорема Берелли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29.Точечное оценивание
- •30. Доверительные интервалы.
- •31.Стандартная ошибка точечной оценки
- •32. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •33.Довер.Интервалы для оценки мОпри известном
- •33. Доверит.Интервалы для оценки мо нормального распределения при неизвестном
- •35.Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38.Вычисление теоретич.Частот для норм.Распр-ния.
- •39. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •40.Сравнение средних 2х норм.Выборок(Крит.Стьюдента)
- •41. Дисперсионный анализ
- •42.Парная регрессия
- •43. Парный коэффициент корреляции.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэфф.Корреляции.
38.Вычисление теоретич.Частот для норм.Распр-ния.
Пусть имеется выборка(х1,…хn)объема n,и есть основание предпол., что она имеет норм.распр.Вычислим теорет. частоты:1)По данным выборки построить интерв. вариац. ряд.Для этого весь инт-л наблюд.знач.Х надо разделить на k частичн. инт-ов(хi,xi+1)одинак. длины. Находим хmin, xmaxи размах варьирования R=xmax-хmin.Для опр-ния количества инт-ов групп-ки k воспольз. форм.Стерджеса: k=3,32*lgn+1.Число k округл-ся в сторону наиб.целого числа.Тогда находим ширину частичн. инт-ов(хi,xi+1): h=R/k. Необх. чтобыхminи xmax входили внутрь инт-ов.Для этого в качестве левой границы 1го инт-ла можно взять числох0=хmin-h/2,а в качестве правой границы посл. интер.хk+1=xmax+h/2.В качестве частоты ni вариац. ряда запис. число наблюд.,попавших в кажд. [xi,xi+1)промеж.; 2)Для оценки параметров МО а и средн.квадр.отклонения σ перейдем к дискр.ряду,взяв в качестве вариант ряда Х середины построен.интер.xi*.В итоге получим послед-ность равностоящ. вариант и соответств.им частот.Несмещенной оценкой МО явл. выборочн.среднее xВ,а дисп. -исправленная выборочн.дисп.S2 .
а=xВ=1/n*∑xi*ni,σ2=S2=1/n-1*∑(xi*- xВ)2*ni илиS2=(n/(n-1))*Dв.
3)Сделаем преобразов.стандартизации для Х,перейдя к велич. и ,.Причем наим.знач. z0=-∞, а наиб. знач. zk+1=+∞,т.к.теор.норм.распред.приним.знач.на всей числовой оси. 4)Вычисл.вер-сти piпопадания Хв инт-лы(zi,zi+1) pi=P(zi<x<zi+1)=Ф0(zi+1)-Ф0(zi),где i=0, k,Ф0(х)-ф-ция Лапласа; 5)Рассчитаем теор.частоты ni’=npi.
Замеч.:1.чтобы эмпир.ф-ция распр-ния лучше описывала теор-кую,нужно,чтобы число инт-лов было по возможности большим.;2.для выполнения предельного перехода к распред.χ2нужно,чтобы ni>5.Если какой-то инт-л содер.малые знач. ni,то он объед-тся с соседним инт-лом,а их частоты склад-ся.Тогда число степ.свободы критерия χ2 уменьш.на 1.
39. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
Пусть выборки X и Y распределены нормально с параметрами а1 и 1 ; а2 , 2соответсвенно: X~N(а1,1), Y~N(а2,2).
Гип.H0 будет справедл.,если будут равны пар-рыа1=а2;1=2
Сравним сначала дисперсии этих выборок. H0: 21=22
Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии явл. исправленная выборочная дисперсия.
Сравнение дисп-й всегда осущ.путем вычисл.их онош.F=
Можно показать,что при H0 эта СВ имеет распред.Фишера с k1 и k2 числом степ.свободы. F=~F(k1,k2). Причем k1=n1-1, k2=n2-1, S21>S22
Пусть H1:S21>S22, т.е.правостор.критич.область.Fk(Kкр)=1-
Проверка H0 осуществляется сл.образом:
– Вычисляется наблюдаемое значение критерия.Fнабл=
– Выбирается уровень значимости и по таблице крит.точек распред.Фишера находятFкр(,k1,k2)
– Если Fнабл>Fкр ,то H0 отвергаем и приним.конкурирующую.
2. Пусть H1: S21S22 -двусторонняя критическая область.
В этом случае поступают аналогично, только Fкр(/2,k1,k2)
Замеч.:Критерий Фишера примен в предположении нормальн. распред.,а норм.распред.может состовлять выборка с объемом не<30.
40.Сравнение средних 2х норм.Выборок(Крит.Стьюдента)
Пусть имеется2выборки с объемами n1и n2,распред-е по норм. з-ну. X~N(а1,1),Y~N(а2,2)Проверим гип.H0 о рав-ве МО. H0: a1=a2; H1: a1a2. Несмещенной состоятельной оценкой МО- выборочн.средняя.H0:.Поэтому H0 можно сформ-вать,что средние равны..Средние сравнив.путем вычисления их разности и построения СВT=, )-ошибка разности средних. ,
где
S1=S2,можно показать,чтоТ~T(n1+n2-2).
Проверка H0 осущ.сл.обр.Вычисляем
По табл.крит.точек распр.Стьюд.находимТкр=(,n1+n2-2),-выбран.ур.значимости.If |Tнабл|<|Tкр|,нет оснований отвергн. H0→средние различаются недостоверно(случайно). If |Tн|>|Tкр|, H0 отвергаем и прин.H1→средние различ.достоверно.
S1≠S2.В этом случае о распред.СВничего нельзя сказать. Можно лишь гов.о том,что n1,n2→∞эта величина→к распред. Стьюд.с числом степ.свободы
Замечание:Крит.Стьюд. можно исп-ть, если Тнабл намного >Ткр.