1.Случайные события, действия над событиями

ТВ – это математическая наука, изучающая законамерности в случайных явлениях. ТВ пользуется языком теории множеств,т.е.соб.-это множ-ва,а действия над соб.-действия над множ-ми. Случайные соб.-всякий факт,кот.в рез-те опыта со случ. исходом может произойти или не произойти; обозначаются больш.латин.буквами.Множества событий обознач.греч. буквами.Противоположным соб.А наз.соб._{, состоящ.в невыполнен.соб.А. В качестве числен.меры степени возможности появления соб.исп-ся понятие вероят-ти события.Достоверным (}Ω ) _{наз.соб.,кот.в рез-те опыта обязат. должно произойти (вер-ть=1),невозможным(} Ø) _{-произойти не может (вер-ть=0)→диапозон измен.вер-ти сост.0-1. Несколько соб в данном опыте образ.полную группу соб,if в рез-те опыта непременно must появ.хотя бы 1 из них. Неск. соб. наз. несовместными в дан. опыте if невозм. их совм. появление. Равновозм. соб-if ни 1из рассматр.соб. не явл. объективно >возможным, чем другое.}

Дадим определения действиям над событиями:

1.If при появл.соб.А происходит и соб.B→соб.А влечет за собой соб. В и обознач.АB.

2.If АB и ВА→соб.А и В равновозможны и обозн.А=В.

3.Соб.,сост.в том, что появ.хотя бы 1из соб.А или В наз. суммой соб.(А+В).

4.Соб.,сост.в том,что соб.А и В появ.одноврем.,наз. произведением соб.(А*В).

5.Соб.,сост.в том,что Апроиз,аВ непроиз,наз.разн (А-В)

6.Соб. А и В наз. несовместн. if их одновр. появл. невозм. Ø.

7. События В₁, ..., В_n образуют полную группу, если любые 2 из них одновременно появится не могут и в сумме они дают пространство элементарных событий.

Ø, .

2.Классическое определение вероятности и ее свойства.

Класс.вер-тью,наз.отношение числа случаев m, благоприятств.наступлению соб.А,к общему числу n случаев..

Недостаток формулы кл.вер-ти-огранич-ть её исп-ния.Прим.лишь в случае равновозможности и несовместности любого из конечного числа опыта.

Свойства кл.вер:

1. Вер-сть невозможн.соб.=0:P(Ø) = 0,т.к. m=0.

2.Вер-сть противоп.соб.=.

3. Если соб.А влечет за собой соб.В, то.

4.Для люб.соб. А вер-ть - число лежащее в гран.от 0 до 1:.

5. Для 2-ух произв. соб. А и В вер. суммы соб. не превосход. суммы вер-тей

?6. Вер-сть достоверного соб. равна : , т.к..

3. Аксиоматическое определение вероятности

Рассмотрим некоторое подмножество событий F, причем операции сложения, умножения и вычитания не выводят из F.

Числовая функция P: F→R называется вероятностью, если выполнены следующие три аксиомы.

А1. Кажд.случайному соб.А из F ставится в соотв-вие неотриц.число, называемое вероятностью события P(A). Р(А) ≥ 0.

А2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е.:Р(Ω) = 1.

А3.(аксиома сложения) If А и В несовместные соб. из F, т.е. AB=Ø, то _.

Эта аксиома легко обобщается с пом. сочетательного свойства сложения на любое число событий. Если А_i∙Аj = Ø (і ≠ ј), то Р(∑ А_i) = ∑ Р(А_i). т.е. вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Эту аксиому называют теоремой сложения или правилом сложения вероятностей.

4.Формулы комбинаторики, гипергеометр. Распределение.

При решении задач по формуле классической вероятности часто применяют формулы комбинаторики.

1. Перестановками называются комбинации, составленные из одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их следования. P_{n =} n!

2. Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m(0<m<=n), которые различаются либо составом элементов, либо порядком их следования.

3. Сочетанием называется комбинации, состоящие из n элементов по m(0<m<=n), которые различаются только составом элементов.

Свойство сочетаний.

- C_n⁰=1, 0!=1

- C_n¹= n,

- C_n^m=C_n^n-m

Урновая схема (гипергеометрическое распределение):

Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l белых.

5. Условная вероятность. Независимость событий.

Часто интересует вероятность появления события А после того, как некоторое событие В уже произошло. Такую вероятность называют условной и обозначают P(A/B) и вычисляют по формуле

Аналогично, условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло, вычисляется .

Из вышепредлож. формул следует теорема умножения:

Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность второго, при условии, что первое уже произошло. .

Распространим теорему умнож.на конечное число событий:

Вероятность совместного появления нескольких произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

.

Соб.А и В наз-тся независимыми, если вер-сть их произведения=произв-нию вероятностей этих соб. .

Для независимых событий условная и безусловная вероятности совпадают .

Для конечного числаА₁,…,А_к попарно независимых событий вероятность произведения событий равна произведению вероятностей каждого из событий .