21. Условный закон распределения.

Усл.законом распред.одной изСВ, входящий в с-му (X,Y) наз.ее закон распред.,вычислен.при условии,что другая СВ принимает опред.знач(или попадает в какой-то интервал).

Усл.веррр-ть того,что СВ Yпримет зачение y_j при условии,что X=x_i опред. рав-вом

.Совок-ть вер-тей предст.соб. усл.з-н распред СВYпри усл.X=x_i. Сумма усл.вер-тей=1

Опред.усл.вер-ть СВ X при условии,чтоY=y_j

Плотность вер-ти усл.распред. СВ Yпри условии X=x опред.рав-вом ,

Плотность вер-ти усл.распред. СВ Xпри условии Y=y опред.рав-вом ,

Совместная плотность распред.с-мы СВ равна произведению плотности одного состовл. На усл.плоность другой сось.при заданном значении первой. f(x,y)=f₁(x)*f(y|x)=f₂(y)*f(x|y)

22. Неравенство Чебышева. Сходим.Случ.Посл-тей

Для ТВ большую роль играют вер-ти, к-е близки либо к 0, либо к 1. Особую роль при этом играют СВ, к-е предст.соб.сумму большого кол-ва СВ.

СВ ₁, ₂,…, _n, …сходятся по вероятности к величине A(случайной или неслучайной), если для любого вер-сть соб.пристремится 1, т.е..

Сход-сть по вер-ти символически записывают так .

Неравенство Чебышева

Для СВ , имеющей ограничен.дисперсию, и для люб.справедливо нер-во Чебышева

Доказ-во:

Вероятность P(|_–a|≥ε) есть вер-ть попадания СВ _{в область,лежащ.вне промеж.[a-ε; а+ε]. Можно записать}

Область интегр-ния |x-a|≥ε.Возведём обе части в квадр.и разделим на ε²:1≤(x-a)²/ε² .

Т.к.интеграл от неотр.ф-ции при расширен-нии области интегр-ния может только возрасти.

Отметим, что неравенство Чебышева часто используется для противоположного события:

23. Теорема Чебышева.Теорема Берелли.

Т.Чеб.:Если X₁, X₂,…,X_n – посл-сть незав.CВ, имеющих конечные дисперсии,огранич.одним и тем же числом С, то для любого С>0 выполняется

Доказательство.

Т.к. дисп.огран.С, то

Применяя к СВ 1/n∑X_i нер-во Чеб., получим

Переходя к пределу при n→∞ и учит.,что вер-ть люб.соб.не превыш.1, получаем

Суть закона больших чисел. Если число СВ неогр-но растет, то их среднее арифм-кое утрач.смысл СВ и стрем.к постоянному числу равному средн.арифм.их МО.

Следствием теоремы Чебышева является теорема Бернулли.

Пусть m- число появления соб.А в n исп-ниях в схеме Берн., и p- вер-сть появл.А в одном испыт. Тогда для любого справедливо , т.е.относит.частотасоб.Асходится по вер-тик вер-тиp соб.А.

24. Центральная предельная теорема.

Многие задачи ТВ связаны с изучением суммы независ. СВ, которая при определенных условиях имеет распределение, близкое к нормальному. Эти условия выражаются центральной предельной теоремой:

Пусть₁, ₂,…, _n,…-послед-сть независ.СВ.Обозначим =₁+₂+…+_n.Говорят, что к посл-сти₁,₂,…,_n,… применима ЦТП,если призакон распред.стремится к нормальному:

Суть ЦТП: при неогранич.увелич.числа СВ закон распределения суммы стремится к нормальному.

Частным случаем ЦТП является интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

Сформулир.ЦПТ для одинаково равпредел.СВ:

25. Выборочный метод

Пусть изучается некоторые количеств.признак Х и пусть для его изучения имеется некоторая сов-сть объектов. Иногда исследуются все объекты сов-сти, иногда только их часть.

Сов-сть объектов, взятых для исследования наз.выборочной или выборкой. Сов-сть объектов из которых взята выборка наз.генеральной.Число объектов сов-сти наз.объемом.

Чтобы выборка хорошо отражала ген.сов-ть,ее объекты должны браться случайно и независимо друг от друга.

Пусть в выборке значении x₁ встретилось n₁ раз, x₂-n₂,….,x_k-n_k раз.Возможные значения x_i – варианты, n_i – их частоты, ∑n_i объем выборки,n_i/n =w_i– относительные частоты.

Перечень вариантов, записанных в возрастающем порядке и соответствующим их частот наз-тся статистич.распределением выборки или вариационным рядом.