16.Равномерное распределение.

Плотность распределения:

График плотн.вер-ти равном.распред.

Функция распределения:

График ф-ции равном.распред.

Равномерное распределение имеет два параметра и .

, .

Показательное распред. Наз.Распред.Вер-тей св,к-рое опис-ся плотностью

(1)

График плотности вер-сти показ.респред.

Показательное распределение имеет один параметр .

Функция распределения:

, , .

Характ.свойством показ.распред-я является МОи среднеквадратического отклонения:.

17. Нормальное распределение.

Норм.распред.–распр-ние вер-тей непрер.СВ, к-рое описывается плотностью _, >0

Норм. распр-ние определяется 2 параметрами а и σ. Можно показать, что Мξ =а, Dξ = σ² , σξ= σ

Граф.плотн.вер-ти норм.распред.

При а=0 и σ=1 получим станд.норм.распр-ние:

От произвольного норм. распред.можно перейти к станд.с пом.преобраз-я z=(x-a)/ σ. Ф-ция станд.норм.распр-ния – _. Ф-ция Лапласа –

Ф-ции Ф(х) и Ф₀(х) связаны м/у собой соотношением Ф(х)=1/2+Ф₀(х). Вероятность попадания норм.случ.величины в заданный интервал: Р(α<ξ<β)=Ф₀((β-а)/ σ)- Ф₀((α-а)/σ).

Вер-сть заданного отклон.от МО для норм.СВ:

Р (‌‌|‌‌ξ-а|<δ)=2Ф₀(δ/ σ).

Правило трех сигм: если СВ распределена нормально, то с вер-тью близкой к единице, абсол.величина ее отклонения от МО не превосходит утроенного среднего квадратич.отклонения. ( Р (‌‌|‌‌ξ-а|<3 σ)=0,9973≈1).

18. Двумерная функция распределения и ее свойства.

Упор.пара (X,Y) двух СВ X и Yназ.двумерн.СВ.

Ф-цией распред.двум.СВ (X,Y) наз.ф-ция F(x,y) ,кот.для люб.чисел x и y равна вер-ти совм.ввыполнения2х соб.{X<x}и{Y<y}.Т.о., по опред-нию F(x,y)=P{X<x, Y<y }.

Гометрич.ф-цияF(x,y) интерпр.как вер-ть попадания случ.точки (X,Y) в бескон.квадрат с вершиной в т.(x,y), лежащей левее и ниже её.

Ф-цией распред.двум.дискр. СВ (X,Y) наход.суммир-нием всех вер-тей p_ijдля к-ых x_i<x, y_j<y,т.е. F(x,y)=∑∑ p_ij

Свойства двумерной функции распред.:

1. 0 ,

2. F(x,-∞)= F(-∞,y)= F(-∞,-∞)=0

3. F(x) непр.на точке слева по каждому из своих аргументов

4.

5. F(x,+∞)=F₁(x)=F_X(x), F(+∞,y)=F₂(y)=F_Y(y)

6. Вер-сть того, что случ/точка попадет в замкнутый прямоугольник.

19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.

Двум.велич.наз.непрер.,если её ф-ция распред. F(x,y) есть непрер.ф-ция, дифф.по кажд.из аргум-ов, у кот-й сущ-ет второя смешанная производная F’’(x,y).

Плотностью распр.вер-тей непрер.двум.СВ наз.вторая смеш.производная её ф-ции распредел. Обозн. ч/з f(x,y) или p(x,y). Т.е., по опред. f(x,y)= F_xy’’(x,y).

Плотностью распр.вер-тей непрер.двум.СВ (X,Y) есть предел отнош.вер-ти попадания случ.точки (X,Y)в элем.прямоуг.со сторонами Δx и Δy, примыкающ.к т.(x,y),к прощади это прямоуг.,когда его размеры Δx и Δy стремятся к 0.

Свойства:1. Плотн.распр.двумерн.СВнеотриц. f(x,y)≥0

2.Вер-ть попад.случ.точки(X,Y)в область D=раздвоен. интегралу от плотности по области DP{(X,Y) D}=

4.

5.

20. Независимость случайных величин

СВ XиYназ.независимыми, если незав.явл.соб. {X<x} и {Y<y} для люб.действит.x и y.

Теор.1. Для того,чтобы СВXиY были независ., необх.и достат.,чтобы ф-ция распред.с-мы(X,Y) была равна произв-нию ф-ции распред.состовляющих: F(x,y)=F₁(x)*F₂(y)

Теор2. Необход.и достат.условием незав-ти 2ух непрер.СВ, образующих с-му (X,Y), явл. равенство f(x,y)=f₁(x)*f₂(y)

Теор3. Необход.и достат.условием незав-ти 2ух дискр.СВ, образующих с-му (X,Y), явл. равенство p_ij=p_xi*p_j