4.2 Арифметическая средина. Средняя квадратическая ошибка

Предельная и относительная ошибки

Исходя из четвертого свойства случайных ошибок при геодези­ческих измерениях одинаковой точности, за окончательный ре­зультатпринимаютсреднее арифметическоеиз ряда измерений.

Если измерена одна и та же величина п раз и получены результаты: l₁, l₂ , l₃….l_n

(8)

Величина х называется арифметической срединой или вероятнейшим значением измеренной величины.

Разности между каждым измерением и арифметической сре­диной называются вероятнейшими ошибками измерений

(9)

Сложив равенства (9), получим

(10)

Из формул (8) и (10) следует, что = 0.

Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле

(11)

где [v²]— сумма квадратов вероятнейших ошибок; п — число из­мерений.

Средняя квадратическая ошибка арифметической срединывычисляется по формуле

(12)

Предельная ошибка не превышает утроенной средней квадратической ошибки, т.е.

(13)

Пример. Линия измерена шесть раз. Определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п	Длина линии, м	Ν, см	ν2	Вычисления
1	225,26	+6	36	m = M=
2	225,23	+3	9
3	225,22	+2	4
4	225,14	+6	36
5	225,23	+3	9
6	225,12	+8	64
Хср=225,20		[v]=0	[V2]=158.

Относительная ошибка вероятнейшего значения изме­ненной линии равна

.

4.3 Средняя квадратическая ошибка функций измеренных величин

Если мы имеем функцию суммы или разности двух независимых величин

,

то квадрат средней квадратической ошибки функции выразится формулой

m_z²=m_x²+m_y²

При

Пример. Линия на плане масштаба 1:5000 измерена по частям. Одна часть длиной 600,5 м, вторая часть длиной 400,0 м. Найти средние квадратические ошибки суммы и разности этих длин и соответствующие им относительные ошибки.

Ответ. Средняя квадратическая ошибка суммы и разности двух длин будет т_z= т=0,5м

= 0,7 м, где m = 0,5 м — точность масштаба. Относительные ошибки суммы и разности длин соответственно равны

Если функция имеет вид

,

то (14)

т. е. квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы аргументов равен сумме квадратов средних квадратических ошибок слагаемых.

Если m₁=m₂=m₃=…=m_n=m,то формула(14) примет вид

т. е. средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы (разности) измеренных с одинаковой точностью величин в раз больше средней квадратической ошибки одного сла­гаемого.

Пример. В шестиугольнике каждый угол измерен с одина­ковой точностью 0,5', средняя квадратическая ошибка суммы всех измененных углов будет

Если функция имеет вид

то

где k₁, k₂, k_з, ..., k_п — постоянные числа; m₁,m₂,m₃,..., т_п — средние квадратические ошибки соответствующих аргументов. Если имеем функцию многих независимых переменных общего вида

то . (15)

Из формулы (15) следует, что квадрат средней квадратиче­ской ошибки функции общего вида равен сумме квадратов про­изведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента.