ЦСУ_Егоров

6 ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ЧИСЛОВЫМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ

6.1 Типовые воздействия

Высокое быстродействие современных вычислительных машин позволяет реализовывать регуляторы в системах автоматического управ- ления с П-, ПИ-, ПИД- законами регулирования. При этом основные поло- жения классической теории автоматического управления могут быть при- менены для цифровых систем. Однако обработка информации в цифровом коде накладывает свои особенности на математическое описание цифро- вых систем управления.

Рассмотрим математическое описание цифровых систем управле- ния применяемое для расчетов регуляторов и их моделирования.

По принципу своего действия промышленный контроллер (регуля- тор в цифровых системах автоматического управления) является устрой- ством дискретного действия. В цифровых системах на вход могут пода- ваться непрерывные и дискретные сигналы. Решетчатая функция, как мо- дель дискретного сигнала, может формироваться из непрерывной функции либо из любой числовой последовательности некоторой величины, опре- делённой в равноотстоящие моменты времени. Рассмотрим некоторые важные решетчатые функции, используемые при анализе цифровых АСУ и цифровых систем обработки информации.

Цифровой единичный импульс (рис. 6.1 а).

102

x[n]

nT с

Рисунок 6.3. Дискретная синусоида x[nT ] = Asin(ωnT + ϕ )

Синусоидальная последовательность может быть заменена симво- лической записью в комплексном виде

Символичность записи заключается в том, что на самом деле дис- кретная синусоида определяется мнимой частью приведенной комплекс- ной функции.

Произвольная последовательность может быть легко выражена с использованием единичного импульса.

Рассмотрим числовую последовательность a[0], a[1], a[2]...a[n],

где а[ n] - значение n-го элемента. Такая последовательность опи- сывается равенством:

В равенстве (6.9) используется задержка единичного импульса на m отсчётов и масштабирование его умножением на множитель a[ m] .

6.2 Применение преобразования Лапласа для анализа дискретных функций времени

Эффективный математический метод описания дискретных функ- ций основывается на замене последовательности импульсов х[nT] на ре- шетчатую функцию, состоящую из идеальных импульсов. Такая решетча- тая функция физически не реализуема, она служит лишь удобной формой представления реальных импульсов.

Будем считать, что преобразование непрерывного сигнала в реаль- ный дискретный можно реализовать с помощью схемы (рис. 6.4).

104

Если период замыкания и размыкания ключа Т значительно боль- ший чем продолжительность времени положения ключа в замкнутом со- стоянии tз, то дискретная последовательность х[nT], имеющая площадь x[nT]tз можно приближенно заменить идеальными импульсами δ (t) той

же площади.

г)

Рисунок 6.4. Преобразование непрерывного сигнала в реальный дискретный а) n; б) непрерывный сигнал; г) реальный сигнал.

Последовательность идеальных импульсов описывается выражением:

Преобразование Лапласа заключается в том, что функция веще- ственной переменной x (t) преобразуется в функцию F(p) комплексной пе- ременной p = a + jω . Исходная функция называется оригиналом, а пре-

образованная – изображением.

105

n=0

6.3Математические модели линейных цифровых систем

Цифровая система (звено), с точки зрения её математического опи- сания, по существу является преобразованием входной последовательно- сти в выходную в соответствии с заданным алгоритмом. Обозначим вход- ную последовательность через x[n], а выходную через y[n]. Если на вход

системы подать некоторые входные последовательности x1[n], x 2 [n]...x n [n], то на выходе будут некоторые выходные последова-

тельности соответственно y1[n], y 2 [n]...y m [n], которые называются откли-

ками системы.

Линейной называется такая система, у которой при подаче на вход суммы двух и более последовательностей x1[n]+ x2[n], на выходе образу-

ется последовательность y1[n]+ y2[n], .

106

Система с постоянными параметрами характеризуется тем, что ес- ли входной последовательности x[n]соответствует выходная последова-

тельность y[n], то выходной последовательности x n - n 0 при любых n0 ,

соответствует последовательность y[n − n0 ].

Связь между входными величинами и выходными в цифровых си- стемах можно определить с помощью разностных уравнений.

В разностных уравнениях аналогом первой производной является либо первая прямая разность:

Прямая разность определяется в момент времени t = nT по буду- щему значению решетчатой функции при t = (n + 1)T . Это можно сделать,

если будущее значение известно (числовая последовательность выборок сигнала на каком-то интервале времени записана в память машины), либо если это будущее значение можно вычислить по аналитическим зависимо- стям.

Аналогом второй производной непрерывной функции служат вто- рые разности прямая

Аналогично приведенным формулам могут вычисляться высшие прямые и обратные разности.

Аналогом интеграла непрерывной функции в пределах выборки от 0 до n для решетчатой функции является неполная сумма

107

y[n] = ∑y[m].

m=0

иполная сумма

y[n] = ∑y[m]

m=0

Отличие выражений (6.22) и (6.23) состоит в том, что значение y[ n] при определении полной суммы также участвует в формировании ре-

зультата.

Динамические непрерывные объекты описываются дифференци- альными уравнениями, дискретные - разностными. Для однозначного ре- шения дифференциального уравнения необходимо знать начальные или конечные условия. Если система описывается уравнениями n-го порядка, необходимо знать n-1 начальных или конечных условий. В большинстве задач анализа систем управления начальные условия задаются в момент времени t=0.

Чаще всего математическое описание системы представляется раз- ностными уравнениями с обратными разностями. Однако есть класс задач, например, вариационные, когда задаются конечные условия в конечный момент времени и возникает необходимость решения задачи в обратном времени. В этом случае в разностных уравнениях используется прямая разность и обратное время.

При использовании обратных разностей линейные неоднородные уравнения имеют вид:

где х[n] - заданная, а y[n] - искомая решётчатая функции. При x[n] = 0 уравнение становится однородным.

Разностные уравнения легко решаются на цифровых машинах по известному значению функции в правой части уравнения и начальным условиям.

Так разностные уравнения первого порядка самого общего вида

можно реализовать с помощью схемы, изображенной на рис 6.5

108

Блок задержки, на этой схеме, реализованный программным путём, осуществляет задержку на один отсчёт. Аналогично может быт решено разностное уравнение второго порядка (рис 6.8).

Рисунок 6.6 Cхема решения на цифровой машине разностного уравнения второго порядка

Для примера рассмотрим решение разностного уравнения первого порядка.

109

В качестве входной последовательности x[n]возьмём единичный скачок и примем нулевые начальные условия: y[n − 1] = 0 . На (рис. 6.7)

приведена огибающая решетчатой функций полученной в результате ре- шения разностного уравнения.

Системы, входом и выходом которых служат решётчатые функции, описываются уравнениями в конечных разностях. Эти уравнения также иногда удобно представлять по аналогии с непрерывными, преобра- зованными в функции комплексной переменной. В этом случае основой служит дискретное преобразование Лапласа или Z-преобразование.

Пусть дано разностное уравнение

aoy[n]+ aoy[n −1]+ ... + ay[n − m] = box[n]+ b1x[n −1]+ ... + bnx[n − 2] (6.30)

Выполним Z-преобразования этого уравнения. Воспользовавшись известной теоремой Z-преобразования о изображении запаздывающей на k тактов решетчатой функции

По аналогии с непрерывными системами для дискретных систем вводится передаточная функция, как отношение изображения выходной переменной Y(Z) к входной X(Z) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция будет иметь вид:

Умножив числитель и знаменатель выражения (6.36) на Z m получим выражение передаточной функции с положительными степенями числите- ля и знаменателя:

Этой передаточной функции соответствует структурная схема при- веденная на (рис. 6.7).

110