Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП-15.03.14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

2.63 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Вашпанова Р.В.,Угольніков О.П.

ВИЩА МАТЕМАТИКА

ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

Навчальний посібник

Одеса - 2014

Вашпанова Н.В., Угольніков О.П. Вища математика. Теорія функцій комплексної змінної: навчальний посібник. Одеська державна академія холоду, 2012. – 88 с.

У посібнику висвітлюється один із важливих розділів курсу вищої математики: теорія функцій комплексної змінної. У логічній послідовності викладаються основні поняття розділу, починаючи з арифметики комплексних чисел і закінчуючи застосуванням теорії до обчислення деяких визначених та невласних інтегралів від функцій дійсної змінної методом лишків.

Навчальний посібник призначено для студентів, що навчаються за напрямами підготовки 050101 – «Комп’ютерні науки», 050102 – «Комп’ютерна інженерія», 050304 – «Нафтогазова справа», 050601 – «Теплоенергетика», 050604 – «Енергомашинобудування», 050701 – «Електротехніка та електротехнології».

Рецензент: Швець В.Т., д. ф.-м. н., професор Одеської національної академії харчових технологій.

Розглянуто та рекомендовано до видання на засіданні кафедри прикладної математики.

Протокол № __ від “___” ___________ 2014 р.

Розглянуто та рекомендовано до видання на засіданні науково-методичної Ради з напрямів підготовки 6.050101 «Комп’ютерні науки» та 6.050102 «Комп’ютерна інженерія».

Протокол № __ від “___” ___________ 2014 р.

ОНАХТ, 2014

Зміст
1. Комплексні числа ............................................................................................	5
1.1. Основні поняття ........................................................................................	5
1.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел....................................	7
1.3. Форми запису комплексних чисел ..........................................................	8
1.3.1. Алгебраїчна форма запису комплексного числа.............................	8
1.3.2. Тригонометрична форма запису комплексного числа ...................	9
1.3.3. Показникова форма запису комплексного числа..........................	10
1.3.4. Піднесення до степеня комплексного числа .................................	11
1.3.5. Добування кореня з комплексного числа ......................................	12
2. Диференціальне числення функцій комплексної змінної.........................	14
2.1. Області на комплексній площині ..........................................................	14
2.2. Стереографічна проекція комплексної площини на сферу ................	15
2.3. Функції комплексної змінної.................................................................	16
2.3.1. Алгебраїчні функції .........................................................................	17
2.3.2. Показникова функція .......................................................................	18
2.3.3. Логарифмічна функція.....................................................................	18
2.3.4. Тригонометричні функції ................................................................	19
2.3.5. Обернені тригонометричні функції................................................	21
2.3.6. Гіперболічні функції ........................................................................	21
2.3.7. Обернені гіперболічні функції ........................................................	23
2.4. Границя та неперервність функції комплексної змінної ....................	23
2.5. Диференціювання функції комплексної змінної .................................	24
2.6. Інтеграл від функції комплексній змінній ...........................................	26
2.6.1. Лінії на комплексній площині.........................................................	26
2.6.2. Означення та властивості інтеграла ...............................................	27
2.6.3. Інтегрування аналітичних функцій ................................................	29
2.6.4. Інтегральна формула Коші ..............................................................	33
2.6.5. Визначення аналітичної функції за її дійсною частиною ............	35
3. Ряди аналітичних функцій і ізольовані особливі точки ............................	37
3.1. Числові та степеневі ряди ......................................................................	37
3.2. Ряди Тейлора та Маклорена ..................................................................	38
3.3. Ряд Лорана ...............................................................................................	40
3.4. Деякі прийоми розкладу функцій в ряд Лорана ..................................	44
3.5. Нулі та ізольовані особливі точки аналітичної функції .....................	45
3.5.1. Нулі аналітичної функції .................................................................	45
3.5.2. Ряд Лорана функції f (z) в околі її скінченної ізольованої
особливої точки z0 .....................................................................................	46

3.5.3. Ряд Лорана функції

f (z)

в околі її нескінченно віддаленої

ізольованої особливої точки z ............................................................	48
3.6. Ізольовані особливі точки деяких елементарних функцій .................	49
4. Лишки функції та їх застосування...............................................................	51
4.1. Лишок функції у скінченній ізольованій особливій точці .................	51
4.2. Лишок функції у нескінченно віддаленій особливій точці ................	54

4.3. Основна теорема про лишки..................................................................

4.4. Обчислення деяких інтегралів за допомогою лишків.........................

4.4.1. Інтеграли

( R

– раціональна функція)

R(cos ,

sin ) d

4.4.2. Інтеграли вигляду

R(x) d x

( R

– раціональна функція)

4.4.3. Інтеграли вигляду I

iax

f (x)dx

. Лема Жордана

5. Приклади розв’язання завдань

6. Завдання для самостійного розв ......................................................’язання

7. Бібліографічний список ................................................................................

8. Предметний покажчик

..................................................................................

1. Комплексні числа

1.1. Основні поняття

Два дійсних числа

та

будемо називати впорядкованою парою, як-

що заданий порядок запису цих чисел: на першому

гому –	y . Упорядковану пару дійсних чисел	x	та
		x

місці число		x	, на дру-

y	будемо записувати у

вигляді

(x, y) .

Комплексним числом z називається впорядкована пара дійсних чисел

z (x, y) , перше з яких x називається дійсною частиною, а друге

– уяв-

ною частиною цього комплексного числа. Вони відповідно позначаються:

x Re z , y Im z .

Зокрема, при y 0 комплексне число z (x, 0) x є дійсним числом. Це позволяє включити множину дійсних чисел у множину комплексних чисел. При x 0 комплексне число z (0, y) називається чисто уявним.

Два комплексних числа

z	(x	, y )
1	1	1

та

z	2	(x	, y	2	)
	2	2		2

називаються рівними,

якщо вони мають рівні дійсні та уявні частини, тобто:

z	z		x		x	,
				1	2

1		2		y	y		,

				1	2

або

Re z		Re z	,
	1	2
	Im z	Im z	.

	1	2

Комплексне число

z (x, y)

дорівнює нулю, якщо

x 0, y 0 .

Комплексне число z (x, y) називається комплексно спряженим до числа z (x, y) , якщо воно відрізняється тільки знаком уявної частини.

Дамо означення операцій додавання та множення комплексних чисел. Оскільки дійсні числа є частиною множини комплексних чисел, ці означення повинні бути такими, щоб для комплексних чисел виконувалися ві-

домі правила дій над дійсними числами.
Сумою двох	комплексних чисел z1 (x1, y1 ) і	z2 (x2 , y2 ) називається
комплексне число	z вигляду

		z z1 z2 (x1 x2 , y1 y2 ) .
Добутком двох комплексних чисел z1 (x1, y1 ) і			z2 (x2 , y2
комплексне число	z	вигляду

z z1 z2 (x1x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1) .

Легко перевірити, що сума та добуток комплексних чисел самі властивості, що й сума та добуток дійсних чисел:

1. z1 z2 z2 z1 (переставна властивість суми);

2. (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) (сполучна властивість суми);

	(1.1)
)	називається

(1.2)

мають такі ж

3.z (0, 0) z (особлива роль числа (0, 0) );


4.	Для	кожного		числа z (x, y) існує протилежне йому число
	z ( x, y) таке, що z z (0, 0) ;
5.	z1 z2	z2 z1 (переставна властивість добутку);
6.	(z1 z2 ) z3		z1 (z2	z3 ) (сполучна властивість добутку);
7.	z (1, 0) z		(особлива роль числа (1, 0) );

Для будь-якого комплексного числа z (x, y) ,

відмінного

існує обернене йому число

2 ,

таке, що z

(z1 z2 ) z3 z1 z3 z2 z3 (розподільна

властивість добутку

від нуля,

1	(1, 0)	;
z

відносно

суми).

Скориставшись цими властивостями, можна дати означення операцій віднімання та ділення комплексних чисел як операцій, обернених до опе-

рацій додавання та множення, відповідно.
Різницею комплексних чисел	z1 (x1	, y1 )	і	z2 (x2 , y2 )	називається ком-
плексне число z , яке у сумі з числом z2		дає z1 . Очевидно, що число z має
вигляд
z z1 z2	(x1 x2 , y1		y2 ) .		(1.3)
Часткою комплексних чисел	z1 (x1, y1 )			і z2 (x2 ,	y2 ) 0 називається

комплексне число	z , яке при множенні на число					z2	дає z1 . Дійсна	x	та уяв-
								x
на y частини частки		z	знаходяться як розв’язок лінійної системи алгебраї-
чних рівнянь
			x x y	2	y x
			2	2	1

з визначником маємо

y	x x	y y
2	2	1

x2	y2	, відмінним від нуля. Розв’язавши цю систему, отри-
2	2
		z	z		x x				y y			,	x y			x y				(1.4)
		z		1		1	2		1		2	,	2		1	1		2	.	(1.4)
				1		1	2		1		2		2		1	1		2
			z				x	2	y	2			x		2	y	2
			z	2			x		y	2			x			y	2
				2			2			2				2			2

З практичної точки зору ділення комплексних чисел виконується ін-

акше: щоб знайти частку комплексних чисел z1 (x1, y1) і														z2 (x2 , y2 ) , ділене
та дільник необхідно помножити на число									z2			, комплексно спряжене до ді-
льника:
			z	z		z		z			.			(1.4')
			z		1		1		2		.			(1.4')
				z	2	z	2	z	2
					2		2		2
Приклади. Виконати дії:
1)	3 (x, y) (3, 0) (x, y) (3x 0, 3y 0) (3x, 3y) .
Взагалі, очевидно, при будь-якому дійсному має місце рівність
			(x, y) ( x, y),										;
2)	(0, 1)	2	(0, 1) (0, 1) ( 1, 0) 1			(0, 1)				2		1.
2)	(0, 1)		(0, 1) (0, 1) ( 1, 0) 1			(0, 1)						1.

Комплексне число (0,1) i називається уявною одиницею. Згідно з означенням добутку комплексних чисел квадрат уявної одиниці дорівнює мінус одиниці:

i2 1 .

Чисто уявне комплексне число (0, y) можна розглядати як добуток уявної одиниці (0,1) i та дійсного числа (y, 0) .

1.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел

При вивченні властивостей комплексних чисел дуже зручною є їх геометрична інтерпретація. Оскільки комплексне число задається парою дій-

сних чисел, то комплексне число	z (x, y)	можна зобразити точкою коорди-
	z (x, y)

натної площини з координатами (x, y) . Числу z 0 ставиться у відповідність початок координат даної площини. Таку площину ми далі будемо називати

комплексною площиною і позначати символом

, вісь абсцис – дійсною

віссю, ось ординат – уявною віссю. При цьому встановлюється взаємно однозначна відповідність між множиною всіх комплексних чисел та множиною точок комплексної площини, а також між множиною всіх комплекс-

них чисел		z (x, y)	та множиною радіус-векторів точок з координатами

(x, y)	. При такому способі зображення додавання та віднімання комплекс-

них чисел зводиться до додавання та віднімання відповідних векторів.

Мал. 1.

Якщо крім декартової	ввести полярну систему координат так, щоб по-
люс знаходився у початку	O декартової системи, а полярна вісь була на-
прямлена вздовж додатного напряму осі абсцис, то полярними координа-

тами точки

будуть z z(r, ) , де

– відстань від точки до початку коор-

динат. Довжина r радіус-вектора точки, що відповідає комплексному числу z , називається модулем комплексного числа і дорівнює

r z	x	2	y	2		z z .

Кут між радіус-вектором r точки z					та додатним напрямом дійсної вісі

називається аргументом комплексного числа z . Цей кут вважається додатним, якщо він відраховується проти ходу годинникової стрілки і визначається не однозначно, а з точністю до адитивного доданку, кратного до 2 .

У зв’язку з цим розрізняють повне значення аргументу			Arg z	та його головне
			Arg z
значення arg z . Тоді, очевидно,

	Arg z 2k	k .

Областю визначення	arg z може бути довільний проміжок довжиною		2 .
Надалі ми будемо вважати, що		( , ] . Головне значення аргументу
комплексного числа	z (x, y) визначається співвідношеннями
		y
	ІІ	І

=arctg	y
=arctg	x
	x
		O

=arctg xy

ІІІ

	=arctg	y
	=arctg	x
		x
	x

=arctg xy

ІV

Якщо точка, що зображує відповідне комплексне число, лежить на одній з осей координат, то значення аргументу є очевидним і не вимагає окремого обчислення. Зокрема для комплексного числа z 0 модуль дорівнює нулю, а аргумент не визначений.

Два відмінних від нуля комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли їх модулі і головні значення аргументів рівні, а аргументи рівні або відрізняються на доданок, кратний до 2 :

z	z		r		r	,
z	z			1	2
				1	2
1		2					,
				1		2

або

z			z	2	,
	1			2
			Arg z				2k .
Arg z			Arg z			2	2k .
		1				2

Комплексно спряжені числа мають рівні модулі, а головні значення аргументів відрізняються знаком:

z z , arg z arg z			(arg z )
						.
Модуль різниці двох комплексних чисел				z1		та	z2 має геометричне
значення відстані між відповідними точками на комплексній площині:
z1 z2 (x2 x1)	2	( y2 y1)			2	.

Відмітимо, крім того, очевидні нерівності			z x,	z y .

1.3. Форми запису комплексних чисел

Існують три форми запису комплексних чисел: алгебраїчна, тригоно-

метрична і показникова.

1.3.1. Алгебраїчна форма запису комплексного числа

Розглянемо комплексне число z (x, y) . Його можна записати у такому вигляді:

(x, y) (x, 0) (0, y) (x, 0) (0, 1) ( y , 0) (x, 0) i ( y , 0) x i y.

Таким чином, ми отримали алгебраїчну форму запису комплексного числа:

z x i y	(1.5)

Алгебраїчна форма запису дозволяє виконувати арифметичні дії з комплексними числами як з многочленами з використанням правил алгебри:

z		z		2	(x		i y ) (x				i y			) (x				x		) i ( y			y				),
1				2		1			1	2			2				1		2			1			2
z		z		2	(x		i y ) (x				i y			) (x				x		) i ( y			y		2		),
1				2		1			1	2			2				1		2			1			2
z		z		(x i y ) (x i y									) x x				i x y					i x y		i				2	y y			(x x				y y				)
z		z	2	(x i y ) (x i y									) x x				i x y				2	i x y		i					y y		2	(x x		2		y y				)
1			2			1		1		2		2			1	2			1		2	2	1						1		2		1	2				1	2
z				x		i y			(x	i y ) (x					i y			)	(x x y y						) i (x y								x y				)		x x
	1				1	1			1		1			2			2				1	2	1	2							2	1	1			2				1	2
	1				1	1			1		1			2			2				1	2	1	2							2	1	1			2				1	2
z				x		i y			(x	i y		) (x			i y			)						x		2		y		2											x	2
z	2			x		i y	2		(x	i y		) (x			i y			)						x				y		2											x
	2				2		2		2		2			2			2								2					2											2
			Приклад. Для комплексних чисел																						z1			2 i					та		z2		1 2i
ницю, добуток та частку																z1	/ z2 .
			Розв’язання.

i (x y		2		x y ),
1				2	1
y y				i	x y			x y			.
1			2		2		1	1		2

y	2				x		2	y	2

	2					2			2

знайти суму, різ-

(2 i) (1 2i) (2 1) (1 2)i 3 i;

(2 i) (1 2i) (2 1) (1 2)i 1 3i;

(2 i) (1 2i) 2 i 4i 2i

4 3i;

2 i

(2 i) (1 2i)

2 i

4i 2i

1 2i

2i) (1 2i)

1.3.2. Тригонометрична форма запису комплексного числа

Декартові координати

(x, y)

точки z

зв’язані з її полярними координа-

тами

(r, )

відомими з геометрії співвідношеннями (див. мал.1):

x r cos ,

y r sin

Підставивши ці співвідношення в (1.5), одержимо:

z x i y r cos i r sin r(cos isin )

Отже, ми отримали тригонометричну форму запису комплексного числа:

z r(cos isin )

(1.6)

Тригонометрична форма запису є дуже зручною для виконання опе-

рацій множення і ділення комплексних чисел. Нехай

r1(cos 1 isin 1),

z2 r2 (cos 2

i sin 2 ) ,

тоді за правилом множення комплексних чисел матимемо:

z r(cos i sin ) z

r (cos i sin ) r (cos

i sin

)

r1 r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 2 sin 1)

r1 r2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) .

Остаточно

1	z	2	1 2			1	2	1	2		,	(1.7)
z	z		r r			cos(		) i sin(		)

тобто при множенні двох комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи додаються.

Аналогічно, при діленні числа z1 на число z2 0 маємо:

z	z1	r1	cos(		) i sin(		) ,	(1.8)
				2		2
	z2	r2	1		1

тобто при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.

Приклад. Записати у тригонометричній формі наступні комплексні числа, взявши головне значення аргументу:

1) z 1;

2) z 2;

3) z i;

4) z 3i;

5) z 1 i.

Розв’язання.

					2		2			. Оскільки комплексному числу відповідає
z 1, r				z 1		0		1		. Оскільки комплексному числу відповідає
z 1, r				z 1		0		1
точка, що лежить на дійсній додатній півосі, то
								arg z arctg0 0											.
Отже,	z			1 (cos0 isin 0)							– тригонометрична форма.
В даному випадку r									z		( 2)		2	0	2	2 . Оскільки комплексному числу
													2		2
відповідає точка, що лежить на дійсній від’ємній півосі, то																											, а
комплексне число в тригонометричній формі виглядає так:
r z				1 1					z 2 (cos isin ) .
r z	0			1 1		. Оскільки комплексному числу відповідає точка,
		2		2
що належить уявній додатній півосі, то																					arg z			. Тому число			z
що належить уявній додатній півосі, то																							2	. Тому число			z


в тригонометричній формі матиме вигляд
									z cos					i sin				.
									z cos			2		i sin			2	.
r z	0			( 3)								2					2
r z	0		2	( 3)	2	3 . Оскільки комплексному числу відповідає точ-
			2		2
ка, що належить уявній від’ємній півосі, то																						arg z				, а число
ка, що належить уявній від’ємній півосі, то																						arg z			2	, а число
																									2
z в тригонометричній формі є

						z 3 cos						2		i sin					2	.
												2							2

5) Знайдемо модуль комплексного числа: r 1 i12 12 2 . Оскільки точка, що відповідає даному числу, належить першому коор-

динатному куту, то arctg1			. Тоді тригонометрична форма є
динатному куту, то arctg1		4	. Тоді тригонометрична форма є
		4
z			i sin

	2 cos				.
		4		4

1.3.3. Показникова форма запису комплексного числа

Якщо прийняти як означення показникової функції з уявним показни-

ком формулу Ейлера

def
ei cos i sin ,
то ми отримаємо так звану показникову форму комплексного числа:

			z r ei	(1.9)
Якщо розглядати функцію e	i		як комплекснозначну функцію дійсного
Якщо розглядати функцію e			як комплекснозначну функцію дійсного
аргументу з областю визначення		, то використання властивостей три-

гонометричних функцій дійсного аргументу дає наступні властивості показникової функції уявного аргументу:

1.	e	i
		1

2.	ei 1
	ei 2

3.	ei

ei 2 ei( 1 2 )

ei ( 1 2 ) ;

n ei n , n

;

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.201615.28 Кб51титулка отчет орг. практика ОНАПТ 2015.docx
#
11.09.2019181.76 Кб6титульный и прочее-1.doc
#
17.07.201994.21 Кб1Трансп,енергет,ремонт.doc
#
15.11.2018291.33 Кб12ТТЖП Мясо(метод.).doc
#
15.11.2018461.31 Кб20ТТЖП Рыба(метод.).doc
#
09.02.20162.63 Mб17ТФКП-15.03.14.pdf
#
09.02.2016727.04 Кб69ТХПП МЕТОДИЧКА.doc
#
09.02.20161.73 Mб80Тюнинг двигателей.doc
#
09.02.2016222.6 Кб9УЗРГ.docx
#
04.12.201881.76 Кб17УИРС.docx
#
09.02.2016350.5 Кб29Укр культура.docx