Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТФКП-15.03.14

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
09.02.2016
Размер:
2.63 Mб
Скачать

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

dz

(z

3)

2

(z

4i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

(z

 

5)

2

(z

i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 5

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

2

(z

2i)

 

(z 5i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 4

 

 

 

dz

(z

3)

2

(z

2i)

 

 

 

 

 

 

z

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

(z 2i)

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z

 

dz

 

 

z

2

(z 3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) : z 4i

2; b) : z 3 2; c) : z 4i 1

a) : z i

1; b) : z i 1; c) : z 5 2

a) : z 1; b) : z 2i 1; c) : z 5i 1

a) : z 2i

2; b) : z 2i 1; c) : z 3 1

a) : z 2i 2; b) : z 1; c) : z 2i 1

a) : z 3 2; b) : z 2; c) : z 3i 1

Завдання

точки

11. Задану функцію f (

z

0

та визначити область

 

 

x) розкласти в ряд Тейлора в околі збіжності:

1.

3.

5.

7.

9.

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

29.

f (z) e

2z 5

,

 

 

z

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

1

 

 

 

 

,

 

 

 

z

 

0

2z 3

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

z

 

 

,

 

 

z

 

 

0

z 2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) z cos(z 1),

 

z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

f (z)

z 1

,

 

z

 

 

1

 

z 1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) (1 z)e

2z

,

 

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

f (z) cos(5z 1),

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

f (z)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

,

 

z

 

1

(4z 1)

2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) (z 1)ez , z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

f (z) (1 z)cos z,

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

f (z) sin(z i),

 

z0

i

f (z) sin(3z 1),

 

 

z0 2

f (z)

 

 

z 8

 

 

 

 

 

, z0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2 z 6

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

3

 

 

 

 

,

 

 

 

z0

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

z 1

 

 

 

 

, z

 

 

1

 

z(z 2)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

4.

6.

8.

10.

12.

14.

16.

18.

20.

22.

24.

26.

28.

30.

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

f (z)

(1 z)e

z

,

z

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

z

 

 

,

 

z

 

 

1

 

 

 

 

z 2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 3

,

 

z

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z 1)sin(z 1),

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

z 1

 

,

 

z

 

1

 

 

z(z 2)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

sin(z

2),

z

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

3z 1

,

 

z

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

,

 

z

 

1

 

(2z 3)

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z i)sin z,

 

z

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

ze

z 1

,

 

z

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

sin(z

1)

z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

(z 1)cos z,

 

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

,

 

z

 

0

 

(2z 5)

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

,

 

z

 

1

 

 

z(z 2)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

,

 

 

z0 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5z 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81

1.

3.

5.

7.

9.

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

29.

1.

3.

5.

7.

Завдання 12. Розкласти функцію

 

f (z) в ряд Лорана в околі точки

z

0

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначити область збіжності:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) z

2

cos

 

 

 

1

 

 

 

,

 

z

 

 

1

 

2.

 

f (z)

 

 

 

1

 

 

 

,

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

3i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1/ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

f (z)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

z

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

f (z) z e

 

 

 

,

 

 

 

z

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

z(1 z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

f (z)

 

 

 

,

 

z0

 

0

 

 

6.

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) ze

 

 

,

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

,

 

 

z

0

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) z2 sin

 

 

 

 

 

1

 

 

 

,

 

 

 

z0

1

 

10.

 

f (z)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

,

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

1

 

 

 

 

3z 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) z

2

sin

z 1

,

 

 

z

 

 

 

0

 

12.

 

f (z)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

,

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

0

 

 

 

3z 5

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) cos

 

 

 

z

 

 

,

 

 

 

z0

1

 

14.

 

f (z)

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

z0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

1

 

 

 

 

 

 

(z 2)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

z

 

 

0

 

16.

 

f (z)

 

 

 

 

 

,

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) z3 sin

1

 

,

 

z0

 

0

 

 

18.

 

f (z)

 

sin z

 

,

 

 

z0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3i

 

 

 

f (z)

 

 

 

,

 

z

 

 

 

0

 

 

20.

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 3i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) z

3

cos

 

 

 

1

 

 

 

 

,

 

z

 

2

 

22.

 

f (z) z cos

 

 

2z

 

 

,

 

 

 

z

 

1

 

 

 

 

 

 

z

 

 

2

 

0

 

 

 

z

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

,

 

z

 

 

 

2i

 

 

24.

 

f (z) z

2

 

sin

z 2

,

 

 

 

z

 

 

0

 

 

 

z

2i

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

1

 

 

 

,

 

 

 

z

0

 

0

 

 

 

 

 

26.

 

f (z) cos

 

2z

 

 

,

 

 

z

0

 

i

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ ( z 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) ze

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

0

 

1

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

z

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) (z 1)e

( z 1)/ z

,

 

 

z 0

 

30.

 

f (z)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

, z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

z(1 z)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 13. Знайти особливі точки функції f (z)

і визначити їх характер:

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(1 e

z

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

f (z)

1 ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

f (z)

 

 

sin z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(z2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ez 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

f (z) z

2 cos

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

82

9.

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

29.

1.

3.

5.

7.

9.

11.

13.

15.

17.

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

10.

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

(z 1)

3

 

1 e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

1

 

 

 

12.

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z

 

z

f (z) e z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

1

 

 

 

3

 

 

14.

f (z)

1

sin

1

 

z z

 

 

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos z

2

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

16.

f (z)

 

1 z

2

 

 

1 cos z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 z

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

f (z)

 

 

 

 

18.

f (z)

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) ze z

 

 

 

 

20.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) e z2

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

22.

f (z) z

 

 

 

 

 

1

 

 

 

f (z) e1 z

 

 

 

 

 

 

4

e z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

1

 

 

 

 

 

 

 

24.

 

 

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) e

z

 

 

 

sin z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) sin

 

 

 

 

 

 

 

 

ze

i z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

f (z)

 

 

 

 

z

 

1

 

z

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

1 cos z

 

28.

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

z

2

(1 cos z)

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) sin z e

1

30.

f (z)

sin z

 

 

z

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 14. Використовуючи основну теорему про лишки, обчисли-

ти інтеграл

 

f (z)dz , де

 

:

z z0

R , якщо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

z

 

i,

R 2

 

2.

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

z

 

2i,

R 3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

0

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

(z 2i)

(z

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

(z

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3i,

R 3

 

 

 

 

 

 

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

z

 

4.

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

z

 

2i,

R 3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

(z i)

 

(z

9)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

(z

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

,

 

0

 

2 2i,

 

R 3

 

6.

f (z)

2

sin z

 

,

 

0

,

R 4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

(z

 

 

 

(z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

(z )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

,

z

 

i,

R 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

0

 

8.

f (z)

 

 

 

 

 

 

2 , z0 1 i,

R 2

 

 

(z i)

(z

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z (z 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

z

2 i,

 

R 3

 

10.

f (z)

 

 

 

 

 

,

z

 

 

0,

R 3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

(z i)

(z

4)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

(z

 

2i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

z

1 i,

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

f (z)

2

 

 

 

 

 

 

,

z0 0,

R 2

 

 

z

(z

2z

3)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

(z 3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

cos z

 

 

 

 

 

,

 

z0 1 i,

 

R 2

 

14.

f (z)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

,

z0 i,

R 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

(z

2

2z

3)

 

 

 

 

 

2

(z

2

9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

,

 

z0 2,

R 2

 

16.

f (z)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

,

z0 i,

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z

1)

2

 

(z

2

2iz

5)

 

 

z

2

(z

2

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

,

z0 1,

R 2

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

z0 1 i,

R

2

 

 

18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

z

 

 

(z i) (z

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

83

19.

21.

23.

25.

27.

29.

f (z)

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

,

z

 

 

2i,

R 2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

0

 

 

(z i )

 

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

cos( z / 2)

 

,

 

 

z

 

2 i,

R 3

 

(z 2)

2

(z

2

4)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

z

 

 

2,

R 2

 

(z

2)

2

(z

2

1)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

z

 

 

 

1,

 

R 2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

(z 2)

(z

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

,

 

z

 

1 i,

R

3

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

(z

1)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin( z / 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

, z0 1 i,

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z

1)2 (z2

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

22.

24.

26.

28.

30.

f (z)

 

z 2

,

z

 

 

1,

R 2

2

 

 

 

 

2

 

0

 

 

z

 

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

1

 

 

,

z

 

 

i,

R

3

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

z

(z

1)

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

cos z

, z0 3,

 

R 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

(z2 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

z 1

,

z

 

 

3i,

 

R 3

2

 

 

 

2

9)

0

 

 

 

z

(z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

cos z

, z0 ,

 

R 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

z

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

 

 

,

z

 

2i,

R 3

2

 

 

 

2

4)

0

 

 

z

(z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

84

7.Бібліографічний список

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.Т.2 – М.: Наука, 1985. – 560 с

2.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. / Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. –

М.: Наука, 1981. – 368 с.

3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2.– М.: Высшая школа, 1980. – 365 с.

4.Вища математика. Книга 1. Основні розділи. / За ред. Г.Л.Кулініча.

– К.: Либідь, 2003. – 400 с.

5.Вища математика. Книга 2. Спеціальні розділи. / За ред.

Г.Л.Кулініча. – К.: Либідь, 2003. – 368 с.

6.Вища математика. Збірник задач: Навч. посібник / В.П.Дубовик, І.І.Юрик, І.П.Вовкодав та ін. – К.: А.С.К., 2001.– 480 с.

7.Математичний аналіз у задачах і прикладах. Частина 1. /

Л.І.Дюженкова, Т.В.Колесник, М.Я.Лященко та ін. – К.: Вища школа,

2003. – 462 с.

8. Швець В.Т. Інтегральні перетворення в задачах математичної фі-

зики. Т.1. – Одеса: ОДАХ, 2005. – 368 с.

85

8. Предметний покажчик

алгебраїчна форма, 10 аналітична функція, 31 аналітичне продовження, 75 аргумент, 8

відображення, 20 внутрішня точка, 16 впорядкована пара, 5 зв’язна область, 16

гармонічна функція, 44 головна частина ряду, 51, 61 головне значення аргументу, 8

головне значення логарифму, 23

диференційовна функція, 29 дійсна вісь, 7 дійсна частина, 5, 20

замкнена область, 17 замкнений контур, 35

зовнішня точка, 16

ізольована особлива точка, 58 інтеграл Коші, 41 інтеграл по кривій, 33

істотно особлива точка, 60, 62

комплексна площина, 7 комплексне число, 5 комплексно спряжене число, 5 контурний інтеграл, 35 круг збіжності, 47 кругове кільце, 51

лишок аналітичної функції, 64, 69

межа області, 17 межова точка, 17 модуль, 8

невизначений інтеграл, 39

86

нуль аналітичної функції, 57

область визначення, 19 область значень, 19 образ, 20 однозв’язна область, 16

однолістна функція, 19 оператор Лапласа, 44 особлива точка, 31

первісна, 28 показникова форма, 12 полюс порядку m, 59, 62 полюс функції, 59, 62

порядок або кратність нуля, 57 правильна точка, 31 правильна частина ряду, 51, 61 прообраз, 20 простий нуль, 57 простий полюс, 61

радіус збіжності, 47 рівняння Лапласа, 45 ряд Лорана, 51 ряд Маклорена, 48 ряд Тейлора, 48

степеневі ряди, 48 стереографічна проекція, 18 сфера Рімана, 19

умови Даламбера-Ейлера, 31 умови Коші-Рімана, 29 усувна особлива точка, 59 уявна вісь, 7 уявна одиниця, 6

уявна частина, 5, 20

формула Ейлера,12 формула Коші, 41

формула Муавра, 13 функція комплексної змінної, 19

чисто уявне число, 5

87

Вашпанова Р.В.,Угольніков О.П.

ВИЩА МАТЕМАТИКА

ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

Підписано до друку хх.хх.2014 р. Формат 60 84 1/16. Умовн. друк. арк. х,х. Наклад х прим.

Надруковано видавницький центром ОНАХТ «Технолог». 65039, Одеса, вул. Канатна, 112

88