ТФКП-15.03.14

1

i

2

2

r

(

3)

2,

arctg

z

2 e

6 ,

1

1

1

3

6

1

3

2

i

2

r

(1)

2

(

3)

2

2,

arctg

z

2 e

3 .

2

2

1

3

2

Тоді

2

5

2

i

i

z

2

i

6

i

2

z z

2 2 e

6 3

4 e

6 ;

1

e

3

1 e

.

2

1

z2

2

Розв’язання. Оскільки

1 i 2

cos

i sin

, то

(1 i)4

4

4

4

cos

i sin

4 cos i sin 4 .

2

4

4

Якщо у формулі Муавра покласти

r 1

, розкласти за формулою бінома

3

2

sin 3cos sin

2

3

cos3 isin3

cos

3i cos

isin

cos3 cos3 3cos sin2 ,

sin3 3cos2 sin sin3 .

1.3.5. Добування кореня з комплексного числа

з комплексного чи-

Операція добування кореня степеня

n

n

, n 1

сла z визначається як обернена до операції піднесення до степеня

n : ком-

плексне число w

n

z називається коренем степеня n з комплексного числа

z , якщо

w

n

z

. Покладемо

z r (cos isin ),

w (cos isin ) ,

надаватимемо числу

k

значення 0,1, , n 1 , то отримаємо

n

різних значень

i

2k

n

r e

i

n

r e

n

,

k 0, n 1 .

(1.12')

Приклад. Знайти всі значення

3

1

та зобразити їх на комплексній

площині.

, то згідно (1.12):

Розв’язання. Оскільки

1

1

cos isin

cos i sin

w

1

3

i ,

0

3

3

2

2

w1 cos i sin 1,

5

5

1

3

w2

cos

i sin

cos

i sin

i.

3

3

3

2

2

3

y

Отже, точки, що зображують ці числа, розта-

w0

шовані у вершинах правильного трикутника, впи-

саного у коло радіуса

R 1

з центром у точці z 0 .

w

1

O

x

w

2

Множина точок z комплексної площини, що ле-

жать всередині кола радіуса

з центром у точці z0

z0

(для яких z z0 ), називається -околом точки z0 .

Точка z називається внутрішньою точкою множини G , якщо існує

-

окіл точки z , усі точки якого належать множині G .

Множина G

точок комплексної площини z

називається областю,

як-

окіл точки

z , усі точки якого не належать області G .

G

G

G

●

●

G

G

G – однозв’язна

G – не однозв’язна

G

G

Верхня півплощина не є скінчен-

Відкритий прямокутник є скінчен-

ною областю

ною областю

Область G

разом зі своєю межею називається замкненою областю і по-

1) Im z c (c 0)

y

y c

Це є сукупність точок, що лежать на прямій

y c .

плексною площиною

z . Будемо вважати, що полюсами сфери є точки

O( 0, 0, 0 ) і

P( 0, 0,1 ) . Нехай точка

M ( , , ) – довільна фіксована точка

сфери, яка

не співпадає з полюсом

P (M S, M P) . Проведемо промінь

Точка

M

називається стереографічною проекцією точки

z

на сферу

S .

ми комплексної площини

z

та всіма точками сфери

S

за виключенням точ-

ки P .

Доповнимо комплексну площину

z

ідеальним елементом, якому пос-

тавимо у відповідність полюс P . Цей елемент назвемо нескінченно віддале-

ною точкою і позначимо його символом

z . Площина комплексних чисел

z , доповнена ідеальним елементом z , називається розширеною площи-

рою S . Сфера

S називається сферою Рімана.

Для числа

z встановлюються наступні правила:

1)

;

2)

не визначені такі поняття, як Re z, Im z, Arg z, arg z

;

3) під околом точки z розуміють множину точок

z R

;

4)

приймемо за означенням, що

, z z ,

z ;

, z z , z , z 0;

,

z

0, z ;

z

5)

приймемо, що не визначені результати таких операцій, як

0

, 0 , / , 1 , .

Нехай задані дві множини комплексних чисел: область

D з елемента-

ми

z та область G з елементами w . Якщо кожному значенню

z з області D

Функція

w f (z)

називається однозначною, якщо кожному значенню

z D ставиться у відповідність тільки одне значення w G , у протилежному

випадку функція називається багатозначною. Однозначна функція f (z)

на-

зивається однолистною функцією в області D , якщо у різних точках z

цієї

області вона приймає різні значення:

двох площинах комплексних чисел: z і

w

, де у площині

z зображена

множина D , а у площині

w

– множина

G . Графік функції комплексної

w називається образом точки

z , а точка

z

називається прообразом точки w

; функція

w f (z)

називається відображенням області

D

на область

G .

Якщо точка z пробігає

D , то точка w пробігає G . Дослідити функцію ком-

плексної змінної – це означає вивчити закономірності відображення D на

G .

Очевидно, що встановлюється і обернена відповідність – кожній точці

w G ставиться у відповідність одна або декілька точок z області D . Це

означає, що в області

G

задана (однозначна або многозначна) функція

комплексної змінної

w

:

z (w) . Вона називається оберненою до функції

f (z) . Область G визначення функції (w) є областю значень функції f (z) ;

областю D значень функції (w) є область визначення функції

f (z) . Якщо

функція (w) однозначна в області G , то між областями D і G

встановлю-

чисел, то завдання комплексної

функції w f (z)

комплексної

змінної

z x i y

еквівалентне

до завдання

двох

дійсних

функцій двох

дійсних

змінних:

f (z) u(x, y) iv(x, y) .

Функції

u( x, y ) Re f (z)

та v( x, y ) Im f (z)

називаються, відповідно, дійсною та

уявною частинами функції

w f (z) .

.

Приклад. Знайти дійсну та уявну частини функції w z

2

Розв’язання. Покладемо z x i y , тоді

z

2

(x i y)

2

x

2

2ix y i

2

y

2

(x

2

2

)

2ix y ,

y

звідки

u(x, y) x

2

2

,

v(x, y) 2x y .

y

2.3.1. Алгебраїчні функції

1) лінійна функція w az b,

a, b .

ключенням нуля: D(w)

\ 0 ,

E(w)

\ 0 , функція однозначна.

однозначна, не вироджується в лінійну.

n 1.

4) степенева функція

w z

n

,

n

,

них чисел D(w)

,

E(w)

, функція однозначна.

5) функція w

n

z , n

, n 1.

Область визначення функції

D(w)

,

область значень функції

E(w) .

Кожному значенню

z 0

відповідають

n різних значень

w, тобто функція

n -значна.

1)

e

z

z

e

z

e

z

;

1

2

1

2

2)

e

e

,

Arg e

y ,

e

1.

z

x

z

yi

e

y i

cos y i sin y

e

y i

cos y i sin y

e

y i

cos y i sin y

e

y i

cos y i sin y

e

y i

e

y i

2cos y

e

y i

e

y i

2i sin y

Ln z ln z i Arg z

(2.2)

нту є нескінченнозначною. При k 0 матимемо значення

(2.2')

ln z ln z i arg z

,

яке називається головним значенням логарифму. Якщо

z

– дійсне додатне

число, то

arg z 0

, і

ln z ln

z

, тобто головне значення логарифма дійсного

Область визначення логарифмічної функції

D(w)

\ {0}, область зна-

чень

E(w) .

Властивості логарифмічної функції:

1)

Ln (z1 z2 ) Ln z1 Ln z2 ;

2)

Ln

z

Ln z1

Ln z2 ;

1

z

2

3)

Ln z

n

n Ln z

;

4)

Ln

n

z

1

Ln z .

n

Приклади. Знайти логарифми і головні значення логарифмів комплек-

сних чисел

1)

z 2 ; 2)

z i .

Розв’язання.

1)

Знайдемо модуль числа:

z 2 2

. Оскільки даному комплексному

. Тоді, згідно з формулами (2.2) і (2.2') відповідно, матимемо

Ln( 2) ln 2 (2k 1) i,

ln( 2) ln 2 i.

2) Модуль числа дорівнює z i 1.

Оскільки даному комплексному

. Тоді, згідно (2.2) і (2.2') дістанемо

2

1

i

Ln i

2k

i ,

ln i

.

2

2

cos z

e

2i z

1

ctg z

i

2i z

;

(2.6)

sin z

e

1

її область визначення D(w)

\ k, k

, область значень E(w)

, функція

однозначна, непарна, періодична з періодом .

Для дійсних z

ці означення тригонометричних функцій комплексної

i z

e

i z 2

i z

e

i z 2

2i z

2

e

2i z

2i z

2

e

2i z

sin2

z cos2

z

e

e

e

e

4

1,

2i

2

4

4

4

1)

cos(i ln 2)

;

2)

sin(i ln3) .

cos(i ln 2)

e ln 2

eln 2

2 1

2

5

.

2

2

4