Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП-15.03.14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

2.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

2) Задана функція


	z	2		3
		2
f (z)	(z 1)		2	(z	2	4)
			2		2

є дробово-раціональною функ-

цією, тобто відношенням двох многочленів, які не мають спільних коренів. Записавши задану функцію у вигляді

f (z)

		z	2	3
			2
(z 1)	2	(z	2i)(z 2i)
(z 1)		(z	2i)(z 2i)

і враховуючи, що кратність коренів знаменника визначає порядок полюсів, знаходимо, що особливими точками заданої функції є точки: z 1 – полюс другого порядку; z 2i – простий полюс; z 2i – простий полюс.

Завдання 14. Використовуючи основну теорему про лишки, обчислити інтеграл

d z,

z 2i

(z 3i)

Розв’язання. Особливими точками підінтегральної

функції є точки

z 0

і z 3i .

Обидві ці точки лежать

всередині круга, обмеженого контуром інтегрування.

Це означає, що підінтегральна функція

f (z)

3i)

всередині кола аналітична окрім цих точок. Визначимо їх

тип. Для цього обчислимо

lim

3i)

z 0

z 3i

Отже, обидві точки є полюсами. Визначимо їх порядок. Для цього розгля-

немо функцію (z)	1	z2 (z 3i)	. Точки
	f (z)	ez

z 0

z 3i

для цієї функції є

нулями. Оскільки (z)

Це означає, що точка	z
ку) для функції

3i f (

2 z3 3i(z2 2z)	, то, очевидно,		0,

ez		(0)		(3i) 0 .

є простим полюсом (полюсом першого поряд-

z) . Знайшовши другу похідну
	(z)

6z 3i( z

4z 2)

, переконуємось, що

(0)

пливає, що точка z 0 є полюсом другого порядку для функції слимо лишки заданої функції в її особливих точках:

з чого ви-

f (z) . Обчи-

res f (z), 3i lim

(z 3i) lim

(cos3 i sin 3),

z 3i

3i)

z 3i z

(z 3i 1)

res f (z), 0 lim

lim

3i)

(z 3i)

z 0

Застосувавши до шуканого інтегралу основну теорему про лишки, отримаємо

I 2 i res f (z), 3i res f (z), 0	2	sin 3 3 i(cos 3 1)	.
I 2 i res f (z), 3i res f (z), 0		sin 3 3 i(cos 3 1)	.
	9
	9

6. Завдання для самостійного розв’язання

Завдання 1. Задано квадратне рівняння

1)	Знайти корені рівняння z1 і z2 ;
2)	Обчислити в алгебраїчній формі	1	2
		2z z

a z	2	bz c

	z		.
		1

z		2

a 1,

b 6,

c 25

a 1,

b 6,

c 13

a 1,

b 4,

c 13

a 9,

b 6,

c 5

a 1, b 2,

c 5

a 1, b 4,

c 53

a 4, b 12,

c 25

a 4, b 20, c 41

a 2,

b 10,

c 13

10.

a 1, b 2,

c 5

11.

a 4,

b 12,

c 25

12.

a 9,

b 6,

c 5

13.

a 4, b 20,

c 41

14.

a 2,

b 10,

c 13

15.

a 8,

b 4,

c 5

16.

a 8,

b 4,

c 5

17.

a 1,

b 6,

c 13

18.

a 1,

b 6,

c 25

19.

a 1,

b 4,

c 13

20.

a 1,

b 4,

c 53

21.

a 5, b 4,

c 8

22.

a 5,

b 4,

c 8

23.

a 13,

b 10,

c 2

24.

a 25,

b 12,

c 4

25.

a 5,

b 6,

c 9

26.

a 5,

b 6,

c 9

27.

a 13,

b 4,

c 1

28.

a 13,

b 4,

c 1

29.

a 25,

b 12, c 4

30.

a 25,

b 12,

c 4

Завдання 2. Задані комплексні числа							1
							z
	метричній та показниковій формах:
1)	w z z		;	2) w	z1	.
1)	w z z		;	2) w		.
	1	1	2	2	z2
					z2

та

z	2

. Обчислити у тригоно-

1.z1 3 i, z2 i

3.z1 3 i, z2 i


5.	z1 2 2i, z2 1

7.	z1 2 2i, z2 1 i

z1 2 23i, z2 1

z		3 i,	z	2	3 3i
1				2

z1 1 3i, z2 1 i

z1 2 2i, z2 i

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

29.

11.

13.

15.

17.

1	2													2						3 i						10.	1	2			2 2													2	16i
z	2							2i,					z							3 i							z	2			2 2								2i,				z		16i
z					3 i,								z		2		2 2i									12.	z	2				3 2i,									z	2	25i
1															2											12.	1															2
z	1 i, z												2	2					3 2i							14.	z	2 2								3i,					z	2	4i
1													2													14.	1															2
1	2							2i,									2	1 i								16.	1	2 2													2	16
z	2				3			2i,							z			1 i									z	2 2						3i,					z			16
z	2 2											3i,					z	2				3 i				18.	z	1				3i,					z		2		1
1																		2								18.	1												2
z	1									3i,				z		2		2 2i								20.	z	1				3i,					z		2		2 2i
1																2										20.	1												2
z	1									3i,				z		2		i								22.	z					3 i,						z		2	i
1																2										22.	1													2

z			1					3			i,			z				2 2i								24.	z	1 i,					z								3				1	i
1		2						2								2											1								2						2				2
		2						2																																	2				2
z1	1 i,							z2									3			1	i					26.	z1			3			1			i,			z2			1
z1	1 i,							z2								2				2	i					26.	z1			2			2			i,			z2			1
																2				2										2			2
z1	1						3i,						z2							3			1	i		28.	z1					3				1		i,			z2		1
z1	1						3i,						z2							2			2	i		28.	z1				2					2		i,			z2		1
																				2			2								2					2
z1					2								2			i,			z2	1				3i		30.	z1					3				1		i,			z2		1 i
z1					2								2			i,			z2	1				3i		30.	z1				2					2		i,			z2		1 i
					2								2																		2					2
Завдання 3.
1)			Знайти всі значення кореня																						n -го степеня з комплексного числа																						z
			та зобразити їх на комплексній площині.
2)		Обчислити zn .
z		4				,			n 3																	2.	z					16							,		n 3
		4																														16
		1 i																											2			3	2i


z				8				,				n 3														4.	z			16							,		n 3
z								,				n 3															z										,		n 3
			3 i																										2 2				3i
			3 i																										2 2				3i
z		4				,			n 4																	6.	z			16							, n 3
		1 i																												2
																													2					3i
																													2					3i
z			4			,				n 4																8.	z			8					,		n 3
z		1 i				,				n 4																	z		2 2i						,		n 3


z			2			,			n 3																	10.	z		18				,			n 3
z		1 i				,			n 3																		z		3 3i				,			n 3


z		1						,					n 3													12.	z		18				,			n 3
z		1						,					n 3														z		3 3i				,			n 3
							3i
							3i
z		4						,					n 3													14.	z			8			,			n 3
z		1						,					n 3														z		2 2i				,			n 3
							3i
							3i
z		8								,		n 3														16.	z			8			,			n 3
																														2i
		3																											2
		3			i																								2
z		8							,			n 3														18.	z					4					,		n 3

																													1
		3																															3i
		3			i																												3i

19.

21.

23.

25.

27.

29.

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

29.

n 4

20.

n 3

1 i

z 2

n 4

22.

n 4

1 i

n 4

24.

n 4

3 i

n 3

26.

n 4

3 i

n 4

28.

n 4

30.

n 3

3 i

Завдання 4. Знайти логарифми

Ln z та ln z

комплексного числа

z .

z i

z 1

z i

z 1

z 1 i

z 2 2i

z 1 i

10.

z 1 i

12.

z 2

3 2i

3 i

14.

z 2

3 2i

3 i

16.

z 2

3 2i

3 i

18.

z 2

3 2i

3 i

20.

z 2 2

z 1

22.

z 2 2

z 1

24.

z 2 2

z 1

26.

z 2 2

z 1

28.

z 2 2i

30.

z 2 2

Завдання 5. Представити в алгебраїчній формі:

1.				i	2.				i
1.	cos			i	2.	sin			i
	3					3
3.					4.
3.	sin		i		4.	tg		i
		6					4
5.					6.	ctg			i
5.	tg		i		6.	ctg			i
		4					3

7.	ctg					i	8.	cos				i
7.	ctg					i	8.	cos			3	i
			3								3
9.	ctg					i	10.	cos				i
9.	ctg					i	10.	cos			4	i
			4								4
11.	tg				i		12.	sin				i
11.	tg			3	i		12.	sin			4	i
				3							4
13.	sin					i	14.	sin			i
13.	sin					i	14.	sin			i
		4											3
15.	cos					i	16.	1 i
								1 i
					4			e
					4
17.	1			i			18.	1		i
	1	2		i				1		i
	e	2						e	2
	e							e
19.	1						20.				1
19.	1	3 i					20.	1	3 i		1		3 i
	e							e			e
21.	1						22.				1
21.	1	6 i					22.	1	6 i		1		6 i
	e							e			e
23.	1			i			24.	1		i	1			i
	1	4		i				1		i	1		4	i
	e	4						e	4		e		4
25.	tg				i		26.	ctg				i
25.	tg			6	i		26.	ctg			6	i
				6							6
27.	tg				i		28.	ctg				i
27.	tg			6	i		28.	ctg			6	i
				6							6
29.	tg				i		30.	ctg				i
29.	tg			4	i		30.	ctg			4	i
				4							4

11.

13.

15.

17.

19.

Завдання 6. Геометрично зобразити множини точок																							z	комплексної
площини, що задовольняють заданим співвідношенням:
	z 2 Im z,							Re z	2, Im(z 2) 0				2.	2 Re z					z	, Re(z 2) 0
	z 2 Im z,							Re z	2, Im(z 2) 0					2 Re z					z	, Re(z 2) 0

	z i	2,		0 arg z									4.		z i 1,					3	arg z
										2			4.							4					4


	z i	1,						arg z 0					6.		z 1 i 1,					arg z
	z i	1,			4			arg z 0					6.		z 1 i 1,					arg z			4
					4																		4
	z i 2, 0 Im z 2												8.		z 1 1, 0 Re z 3, 1 Im z 0
	z 2 i		1,					0 Re z 3,				0 Im z 3	10.		z	3,		1 Ime z 2
													10.
	z 1	1,		Im z 0									12.		Im z		, Re z 0
	z 1	1,		Im z 0									12.		Im z		, Re z 0
	z 1, z i					1							14.	0 Im z 2, Re z 0
	z 1		2,				z 1			2			16.		z 8 16,					z 3 9,				Im z 0
	z 1		2,				z 1			2			16.		z 8 16,					z 3 9,				Im z 0
1 z		2,			0 arg z						3		18.		z	1,		arg z				3
1 z		2,			0 arg z								18.		z	1,		arg z
										2								4			4
	z i	2,		0 Re z 1									20.		z	2,		1 Im z 1
	z i	2,		0 Re z 1									20.		z	2,		1 Im z 1

21.		z 4, 1 Re z 3
		z 4, 1 Re z 3
23.		z 2	2, 0 Im z 3
23.		z 2	2, 0 Im z 3
25.	Re z			1	,				arg z
25.	Re z				,		4		arg z		4
	4						4				4
27.	1 Im z 2,								arg z			3
27.	1 Im z 2,						4		arg z		4
							4				4
29.	Re 1 z					z		,		arg z

									2

Завдання 7.

1) Представити задані

w u(x, y) iv(x, y)

	22.	z 1	i		1, Im z 1, Re z 1
		z 1	i		1, Im z 1, Re z 1
	24.	z 1	1,			Re z 1
	24.
	26.	z 1,		arg z
	26.							4


	28.	z i	1,					arg z
	28.	z i	1,				4	arg z	4
							4		4
	30.	Re z		1	,			arg z
	30.			2			2		4


		w					z x i y
функції		w		f (z),			z x i y		у вигляді

2) Перевірити виконання умов Коші-Рімана, и ті функції w обчислити значення її похідної у точці

у випадку аналітичнос-

z	0 .

w 2z

w z Im z

w 2z e

w 2z iz

/ 2

w 3z

w Re(z

)

1 i

w z

w iz

z0 1 i

w 2z

w Im(z

) 3i

1 3i

w 2z

w 2z 3iz

w 3z iz

w z Re z

1 2i

w 5 iz

b) w z z

1 i

w 3e

w z Re z

/ 2

10.

w 4iz z

w z i Im z

2 i

11.

w z2 iz

w iz

2 z

2 i

12.

w 3z2

2iz

w iz Im z

1 3i

13.

w 2sin z

w z

14.

w 3cos z

w (z z )

i(z z )

/ 2

15.

w 2z sin z

w z Re(z

)

/ 3

16.

w 3z sh z

w z Re(z

)

/ 3

17.

a) w 3z 2 iz2

w z2 Re z

z0 1 2i

18.

a) w 2z2 3iz

w z Re z

z0 2 i

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

10.

11.

12.

13.

w 4z 5 / z

w z

1 2i

w z e

)

/ 2

w Re(z

w 2z

w 3z z

/ 2

w sin3z i

w Im(z

)

/ 3

w cos2z 3i

w iz

/ 2

w z 1/ z

w z Im(z2 )

w 2 3 / z

w z Im(z

)

w 2iz 3z

w z Re(z

)

1 2i

w 2cos2z z

w z Im z

/ 2

w z 4sin3z

w z Im2 z

/ 3

w z2 3z 2

b) w z 2

z0 1 i

w 2 3e

w z

/ 2

Завдання 8. Обчислити інтеграл.

z Re zdz

– відрізок прямої

y x

від точки

до точки

1 i

Im zdz

– дуга параболи

y x

від точки

до точки

1 i

z dz

– дуга кривої y sin x,

0 x

z z dz

– відрізок прямої

y x

від точки

до точки

1 i

– дуга параболи y x

від точки

до точки

1 i

Re(z

)dz

– відрізок прямої y 2x 1 від точки

1 i

до точки

2 3i

(3z z )dz

2 4i

– дуга параболи y x

від точки

до точки

Re2

z Im2 zdz

– відрізок прямої y x

від точки

до точки

2 2i

z dz

– дуга параболи y x

від точки z1

до точки z2

2 4i

z dz

L – відрізок прямої y 2x від точки z1 0

до точки z2 1 2i

Re z dz

– дуга параболи y x

від точки z1

до точки z2

2 4i

Re zdz

L – відрізок прямої y 0

від точки z1 0

до точки z 5

z Re zdz

L – відрізок прямої y 1 2x від точки z1

i до точки z2 1 i

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

	dz
	z
L	z
L
(z			2		z z )dz
(z					z z )dz
L
z Im(z								2	)dz
z Im(z									)dz
L
Re(z						2	)dz
Re(z							)dz
L
z Re zdz
L
z Re z dz
L
z		2		Im zdz
z				Im zdz
L
z Im z dz
L
z Im zdz
L
z		2	z dz
z			z dz
L
z z				2	dz
z z					dz
L
(z				2	2z)dz
(z					2z)dz
L
(z				2	z z )dz
(z					z z )dz
L
z		2		Re zdz
z				Re zdz
L
z		2		Re z dz
z				Re z dz
L
(z z )dz
L
(z zz )dz
L

– відрізок прямої

y 3x

від точки z1

1 3i

до точки

z2 2 6i

– дуга кубічної параболи

y x

від точки z1

1 i

до точки

1 i

– відрізок прямої y x від точки

до точки

1 i

– дуга параболи

y 2x

від точки

до точки

1 2i

– дуга кубічної параболи

y 2x

від точки

1 2i

до точки

z2 2 16i

– відрізок прямої

y 2x

1 від точки

до точки

1 3i

– дуга кубічної параболи

від точки

до точки

y x

1 i

– дуга кубічної параболи

y 3x

від точки

до точки

1 3i

– відрізок прямої

y x 2 від точки

до точки

1 3i

– відрізок прямої

y 2x 3 від точки

z 3i

до точки

2 i

– відрізок прямої

y 3x 2 від точки

до точки

1 i

– дуга параболи

y x

від точки

до точки

y x

– дуга кубічної параболи

від точки 1

до точки

1 2i

– дуга параболи

y x

від точки

i до точки

1 2i

– відрізок прямої

y x 3 від точки

до точки

1 2i

L – дуга параболи y 3x2

від точки z1

до точки

1 3i

– дуга кубічної параболи

y 3x

від точки

z1 0 до точки

1 3i

Завдання 9. Обчислити інтеграл від аналітичної функції:

1 i					1 i
	(z	2	i z) dz	2.		(3z	2	z) dz
	(z		i z) dz	2.		(3z		z) dz
0					i
2 i					2 i
	(z2 4) dz			4.		( 3z2 2) dz
i					0
1 i					i
	(z2 2z) dz			6.	cos2 z dz
0					0

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

29.

1 i

(2z

5) dz

2 z

2 i

1 2i

( 2z

3) dz

10.

ln z

(2z

) dz

12.

z ln z dz

14.

cos 2z cos z dz

sin 2z sin z dz

16.

sin 2z cos z dz

ln(z

18.

sin

z d z

z 1

1 i

(z 2) dz

20.

(z 1) cos 2z dz

1 i

ln z

(2z 1)sin z dz

22.

2 i

d z

24.

z ln 2z dz

26.

1 i

(2z i) dz

28.

sin z cos 3z dz

sin2 2z dz

30.

sin 2z sin 3z dz

Завдання 10. Використовуючи формули Коші, обчислить інтеграл:

: z 2i

1; b) : z 2; c)

: z 3 1

z (z 3)

sin z

a) : z 2i 1; b) : z 1; c) : z 2i 1

z (z 2i)2

: z 3 2; b) : z i 1; c)

: z 2 2

(z 2)2 (z i)

cos z

a) : z 2

: z i 1; c) : z 2 1

; b)

(z i)2 (z 2)

: z 3i 2; b)

: z 1 2; c) : z 1 1

z2 1

sin z

a) : z 3

; b)

: z

; c)

: z i

z2 (z i)

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

6i)

(z 1)

z2 1

z (z 2)2

(z 2)

cos z

(z i)2 (z 3)

sin z

(z 3i)

sin z

z 2

(z 4i)

cos z

z (z 4i)2

sin z

2i)

(z 1)

(z 1)2 (z i)

z 4

z (z 2)2

cos z

(z i)2 (z 3)

: z

;

: z 2; c)

z 3 1

a) : z

; b) : z 1 1; c) : z 6i 2

a) : z 3i

2; b) : z 1; c)

: z 2 1

: z 2i

1; b)

: z

;

: z 2 1

: z

;

: z i 1; c)

: z 3 2

: z

;

: z i 1; c)

: z 2 2

: z

;

: z i 1; c)

: z 3 2

: z 2; b)

z 3i 2; c)

: z 3i

a) : z 2 1; b)

: z 3i

2; c) : z 1

a) : z

; b) : z i 1; c) : z 2 2

a) : z 2 1; b)

: z 2; c)

: z 4i

z 2

1; b) :

z 1

; c) :

z i

: z 4i

1; b)

: z 2; c)

: z 4i 1

a) : z 1; b)

z 2i 1; c)

: z 1 1

: z i 1; b) : z i

1; c) : z 1 1

a) : z 2 1; b)

: z 1; c)

: z 2 1

;

z i

;

z i

a) : z 3 2; b) : z i 1; c) : z 3 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.201615.28 Кб51титулка отчет орг. практика ОНАПТ 2015.docx
#
11.09.2019181.76 Кб6титульный и прочее-1.doc
#
17.07.201994.21 Кб1Трансп,енергет,ремонт.doc
#
15.11.2018291.33 Кб12ТТЖП Мясо(метод.).doc
#
15.11.2018461.31 Кб20ТТЖП Рыба(метод.).doc
#
09.02.20162.63 Mб17ТФКП-15.03.14.pdf
#
09.02.2016727.04 Кб71ТХПП МЕТОДИЧКА.doc
#
09.02.20161.73 Mб80Тюнинг двигателей.doc
#
09.02.2016222.6 Кб9УЗРГ.docx
#
04.12.201881.76 Кб17УИРС.docx
#
09.02.2016350.5 Кб29Укр культура.docx

7.	ctg					i	8.	cos				i
7.	ctg					i	8.	cos			3	i
			3								3
9.	ctg					i	10.	cos				i
9.	ctg					i	10.	cos			4	i
			4								4
11.	tg				i		12.	sin				i
11.	tg			3	i		12.	sin			4	i
				3							4
13.	sin					i	14.	sin			i
13.	sin					i	14.	sin			i
		4											3
15.	cos					i	16.	1 i
								1 i
					4			e
					4
17.	1			i			18.	1		i
	1	2		i				1		i
	e	2						e	2
	e							e
19.	1						20.				1
19.	1	3 i					20.	1	3 i		1		3 i
	e							e			e
21.	1						22.				1
21.	1	6 i					22.	1	6 i		1		6 i
	e							e			e
23.	1			i			24.	1		i	1			i
	1	4		i				1		i	1		4	i
	e	4						e	4		e		4
25.	tg				i		26.	ctg				i
25.	tg			6	i		26.	ctg			6	i
				6							6
27.	tg				i		28.	ctg				i
27.	tg			6	i		28.	ctg			6	i
				6							6
29.	tg				i		30.	ctg				i
29.	tg			4	i		30.	ctg			4	i
				4							4

7.	ctg					i	8.	cos				i
7.	ctg					i	8.	cos			3	i
			3								3
9.	ctg					i	10.	cos				i
9.	ctg					i	10.	cos			4	i
			4								4
11.	tg				i		12.	sin				i
11.	tg			3	i		12.	sin			4	i
				3							4
13.	sin					i	14.	sin			i
13.	sin					i	14.	sin			i
		4											3
15.	cos					i	16.	1 i
								1 i
					4			e
					4
17.	1			i			18.	1		i
	1	2		i				1		i
	e	2						e	2
	e							e
19.	1						20.				1
19.	1	3 i					20.	1	3 i		1		3 i
	e							e			e
21.	1						22.				1
21.	1	6 i					22.	1	6 i		1		6 i
	e							e			e
23.	1			i			24.	1		i	1			i
	1	4		i				1		i	1		4	i
	e	4						e	4		e		4
25.	tg				i		26.	ctg				i
25.	tg			6	i		26.	ctg			6	i
				6							6
27.	tg				i		28.	ctg				i
27.	tg			6	i		28.	ctg			6	i
				6							6
29.	tg				i		30.	ctg				i
29.	tg			4	i		30.	ctg			4	i
				4							4

7.	ctg					i	8.	cos				i
7.	ctg					i	8.	cos			3	i
			3								3
9.	ctg					i	10.	cos				i
9.	ctg					i	10.	cos			4	i
			4								4
11.	tg				i		12.	sin				i
11.	tg			3	i		12.	sin			4	i
				3							4
13.	sin					i	14.	sin			i
13.	sin					i	14.	sin			i
		4											3
15.	cos					i	16.	1 i
								1 i
					4			e
					4
17.	1			i			18.	1		i
	1	2		i				1		i
	e	2						e	2
	e							e
19.	1						20.				1
19.	1	3 i					20.	1	3 i		1		3 i
	e							e			e
21.	1						22.				1
21.	1	6 i					22.	1	6 i		1		6 i
	e							e			e
23.	1			i			24.	1		i	1			i
	1	4		i				1		i	1		4	i
	e	4						e	4		e		4
25.	tg				i		26.	ctg				i
25.	tg			6	i		26.	ctg			6	i
				6							6
27.	tg				i		28.	ctg				i
27.	tg			6	i		28.	ctg			6	i
				6							6
29.	tg				i		30.	ctg				i
29.	tg			4	i		30.	ctg			4	i
				4							4