bmp

272

Повний вектор переміщень скінченного елемента e в локальній системі координат матиме вигляд:

Так само можна записати вектор кінцевих реакцій стержня в локальній системі координат:

Для стержня, який приєднується до вузлів шарнірно (стержень ферми), вектори кінцевих переміщень і реакцій в локальній системі координат матимуть вигляд:

Кінцеві переміщення і реакції можуть бути представлені у вигляді компонентів, які являють собою проекції відповідних величин на осі глобальної і локальної систем координат. Позначення і додатні напрями зазначених компонентів для стержня жорстко прикріпленого до вузлів представ-

лено на рис.14.9,а,б, а для стержня, який приєднується до вузлів шарнірно на рис.14.9,в,г.

Нумерація цих величин також суворо фіксована і аналогічна нумерації в локальній системі координат.

Рис.14.9

Кінцеві переміщення і кінцеві реакції в глобальній системі координат можуть бути представлені у вигляді векторів:

для стержня жорстко прикріпленого до вузлів

273

для стержня прикріпленого до вузлів шарнірно

Рис.14.10

Крім кінцевих переміщень, на стержневий скінченний елемент можуть діяти рівномірно розподілені навантаження, які орієнтуються за осями або локальної (рис.14.10,а) або глобальної (рис.14.10,б) системи координат. Зв’язок між цими двома системами навантажень встановлюється співвідношеннями

Так само за локальними (рис.14.11,а) або за глобальними координатними осями (рис.14.11,б) орієнтуються вантажні реакції, які зумовлюються розподіленими вздовж стержня навантаженнями.

274

Рис.14.11

Нумерація вантажних реакцій також суворо визначена.

Вантажні реакції в локальній і в глобальній системі координат також можуть бути представлені у вигляді векторів:

Для стержня, що має на кінцях шарніри

Цілком очевидно, що в разі відсутності розподілених навантажень ці вектори є нульовими. При наявності розподілених навантажень значення елементів векторів вантажних реакцій залежать від граничних умов по кінцям стержня. Так, для скінченного елементу першого типу (рис.14.3,а), тобто для елемента, що має жорсткі вузли на обох кінцях

Матриці жорсткості і вектори вантажних реакцій для скінченних елементів інших типів наведено в додатках 1.

Таким чином стають відомими переміщення всіх вузлів дискретної моделі. Внаслідок нерозривності деформацій кінці стержнів, які приєднуються до вузлів, матимуть такі ж самі переміщення, що й вузли. Отже для кожного стержня дискретної моделі можна побудувати вектор кінцевих переміщень у глобальній системі координат:

Сумарні кінцеві реакції стержня в локальній системі координат (рис.14.12,а)

складаються з кінцевих реакцій ri , що зумовлені переміщеннями вузлів дискретної моделі (14.22),

і кінцевими силами pi , які викликано дією розподіленого на стержні зовнішнього навантаження:

Рис.14.12

Сумарні кінцеві реакції можуть бути обчислені за формулою:

Вигляд матриці he залежить від граничних умов на кінцях стержня. Так, для стержня, що має на обох кінцях жорсткі вузли

а для стержня з шарнірами на кінцях

Тут позначено: S sin , C cos .

Нумерація сумарних кінцевих реакцій для стержня, що має на кінцях шарнірні вузли представлена на рис.14.12,б.

Приклавши сумарні кінцеві реакції до стержня (рис.14.12), можемо обчислити внутрішні зусилля в будь-якому його перерізі розглядаючи рівновагу однієї з його частин. Наприклад, у перерізі з абсцисою x (рис.14.12,а), маємо:

14.2. Приклад розрахунку плоскої рами

Необхідно виконати статичний розрахунок плоскої рами (рис.14.13). На раму діють зосере-

279

Рис.14.13

Стояки мають жорсткості на згинальні та поздовжні деформації відповідно EI 1, EA 100 , а

ригелі – вдвічі більшу: EI 2, EA 200 .

Перехід до дискретної (скінченно-елементної) моделі

Для переходу від заданої розрахункової схеми до дискретної (скінченно-елементної) моделі розіб’ємо схему на окремі стержневі елементи, які поєднуються у вузлах. За вузли приймаємо точки сполучення окремих стержнів, опорні точи, а також точку прикладення зовнішньої зосередже-

ної сили P1 . Пронумеруємо вузли в довільному порядку. Початок глобальної системи візьмемо у вузлі 7. Дискретна модель наведена на рис.14.14.

281

Згідно до формули (14.3) вектор вузлових навантажень складається з двох векторів. Перший з них – це вектор зовнішніх зосереджених сил і моментів, що безпосередньо діють на вузли:

Рис.14.16

Порівнюючи схему завантаження дискретної моделі (рис.14.14) зі схемою компонентів вузлових навантажень (рис.14.16), можна записати:

Усі інші компоненти дорівнюватимуть нулю, тому:

Вектор Q реактивних сил, що передаються на вузли від розподілених на стержні наванта-

жень, також має 17 компонентів:

Рис.14.17

Стержень 1-7 (рис.14.18,а). Скінченний елемент має з обох боків жорсткі вузли і відноситься до першого типу. Навантаження в локальній системі координат (рис.14.18,б):