bmp

182

Тут 1P – функція, що показує, як змінюється переміщення у напрямі основного невідомого X1

при русі по верхньому поясу ферми вертикальної сили. Замість побудови лінії впливу 1P можна побудувати епюру прогинів вантажного поясу ферми P1 .

Одним із способів отримання епюри прогинів є спосіб пружних вантажів, за яким епюра прогинів еквівалентна епюрі згинальних моментів в балці, якою умовно замінюють вантажний пояс ферми. Балка завантажується системою зосереджених сил, кожна з яких чисельно дорівнює куту зламу між стержнями вантажного поясу у відповідному вузлі ферми.

Так, для обчислення пружного вантажу у вузлах вантажного поясу (рис.11.4) необхідно послідовно до кожного вузла основної системи прикласти одиничні моменти, спрямовані в протилежних напрямах. Для визначення зусиль в стержнях кожен з моментів замінюється парою сил.

Рис.11.4

Від зазначеного навантаження зусилля виникають в стержнях лише двох суміжних з вузлом панелей. Такі стержні позначено товстими лініями. Тоді кути зламу вузлів основної системи від дії основних невідомих X1 1, які дорівнюють пружним вантажам для відповідних вузлів,

визначатиметься за формулою Максвела:

184

Рис.11.6

Лінія впливу основного невідомого X1 (рис.11.6,д) будується на підставі розв’язання канонічного рівняння (11.6):

X1 1P .

11

Лінія впливу зусилля в будь–якому стержні ферми k можна одержати за допомогою формули накладання:

11.2.Приклад розрахунку

Виконаємо розрахунок статично невизначуваної ферми, представленої на рис.11.5,а.

Рис.11.7

Стержні ферми мають такі жорсткості:

нижній пояс і підвіска– EA;

верхній пояс і стійки 2EA;

розкоси 1,5EA.

185

Ступінь статичної невизначуваності

Ступінь статичної невизначуваності обчислюємо за формулою (11.1):

n 22 3 2 12 1.

Оскільки кількість опорних в’язей дорівнює їх мінімально можливій кількості, очевидно, що “зайвим” можна вважати один зі стержнів решітки.

Вибір основної системи

Основну систему утворимо шляхом розрізу горизонтального стержня підвіски (рис.11.8,а). Легко впевнитись, що перетворена в такий спосіб ферма утворена способом “діади” і, отже, є геометрично незмінюваною. За основне невідоме X1 береться зусилля, яке дії в горизонтальному стержні підвіски.

Тригонометричні функції кутів нахилу стержнів визначимо по геометричній схемі ферми:

186

Внутрішні зусилля

На підставі ознак нульових стержнів доходимо висновку, що стержень 3-8 є нульовим:

N3 8 0.

Виконавши розріз І-І розглядаємо рівновагу лівої половини ферма (рис.11.8,б).

Результати розрахунку (зусилля допоміжного стануN1 ) наведено на рис. 11.8,ж.

11.2.1. Розрахунок на нерухоме навантаження

Вантажний стан основної системи (рис.11.9,а)

187

Шість стержнів основної системи є завідомо нульовими:

N11 12 N7 11 N6 11 N9 12 N10 12 N3 8 0.

Для визначення зусиль в інших стержнях скористаємось методами наскрізних перерізів та

188

Унаслідок симетрії зусилля для правої половини основної системи є дзеркальним відбиттям зусиль лівої половини.

Система канонічних рівнянь методу сил

Унаслідок того, що задана ферма один раз статично невизначувана, система канонічних рівнянь методу сил складається з одного рівняння

11 X1 1P 0 ,

яке виражає рівність нулю взаємного наближення точок прикладення основних невідомих.

Обчислення коефіцієнтів системи канонічних рівнянь

Практичний розрахунок рами складається з однотипних обчислень для всіх стержнів ферми, тому розрахунок зручно виконувати в табличній формі (див. табл. 11.1).

Перший стовпець містить перелік всіх стержнів ферми. Стовпці 2 і 3 – довжини стержнів і жорсткості – визначаються по схемі ферми. Тут вважаємо, що EA0 EA. Зведені довжини стержнів,

обчислені за формулою (11.3), записано в стовпець 4.

Зусилля в допоміжному і вантажному станах основної системи занесено відповідно в стовпці 5

і 6.

Коефіцієнти системи рівнянь визначаються за формулами (11.2). Обчислення записані в стопці

7 і 8. Суми чисел в цих стовпцях дорівнюють відповідно коефіцієнтам 11 та 1P . Отже

Розв’язання канонічних рівнянь

Підставляємо коефіцієнти до канонічного рівняння:

Звідси

X1 24,485.

190

Обчислення дійсних зусиль в стержнях ферми

Дійсні зусилля в стержнях статично невизначуваної ферми обчислимо, базуючись на принципі незалежності дій сил, як суми зусиль в основній системі від основного невідомого і від зовнішнього навантаження, тобто за формулою

Nд N1 X1 NP.

Добутки N1 X1 підраховуються в стовпці 9, а дійсні зусилля – в стовпці 11.

Кінематична перевірка результатів розрахунку

Результати розрахунку перевіряються перемноженням дійсних зусиль в стержнях ферми Nд на одиничні зусилля N1 за формулою (11.5), тобто

1д EA1 0 N1Nдl .

Перемноження для кожного стержня записуються в стовпці 11. Сума чисел стовпця дорівнює нулю, тобто

1д EA1 0 N1Nдl 0.

Отже, розрахунок виконано правильно.

11.2.2. Побудова ліній впливу

Будемо вважати, що одинична сила рухатиметься по верхньому поясу ферми (рис.11.10,а).

Система канонічних рівнянь методу сил

Система канонічних рівнянь методу сил складається з одного рівняння

11 X1 1P 0,

яке виражає рівність нулю взаємного наближення точок прикладення основних невідомих.

Вільний член 1P канонічного рівняння являє собою функцію координати z прикладання одиничної сили (рис.11.10,б). Графік цієї функції буде лінією впливу зближення кінців стержня, розрізаного при виборі основної системи.

191

Рис.11.10

Визначення вільного члена

Лінію впливу 1P , яка еквівалентна епюрі прогинів вантажного (верхнього) поясу P1 основної системи, побудуємо методом пружних вантажів. У кожному вузлі основної системи визначається пружний вантаж, який чисельно дорівнює куту зламу між стержнями вантажного поясу у вузлі від дії одиничного невідомого X1 1.

Пружний вантаж для вузла 2

На рис.11.10,в показано допоміжний стан для визначення кута зламу у вузлі 2. Для визначення зусиль в стержнях ферми одиничні моменти замінено парами сил. Зусилля N2 цього стану показано на рис.11.10,в. Обчислення кута зламу за формулою Максвела

здійснюється в табл.11.2.