bmp

82

Необхідно: Визначити внутрішні зусилля в поперечних перерізах арки, центри тяжіння яких мають абсцису х1= 6м, х2= 14м.

Розв’язування:

Визначення ординат точок прикладання навантаження на арку:

Горизонтальні реакції можна відшукати з рівнянь рівноваги лівої піварки (рис.6.9,в):

та правої піварки (рис.6.9,в):

83

2 20 0,8660 0,2 20 0,5 8 21,13 33,10кН. 4

Перевірка правильності визначення реакцій (рис.6.9,б):

4 Fx H A Fcos45 Pcos60 HB

i 1

14,79 40 0,7071 20 0,5 33,10 43,07 43,10 0.03 0.

Для обчислення внутрішніх зусиль у двох перерізах арки визначаються ординати точок арки з відповідними абсцисами та кути нахилу дотичних до осі арки:

При х1 = 6м:

В перерізі арки при х1= 6м внутрішні зусилля визначаються з умов рівноваги лівої частини арки, шляхом проеціювання всіх сил на осі глобальної системи координат:

4 Fxi 0 : H A Fcos45 N1cos 1 Q1sin 1 0;

i 1

4 Fyi 0 : VA Fsin45 N1sin 1 Q1cos 1 0.

i 1

Одержано систему рівнянь відносно шуканих поздовжньої та поперечної сил у перерізі арки:

84

Згинальний момент в перерізі арки при х1= 6м:

M1 2Fsin45 0,63Fcos45 3,8H A 6VA

2 40 0,7071 0,63 40 0,7071 3,8 14,79 6 24,47 165,01кНм.

Уперерізі арки при х2= 12м внутрішні зусилля визначаються з умов рівноваги правої частини арки, проецируючи всі сили на осі локальної системи координат:

3 Fni 0 : N2 HBcos 2 VBsin 2 0;

i 1

N2 HBcos 2 VBsin 2 33,10cos23,56 21,13sin23,56 38,79кН.

3 Fqi 0 : Q2 HBsin 2 VBcos 2 0;

i 1

Q2 HBsin 2 VBcos 2 33,1sin23,56 21,13cos23,56 6,14 кН.

Пошук згинального моменту в перерізі арки при х2= 12м:

Знаки "–" свідчать, що напрямок дії сили протилежний зображеному на рисунку.

85

6.3. Схеми задач для самостійного розв’язування

Побудувати епюри внутрішніх зусиль для арок, зображених на рис.6.10,а-г, прийнявши функцію осі параболою (рис.6.10,г), синусоїдою (рис.6.10,б) та колом (рис.6.10,а,в).

Рис.6.10

7. Статично визначувані рами

7.1. Короткі теоретичні відомості

Рамою називають систему, що складається з прямолінійних стержнів, які поєднуються між собою у вузлах, причому принаймні деякі з вузлів є жорсткими. Вертикальні стержні або такі, що наближаються до вертикальних, називають стояками (стійками), а горизонтальні або майже горизонтальні ригелями (рис.7.1).

Рис.7.1

Всю сукупність статично визначуваних плоских рам можна розподілити на прості і складені. До простих можна віднести рами, для яких структурний (якісний) етап кінематичного аналізу здійснюється за один крок, тобто такі, що утворюються з двох або трьох дисків (включно з диском–“земля”) за допомогою звичайних засобів з’єднання дисків (див. главу 2).

До складених можна віднести рами, для яких структурний (якісний) етап кінематичного аналізу здійснюється більше, ніж за один крок. Частину складеної рами, що відповідає одному кроку, умовно називатимемо “поверхом”. Кожен “поверх” може розглядатись як проста рама, і тому складену раму можна розглядати як сукупність кількох простих рам.

Опорні реакції в рамах визначаються методом перерізів. При цьому рама або її “поверх” відокремлюється від опор. Замість розсічених в’язей прикладаються реакції, після чого для відокремленої частини складаються рівняння рівноваги, розв’язок яких визначає величини опорних реакцій.

При розрахунку складених рам необхідно обчислювати не тільки опорні реакції всієї складеної рами, а й опорні реакції рам кожного “поверху”. Ці реакції визначаються для кожного “поверху” окремо. Обчислення опорних реакцій слід розпочинати з рами найверхнього “поверху”, після чого можна переходити до наступного нижнього “поверху” тощо. До “поверху”, що розраховується, крім заданих зовнішніх навантажень, необхідно прикласти опорні реакції верхнього “поверху” як вже відомі зовнішні сили.

87

Внаслідок дії зовнішніх навантажень у перерізах плоских рам виникають внутрішні зусилля: згинальні моменти, поздовжні сили і поперечні сили. Розрахунок рам полягає в обчисленні зусиль і в побудові графіків їх розподілу в стержнях. Означені графіки називають епюрами внутрішніх зусиль.

Згинальний момент у перерізі стержня рами обчислюється як сума моментів усіх сил, що прикладені до рами по один бік від перерізу, відносно центра тяжіння перерізу. Правило обчислення згинального моменту в перерізі стержня рами k-k можна записати у вигляді фор-

мули Mk k Mk k , де знак суми поширюється на одну з частин, на які переріз поділяє

раму.

Знаки згинальних моментів для рам не визначені. При побудові епюри ординати на стержнях рам прийнято відкладати від розтягнених волокон.

Поперечна сила в перерізі k-k стержня рами обчислюється як сума проекцій усіх сил, розташованих по один бік від перерізу, на нормаль n до осі стержня в цьому перерізі:

Qk k Fn,k k . За цією формулою підсумовуються всі сили, що прикладені до однієї з

частин рами. Поперечна сила вважається додатною, якщо вона намагається повернути відповідну частину стержня відносно перерізу за годинниковою стрілкою.

Поздовжня сила в перерізі k-k стержня рами обчислюється як сума проекцій всіх сил, розташованих по один бік від перерізу, на напрям t осі стержня в цьому перерізі:

Nk k Ft,k k . Тут також беруть до уваги всі сили, які діють на одну з частин рами. По-

здовжня сила вважається додатною, якщо вона розтягує переріз.

У разі, якщо опорні реакції задовольняють умовам рівноваги, внутрішні зусилля, обчислені із розгляду лівої й правої частин рами, матимуть ті ж самі величини. На цій підставі при виконанні практичних розрахунків слід розглядати ту частину рами, на яку діє менша кількість зовнішніх сил, тобто ту, для якої простіше виконувати обчислення.

Зазначений спосіб визначення внутрішніх зусиль застосовується при розрахунку простих рам. Такий підхід дає можливість іноді, але не завжди, обчислити зусилля і для деяких складених рам. Загальний спосіб розрахунку полягає в розкладенні складених рам на окремі “поверхи”. В такому разі розрахунки внутрішніх зусиль виконуються для кожного “поверху” окремо.

При побудові епюр виникає необхідність обчислювати зусилля у великій кількості перерізів. Істотне скорочення перерізів може бути одержано за рахунок використання правил побудови епюр у стержнях, відомих з курсу опору матеріалів:

88

Якщо на ділянці стержня відсутнє будь-яке зовнішнє навантаження, то епюра згинальних моментів змінюється за лінійним законом, а поперечні й поздовжні сили є постійними. Тому для побудови епюри M достатньо обчислити згинальні моменти в двох перерізах ділянки, а для побудови епюр Q і N величини поперечних і поздовжніх сил лише в одному перерізі.

Якщо на ділянці стержня розташоване розподілене навантаження, то згинальні моменти змінюються за нелінійним законом (у випадку, коли навантаження розподілене рівномірно за законом квадратної параболи), і тому для побудови епюри M необхідно обчислити згинальні моменти принаймні в трьох перерізах ділянки. Епюри Q i N при дії рівномірно розподіленого навантаження змінюються за лінійним законом, і тому необхідно обчислювати відповідні величини в двох перерізах. Якщо ж навантаження розподілене нерівномірно, то величини Q i N змінюються за нелінійним законом і для побудови їхніх епюр необхідно обчислювати відповідні величини не менш ніж у трьох перерізах ділянки.

Отже, для побудови епюр необхідно насамперед розбити раму на окремі ділянки. Межами ділянок можуть бути:

місця поєднання двох або більше стержнів;

перерізи, в яких прикладено зовнішні зосереджені сили або моменти;

місця початку і закінчення розподілених навантажень.

Далі для кожної ділянки треба призначити перерізи для обчислення згинальних моментів, поперечних і поздовжніх сил, визначити відповідні величини і побудувати їхні епюри.

Перевіряються побудовані епюри шляхом аналізу рівноваги вузлів або будь-якиз фрагментів розрахункової схеми, до яких прикладаються зовнішні навантаження, а також внутрішні зусилля, які вибираються з побудованих епюр. До того ж перевіряється відповідність між епюрами згинальних моментів і поперечних сил

Тут x координата перерізу, яка вимірюється вздовж стержня (координата абсцис локальної системи координат стержня). Виходячи з геометричного змісту похідної можна вважати, що поперечна сила в перерізі стержня дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до епюри М в даному перерізі до стержня. Якщо дотична відхиляється від стержня за годинниковою стрілкою, то поперечна сила в перерізі буде додатною. Крім того, нульова точка на епюрі Q відповідатиме екстремуму на епюрі М.

90

Система складається з двох дисків: суцільний ламаний стержень, що уособлює власне раму, і диск основи (“земля”), які з’єднуються трьома кінематичними в’язями, тобто Д = 2, С=3, П = 0, В = 0, Ш = 0. Отже, за формулою Чебишова (2.1) геометрична змінюваність становить

Г 3 2 2 0 3 0 2 0 3 3 0.

Геометрична структура: система складається з двох дисків, поєднаних трьома стержнями, які всі водночас не паралельні й не перетинаються в одній точці.

Висновок: рама геометрично незмінювана, статично визначувана і утворена за один “крок”, тобто є простою.

Визначення опорних реакцій

Для визначення опорних реакцій проводимо переріз через опорні з’єднання і замість розрізаних опорних стержнів прикладаємо реакції VA, H A,VB як зовнішні сили невідомої величини (рис.7.2,б). Знаходимо їх величини з рівнянь рівноваги:

Обчислення внутрішніх зусиль і побудова епюр

Розбивку рами на окремі ділянки AC, CD, ED, EK, EF, FB зображено на рис.7.2,б. Залежно від виду навантаження на кожній ділянці призначаються два або три перерізи (рис.7.2,в).

Визначаємо згинальні моменти в обраних перерізах.