bmp

6. Розрахунок тришарнірних арок

6.1 Короткі теоретичні відомості

Плоска геометрично незмінювана стержнева система, утворена поєднанням двох криволінійних дисків і диску „земля” за допомогою трьох шарнірів, що не лежать на одній прямій, називається тришарнірною аркою (рис.6.1, а). Опорні шарніри називаються п’ятами, а шарнір між дисками арки – замком. Відстань між осями п’ят – прогон ( l ), а вертикальний габаритний розмір схеми – стріла підйому арки ( f ). Геометричне місце центрів тяжіння поперечних перерізів арки утворюють її вісь. При виборі геометрії осі арки враховують архітектурні вимоги а також раціональність форми для мінімізації згинального моменту в її перерізах. Вісь арки описується функцією y f (x) , яка задається рівнянням, або дискретно в табличній формі. Для розрахунку арки потріб-

но знати не лише координати точок осі xi, yi, а й кути i – нахилу дотичної до осі арки щодо координатної осі х (рис.6.1, б).

Рис.6.1

Найбільш вживаними функціями осі арки є (в системі координат, пов’язаній з лівою п’ятою):

Особливістю арочних розрахункових схем є те, що при дії вертикального навантаження в п’ятах, крім вертикальних, виникають й горизонтальні складові реакцій – розпір. Тому арки називають розпірними системами. Розпір передається на нижче розташовані конструкції та значно ускладнює їхню роботу. Тому для сприйняття розпору при можливості влаштовують затяжку – прямолінійний стержень або систему стержнів, шарнірно поєднаних між собою та з обома дисками арки (рис.6.2, а, б). Положення затяжки та її конфігурація приймається з урахуванням архі-

73

Рис. 6.2

тектурних або технологічних вимог. При наявності затяжки в статично визначуваних арках одну із опор влаштовують шарнірно рухомою.

Для визначення внутрішніх зусиль в арці потрібно попередньо відшукати сили взаємодії дисків

– реакції у в’язях. Якщо розрахункова схема утворена за правилом шарнірного трикутника

Рис. 6.3

(рис.6.3, а), то її зручно розділити на два окремих диски і, вимагаючи рівновагу кожного диска, із шести лінійних рівнянь визначати шість невідомих компонентів реакцій у трьох шарнірах (рис.6.3,

б).

Рис.6.4

В арках із затяжкою, крім реакцій у замку та в опорах, необхідно визначити сили дії стержнів затяжки на диски арки. Для розрахункової схеми, зображеної на рис.6.4,а, яка має крім диску„земля” два диски-піварки та два вузли, потрібно відшукати величини реакцій у двох шарнірах А, С і зусилля у шести кінематичних в’язях (всього десять невідомих). Для реалізації цього пошуку є десять рівнянь рівноваги: по три рівняння для кожної піварки та по два для вузлів D і E (рис.6.4,б). Раціональний алгоритм знаходження невідомих величин вибудовується виходячи із структурного етапу кінематичного аналізу системи.

74

а

б

Рис.6.5

Внутрішні зусилля в будь-якому поперечному перерізі арки визначається з рівнянь рівноваги, складених для умовно відрізаної лівої (рис.6.5, а,б) або правої від перерізу частини арки. При цьому до частини арки, рівновага якої досліджується, крім активних і реактивних сил прикладається внутрішня сила – сила дії відкинутої частини арки, яка приводиться до поздовжньої сили N (направлена дотично до осі арки), поперечної сили Q (перпендикулярна дотичній) та згинального моменту M в перерізі. Додатні напрями внутрішніх зусиль в залежності від положення перерізу відносно частини арки, що розглядається, зображені на рис.6.5,б. Для пошуку невідомих зручно користуватись сумою моментів всіх сил відносно центру тяжіння поперечного перерізу арки та сумою проекцій всіх сил на осі глобальної системи координат (рис.6.5,а) або локальної системи, осі якої зорієнтовані по напряму невідомих внутрішніх зусиль (рис.6.5,б). Звідси: згинальний момент у перерізі арки дорівнює сумі моментів усіх сил, що діють на арку з одного боку від перерізу відносно його центра тяжіння; поздовжня сила в перерізі арки – зрівноважуюча сила суми проекцій всіх активних і реактивних сил, що діють з одного боку від перерізу, на вісь, дотичну до поздовжньої осі арки; поперечна сила в перерізі арки – сила, що зрівноважує суму всіх активних і реактивних сил з одного боку перерізу на вісь, перпендикулярну дотичній до осі арки в місці перерізу.

При вертикальному навантаженні на арку без затяжки внутрішні зусилля в її перерізах можна визначати за формулами, трансформованими з зрівнянь рівноваги однієї з частин арки:

статично визначуваної балки, яка має прогін і навантаження, як і арка, що розраховується); yx , x – функції, що описують геометрію осі арки; H – розпір арки (при вертикальному наванта-

женні на арку HA = HB = H).

Для арки із простою горизонтальною затяжкою на висоті a (рис.6.2,а) формули (6.1) мають видозміни. Нижче затяжки потрібно приймати H = 0, тому

M xа M xб;

Над затяжкою:

M xа M xб H yx a ;

Nxa Qxбsin x Hcos x ,

де дві останні формули (6.1) не змінились.

6.2. Приклади визначення внутрішніх зусиль в арках

Задача 1.

Дано: Розрахункова модель (рис.6.6,а). Вісь арки – парабола. Необхідно: Побудувати епюр внутрішніх зусиль.

Розв’язування:

Геометрія осі арки визначається за формулами

y 4l2f x l x 164 26 x 16 x 1,5x 0,09375x2 , tg dydx 4l2f l 2x 164 62 16 2x 1,5 0,1875x.

76

Рис.6.6

Результати обчислень координат точок на осі арки з кроком абсциси 2 м, кутів нахилу дотичної та їх тригонометричних функцій заносяться до таблиці 6.1.

79

Задача 2.

Дано: Розрахункова модель (рис.6.8,а). Вісь арки – синусоїда.

Необхідно: Визначити внутрішні зусилля в поперечних перерізах арки, центри тяжіння яких мають абсцису х1= 6м, х2= 14м.

Розв’язування:

Геометрія осі арки визначається за формулами

Горизонт затяжки при х = 4м:

yзат 4,5sin 164 3,18 м.

Висота арки та кути нахилу дотичних до її осі в точках, для яких визначаються внутрішні зусилля:

Визначення опорних реакцій еквівалентної балки (рис. 6.8, б-г):

Перевірка:

2 M B Fi 8q 4 16VA 8 4 4 16 8 128 128 0.

i 1