Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет строительства и архитектуры
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

bmp

.pdf
Скачиваний:
39
Добавлен:
05.02.2016
Размер:
36.09 Mб
Скачать
☆

342

Складання рівнянь рівноваги

Розв’язувальні рівняння складаємо з умов рівноваги елементів, які утримуються від переміщень накладеними з’єднаннями. Формули для кінцевих зусиль вибираються з табл.15.1, 15.2 та 15.3 залежно від граничних умов.

M7

 

M7-8

M7 M7 4 M7 8 0.

 

7

 

M 7 4 2i7 4 7 4 7 7 4 4 7 4 7 4

 

 

 

 

 

M7-4

2i 7 4 7 7 4 4 2i 7 4 7 2i 7 4 4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 7 8 2i7 8 2 7 8 2 7 8 2 4i 2 7 7 8i 7 .

 

 

 

 

 

M 7 2 7 4 8 i 7 2 7 4i 4 0.

(15.35)

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-7

 

M

4 M4 7 M4 5 M4 1 0.

 

M4

 

M4-5

 

4 7 2i4 7 4 7 4 4 7 7 4 7 4 7

 

 

 

M

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

4-1

2i 4 7 4 4 7 7 2i 4 7 4 2i 4 7 7 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M4 5 3i4 5 4 4 5 3i 4 ;

 

 

 

 

M4 1 i4 1 4 1 4 4 1 4i 4 1 4 .

 

 

 

 

 

 

 

M4 2i 4 7 2 4 7 4 4 1 3 i 4 0.

(15.36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Складання рівняння стійкості

Умовою втрати стійкості є дорівнювання нулю визначника матриці коефіцієнтів при невідомих переміщеннях вузлів:

D

2 7 4 8 2 7 4

0 .

 

2 7 4

2 4 7 4 4 1 3

 

Розв’язання рівняння стійкості

Відшукаємо перший (мінімальний) корінь рівняння стійкості, послідовно надаючи одному з параметрів, який вважатимемо за незалежний (нехай це буде параметр , довільних значень,

наприклад: 0; 1; 2 тощо. При кожному значенні незалежного параметра будемо обчислювати відповідні значення інших параметрів, знаходити величини функцій , , ... за таблицями, які наведені в додатках 1, і обчислювати величину визначника. Процес наближень вважається закінченим, коли визначник дорівнюватиме нулю.

Так, взявши 0 маємо з таблиць

343

7 4 2;

7 4 1.

Для 0

маємо 1 4 3 .

Підставивши отримані значення до рівняння стійкості отримаємо:

D

2 2 8 2 1

 

 

12 2

224.

 

2 1

2 2 4 3 3

 

2 19

 

Взявши 1 маємо

 

 

 

 

 

 

 

7 4

1,932;

7 4

1,017.

 

Для стержня 4-1 відповідне значення параметру 1. Маємо з таблиць

1 4 2,794.

Тоді

D

2

1,932 8

2

1,017

 

11,864 2,034

209,9.

 

2

1,017

2

1,932 4 2,794 3

 

2,034 18,040

 

Продовжуємо аналогічні обчислення надаючи параметру стійкості наступних значень доти, поки визначник змінить знак. Результати заносимо до таблиці 15.12.

Таблиця 15.12

№

7 4

7 4

7 4

1-4

1 4

D

1

0

2

1

0

3

224

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1,932

1,017

1

2,794

209,9

 

 

 

 

 

 

 

3

2

1,718

1,076

2

2,088

164,5

 

 

 

 

 

 

 

4

3

1,312

1,206

3

0,408

71,3

 

 

 

 

 

 

 

5

4

0,586

1,502

4

-6,518

-229,8

 

 

 

 

 

 

 

6

3,5

1,004

1,321

3,5

-1,468

-15,6

 

 

 

 

 

 

 

7

3,4

1,073

1,294

3,4

-0,974

5,98

 

 

 

 

 

 

 

Графік функції D=D( 7-4) побудовано на рис.15.13,а.

D

а

224

209,9

164,5

71,3

0

1

2

3

3,5

4 7-4

15,6

229,8

5,98 3,4

б

3,5

7кр-4

15,6

0,1

Рис.15.13

344

Як видно, визначник D змінює знак при значеннях параметру 1-4 в проміжку між 3 і 3,5. Виконуючи на означеному проміжку лінійну інтерполяцію (рис.15.13,б) знаходимо

 

кр

 

3,4

0,1 5,98

3,428.

4

7

5,98 15,6

 

 

 

 

 

Критична величина параметру навантаження при симетричній формі втрати стійкості складає

P

2

i

 

3,4282 i

2,350i .

4 7

 

 

кр

h

 

 

5

 

 

 

 

 

15.3.2. Розрахунок на втрату стійкості за кососиметричною формою деформації

Очікуваний згин рами при втраті стійкості за кососиметричною формою деформації показано на рис.15.14.

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

P2

 

 

 

P2

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

7

 

 

 

8

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

P1

 

 

 

 

6

P

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

Рис.15.14

З умов симетрії можна зробити висновки щодо основних невідомих:

8 7 ;6 4.

Таким чином, кількість основних невідомих скорочується до чотирьох:

4 , 7 , 1, 2 .

Складання рівнянь рівноваги

Розв’язувальні рівняння складаємо з умов рівноваги елементів, які утримуються від

переміщень накладеними з’єднаннями.

 

 

M7

Так, з умов рівноваги вузла 7 маємо:

 

7

M7-8

 

 

M7-4

M7 M7 4 M7 8

0 .

(15.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

345

 

 

M4-7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M4

M4-5

З умов рівноваги вузла 4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M4-1

 

 

 

 

 

M4 M4 7 M4 5

M4 1 0.

(15.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P2

8

 

P2

R 8

З умов рівноваги верхнього ригеля 7-8 маємо:

 

7

 

 

 

 

Fx 0

R8 Q7 4

Q8 6 0 або R8 Q7 4 Q8 6

0 ,

 

 

Q7-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q8-6

 

 

 

 

 

звідки випливає, що Q7 4 Q8 6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З іншого боку, внаслідок кососиметричного напружено-деформованого стану рами згинальні

моменти кососиметричні,

а поперечні сили симетричні, тобто

Q7 4 Q8 6 . Обидві рівності

можливі лише за умови,

що поперечні сили в стояках дорівнюють нулю Q7 4 Q8 6 0. Це

означає, що поступальне переміщення 2 з числа невідомих можна виключити, взявши для стояків 4-7 та 6-8 формули кінцевих моментів для випадку, коли поперечна сила дорівнює нулю.

Q

4-7

=0

 

 

 

 

 

Q

=0

Умова рівноваги нижнього ригеля 4-5-6 дає

 

 

 

P1

 

 

P1

 

 

6-8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Fx 0

R7 Q4 1 Q5 2 Q6 3 0 .

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

R 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q4-1

 

 

Q 5-2

 

 

 

Q6-3

З умов косої симетрії напружено-деформованого стану можна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вважати, що

Q6 3

Q4 1 . З

урахуванням

отриманого

співвідношення

умова рівноваги ригеля

набуває вигляду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R7 2Q4 1

Q5 2 0 .

 

 

 

(15.39)

 

 

Отже виражаємо кінцеві зусилля, що входять до рівнянь (15.37) (15.39).

 

 

 

 

 

M7 4

i7 4

 

 

7

 

 

4

 

 

 

7

 

 

4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

7 4

 

sin

7 4

 

 

tg

7 4

sin 7 4

 

 

 

 

 

 

M7 8 2i7 8 2 t 8 3 7 8 2 4i 2 t

7 24 7 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

M4 7

i7 4

 

 

4

 

 

7

 

 

 

4

 

 

7 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

7 4

 

sin

7 4

 

 

tg

7 4

sin 7 4

 

 

 

 

 

 

M4 5 3i4 5 4 4 5 3i 4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M4 1

i4 1 4 1 4

4 1

 

 

 

1

4 1 4 0,8i 4 1 1;

 

 

 

 

 

 

4i 4 1 4

 

4i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

346

Q4 1

i

 

4 1 4 4 1 4 1

4i

4 1 4

4 1

 

 

0,8i 4 1 4

0,16i 4 1 1;

4

1

5

 

1

 

 

l4

1

 

 

 

 

5

 

 

 

Q5 2

 

3i5 2

2

5 2

 

3 2i

0

 

1

 

0,24i 1.

l5 2

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Підставивши отримані кінцеві зусилля до системи рівнянь отримаємо систему рівнянь методу переміщень:

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 7 4

 

 

 

 

 

 

sin 7 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

 

 

 

0,8

 

0;

(15.40)

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4

 

 

 

 

 

1 4 1

 

 

 

 

sin

7 4

 

 

 

 

 

 

tg

7 4

 

 

 

 

 

 

0,32 4 1 0,24 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,8 1 4 4

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

Складання рівняння стійкості

Рівняння стійкості рами одержимо, прирівнявши до нуля визначник матриці коефіцієнтів системи рівнянь (15.40) методу переміщень:

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 7 4

 

 

 

sin

7

4

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

4 1 4 3

0,8 1 4

0

(15.41)

 

 

 

 

 

 

 

sin

7 4

tg 7 4

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1,6 1 4

 

0,32 4 1 0,24

 

 

Розв’язання рівняння стійкості

Рівняння стійкості (15.40) розв’язуємо так само як і для симетричної форми втрати стійкості, зважаючи на те, що 1 4 4 7 . Послідовно надаємо незалежному параметру 4 7 значень 0; 1; 2 і т.д. Критичною буде величина параметру, за якою визначник (15.40) обертається на нуль. Результати обчислень заносимо в таблицю 15.15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 15.13

 

 

 

 

 

 

ν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-4

 

 

 

 

 

 

 

№

4 7

 

 

 

1 4

1 4

D

 

 

 

 

 

 

sinν 4 7

 

 

tg 4 7

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

1

 

1

0

3

3

190,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

0,642

 

1,188

1

2,790

1,794

50,23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

-0,915

 

2,199

2

2,088

-1,911

-216,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

347

4

1,2

0,466

1,287

1,2

2,699

1,259

-40,8

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1,1

0,560

1,234

1,1

2,749

1,539

-30,96

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконавши лінійну інтерполяцію в інтервалі 1 < 4-7 < 1,1, знаходимо:

 

кр

 

1

50,23 0,1

1,062 .

4

7

50,23

30,96

 

 

 

 

 

Критичний параметр навантаження, який відповідає втраті стійкості за кососиметричною формою деформації дорівнює:

P

2

i

 

1,0622 i

0,225i .

4 7

 

 

кр

h

 

 

5

 

 

 

 

 

З іншого боку, при розрахунку рами в передбаченні втрати стійкості за симетричною формою деформації було отримано

Pкр 2,350i .

Порівнюючи означені результати доходимо висновку, що рама втратить стійкість за кососиметричною формою.

15.4. Задачі для самостійного розв’язування

Визначити критичні величини сил для плоских рам, представлених на рис.15.15.

1

4м 2м

P

i

4i

3м 3м

P 2

2i

i P

4i

2i

6м

3м

3

P

4i

i

i

3м 2м

P

4

 

P

i 2i

i

6м

 

6м

 

 

 

Рис.15.15

16. Динамічний розрахунок рам

16.1.Короткі відомості про розрахунок на динамічні дії

Однією з найголовніших характеристик коливальних систем є число динамічних ступенів вільності, тобто кількість незалежних геометричних параметрів (узагальнених координат), які визначають положення всіх мас системи при її деформаціях.

При визначенні числа ступенів вільності динамічної системи зручно кожну зосереджену масу умовно закріплювати кінематичними в’язями так, щоб маса при обраних передумовах розрахунку зробилась нерухомою. Мінімальне число кінематичних в’язей, які необхідно ввести для повного закріплення всіх мас, характеризує число динамічних ступенів вільності коливальної системи.

Вільними називають коливання системи, яка в початковий момент часу виводиться зі стану рівноваги, після чого причини збудження усуваються і система продовжує рух за відсутності зовнішніх дій. Коливання відбуваються за рахунок запасу енергії, яку одержала система при початковому збудженні.

Змушені коливання характеризуються тим, що система перебуває під постійною дією зовнішніх динамічних навантажень. Енергія, яка необхідна для підтримки процесу коливань, здобувається за рахунок зовнішніх дій.

Вільні коливання системи з n ступенями динамічної вільності характеризуються системою лінійних однорідних диференціальних рівнянь

 

y1

 

m1 y1 11

 

m2 y2 12

 

 

mn yn 1n;

 

 

y2

 

m1 y1 211

 

m2 y2 22

 

 

 

mn yn 2n;

(16.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn

m1 y1 n1

 

m2 y2 n2

 

 

 

mn yn nn.

 

 

Тут y1, y2 , , yn можливі переміщення зведених мас m1, m2 , ,mn системи (зведеною масою

~

назвемо сумарну масу, яка зміщується в напрямі переміщення yi ), ik

переміщення зведеної

mi

маси в напрямі і від дії одиничної сили в напрямі k.

 

 

 

 

 

 

 

Система диференціальних рівнянь (16.1) може бути записана в матричній формі

 

 

 

 

 

 

Dm y y 0 .

 

 

 

 

(16.2)

Тут m матриця мас

349

m1

 

 

 

 

m2

 

 

m

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mn

 

D матриця податливості коливальної системи

11

12

1n

 

 

D 21

22

2n

;

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

n1

nn

 

(16.3)

(16.4)

y, y вектори можливих переміщень та їхніх других похідних за часом

y y1

y2

yn T ,

 

y

y

 

y

T

.

y

 

 

 

1

2

n

 

Розв’язок системи диференціальних рівнянь (16.1) розшукується у вигляді:

y1 a1 sin t , y1 a1 2 sin t ; y2 a2 sin t , y2 a2 2 sin t ;

yn an sin t , yn an 2 sin t .

(16.5)

(16.6)

(16.7)

Тут a1,a2, ,an амплітуди можливих переміщень мас системи; циклічна (колова)

частота вільних коливань, що характеризує кількість повних циклів коливань за 2π секунд;

початкова фаза коливань.

Підстановка розв’язків (16.7) в систему диференціальних рівнянь (16.1) перетворює її на систему лінійних алгебраїчних рівнянь

m1 11 a1

 

m2 12a2

 

mn 1nan 0,

m1 21a1

m2 22 a2

 

mn 2nan 0,

 

 

 

 

 

m1 n1a1

 

m2 n2a2

mn nn an 0.

Тут позначено

12 .

(16.8)

(16.9)

Система однорідних алгебраїчних рівнянь (16.8) складена відносно амплітуд переміщень зведених мас. Система матиме ненульовий розв’язок, якщо її визначник дорівнює нулю:

 

 

 

 

 

350

m1 11

m2 12

 

mn 1n

 

 

D m1 21

m2 22

 

mn 2n

0.

(16.10)

 

 

 

 

 

 

m1 n1

m2 n2

 

mn nn

 

 

Рівняння (16.10) називається "віковим", або частотним. Воно є характеристичним рівнянням системи (16.1). Невідомим у "віковому" рівнянні є величина , яка в системах з n ступенями вільності має n дійсних значень.

"Вікове" рівняння може бути представлене в матричній формі:

A E V 0 ,

де E одинична матриця,

m1 11

m2 12

mn 1n

 

 

A m1 21

m2 22

mn 2n

,

 

 

 

 

 

 

 

m2 n2

 

 

 

 

m1 n1

mn nn

 

(16.11)

(16.12)

Оскільки "вікове" рівняння (16.10) має n дійсних коренів , можна дійти висновку, що система, що має n ступенів динамічної вільності, може коливатися з n частотами. Частоти власних коливань виражаються виходячи зі співвідношення (16.9) за формулою

 

 

 

 

i

1 .

(16.13)

 

i

 

Сукупність усіх частот i i 1,2, , n утворює спектр частот. Розташуємо частоти в порядку

їх збільшення: 1 2 3

n .

Найменша

частота 1 називається

частотою основного

тону коливань, а решта частот обертонами.

 

 

Кожній частоті, тобто

кожному

кореню i

i=1,2, ,n , відповідає

сукупність амплітуд

a1,a2 , ,an , які визначаються з точністю до множника. Набір амплітуд, що відповідає якійсь певній частоті, характеризує форму деформації системи, яка відповідає означеній частоті і називається формою власних коливань.

Число називається власним, або характеристичним числом матриці A . Частоти, кожна з яких відповідає якомусь із власних чисел, називають власними частотами. Очевидно, що першій частоті вільних коливань, яка є найменшою у спектрі, відповідає найбільше власне число, тобто

1 2 3 n ,

351

причому найбільше власне число 1 вважається старшим. Множина амплітуд, які відповідають

якому-небудь власному числу, утворюють вектор V , який називається власним вектором. Таким чином, квадратна матриця A (16.12) порядку n має n власних чисел і n власних векторів.

Для визначення частот вільних коливань (власних частот) необхідно обчислити власні числа матриці A, а для визначення амплітуд власні вектори.

Власні числа мають певні властивості.

1. Сума власних чисел дорівнює сумі головних коефіцієнтів (сліду) матриці A:

n

n

 

i

Sp A m i ii .

(16.14)

i 1

i 1

 

2. Добуток власних чисел дорівнює визначнику матриці A:

 

n

 

 

i 1 2 n Det A .

(16.15)

i 1

 

 

Переміщення мас системи характеризує деформовану вісь споруди, так звану форму коливань. Форми коливань, які визначаються амплітудами, що входять до складу власних векторів, називають головними формами коливань. Отже, системи з n ступенями вільності мають n головних форм коливань, а переміщення будь-якої маси j в будь-який момент часу t може розглядатися як накладання n головних форм коливань:

yj a j1 sin 1t 1 aj2 sin 2t 2 a jn sin nt n

n

 

a ji sin it i .

(16.16)

i 1

Тут a ji амплітуда переміщення y j в формі коливань і.

На цій підставі можна вважати, що кожна маса системи з n ступенями вільності в процесі вільних коливань коливається водночас з n власними частотами.

Головні форми коливань мають такі властивості:

1. У будь-який момент часу співвідношення між амплітудами не змінюється, тобто деформована вісь споруди, що відповідає головній формі коливань, зберігає свою форму дефор-

мації. Тому такі деформації називають стоячою хвилею. Так, для

сукупності амплітуд

a1i , a2i , , a ji , , aki , , ani будь-якої головної форми власних коливань,

яка відповідає власній

частоті i , можна записати

 

 

yji

aji const .

(16.17)

yki

aki

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности