Karmanov_Trojanov

Метод Ньютона

Для численного решения этой системы уравнений можно воспользоваться методом Ньютона [10–12]. Для системы уравнений

F(X) = 0

в векторной форме он представляется аналогично одномерному

Xk+1 = Xk − F1− 1(Xk)F(Xk) ,

где F1(X) – матрица первых производных функции F(X). В качестве примера рассмотрим кристалл Ne с параметрами (см.[14])

и определяем функцию и ее производные:

Один из возможных вариантов реализации этого алгоритма представлен в виде функции Newton(...), с помощью которой можно проследить за динамикой изменения положения приближенных корней, значениями целевой функции или ее градиента.

80

Newton(x0,y0,eps) := m ← 0

zm,0 ← x0 zm,1 ← y0

zm,2 ← Φ(x0,y0)

dx ← A(x0,y0) F(x0,y0) x ← x0 − dx0

m ← m + 1 zm,0 ← x zm,1 ← y

zm,2 ← Φ(x,y)

dx ← A(x,y) F(x,y)

x← zm,0 − dx0

y← zm,1 − dx1

z

81

Использование встроенных функций

блок Given - Find

Поскольку начальные значения для σ = 2.74 и ε = 0.0031 уже заданы, сформируем вычислительный блок, сначала явно задавая систему уравнений

Выделяя правой клавишей мышки служебное слово Find, откройте контекстное меню, выберите какой-либо алгоритм решения данной системы нелинейных уравнений и поэкспериментируйте с его параметрами в меню Advanced Options. Зависит ли результат от выбранного метода?

Другой вариант формирования вычислительного блока, без явного задания уравнений, показан ниже. Точность выполнения уравнений определяется параметром CTOL, по умолчанию равным 0.001. Как

Встроенный вычислительный блок Given - Find допускает использование не только уравнений, но и неравенств. При этом эффективность решения зависит от правильного задания дополнительных требований и ограничений к точности (параметр CTOL), с которой эти ограничения выполняются. Пусть задано ограничение наσ и ε, и

82

Как видно, решение найдено на границе области значений σ с учетом точности CTOL. В то же время эта точность недостаточна для того, чтобы влиять на расчет параметра ε. Увеличение точности без изменения ограничений приводит к отсутствию решения.

Еще один вариант с использованием встроенной функции Minerr(.), основанный не на итерационном решении, а на минимизации невязки уравнений, приведенных после ключевого слова Given.

Как легко видеть, полученные разными методами решения системы нелинейных уравнений хорошо согласуются между собой. Анализируя значения целевой функции при найденных значениях параметров потенциала, можно утверждать, что экспериментально наблюдаемые характеристики кристалла Ne воспроизводятся с точностью порядка 2%.

Упражнения

1.Проанализируйте зависимость точности решения системы нелинейных уравнений и числа необходимых итераций в обсуждаемой схеме метода Ньютона от параметра eps. С чем связано это ограничение и как его можно преодолеть?

2.Как изменяются значения градиента минимизируемой функции

сростом числа итераций в окрестности точки минимума? Какой недостаток имеют квазиньютоновские методы минимизации?

3.Постройте графическую иллюстрацию итерационного процесса нахождения корней методом Ньютона. На плоскости (σ,ε) постройте карту линий уровня целевой функции и "траекторию итерационного процесса". Оцените скорость сходимости.

4.Выполните расчет корней системы уравнений, контролируя точность решения по невязке системы уравнений, по точности расчета минимума функции, по минимальности модуля градиента.

5.Проведите аналогичные расчеты параметров σ и ε потенциала

(6-12) для кристалла Ar с характеристиками (см. [14])

83

Как объяснить, что в данном случае "оптимизированные" параметры

σи ε заметно ближе к исходным, чем в случае кристалла Ne?

6.Рассчитайте "оптимальные параметры" потенциала (6-12) для Ne без предварительной подготовки явного вида целевой функции. Если условие существования равновесной конфигурации для кристалла определить как равенство нулю производной удельной энергии по R, выразить модуль всестороннего сжатия через вторую производную удельной энергии по R и сформировать минимизируемую функцию, как и выше, на основе экспериментальных значений удельной энергии, модуля сжатия и равновесного расстояния между атомами в

кристалле, то теперь это будет функция трех переменных Φ(R,σ,ε). Рассчитайте корни соответствующей системы нелинейных уравнений, используя различные версии формирования блока Given - Find, в следующих вариантах:

dR

а система уравнений для σ и ε остается прежней:

Совпадают ли решения этих задач между собой и с решением варианта при явном задании целевой функции? Как влияют на результаты значения параметров TOL и CTOL?

7. Подготовьте программу и рассчитайте методом Ньютона корни системы нелинейных уравнений в постановке, описанной в упр. 6. Постройте "траекторию" итерационного процесса поиска корней.

Содержание

84