Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Gurevich-Kornev

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

А. П. ГУРЕВИЧ, В. В. КОРНЕВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

А. П. ГУРЕВИЧ, В. В. КОРНЕВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

2012

Эта книга написана по материалам лекций, которые в течение

многих лет

читались на механико-математическом факультете

Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского. .

В ней нашли отражение основные разделы министерской программы

по курсу

дифференциальных уравнений для

классических

университетов. Данный учебник может использоваться студентами

для самостоятельного изучения курса.

Для студентов физико-математических

специальностейе

университетов и других специальностей, требующих знанмя теории

обыкновенных дифференциальных уравнений.

О Г Л А В Л Е Н И Е

ВВЕДЕНИЕ

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1.1. Геометрическая интерпретация уравнения первого порядка

1.2.

Дифференциальные

уравнения

разделяющимися

переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.

Симметрическая форма уравнений

первого

порядка,

разрешенных относительно производной . . . . . . . . . .

1.4. Однородные дифференциальные уравнения . . . . . . . .

1.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

1.6.

Метод

вариации

произвольной

постоянной

(метод Лагранжа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . .

1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной .

2. Задача Коши для нормальной системы

2.1. Теорема существования и единственности решения задачи

Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Сведение

системы

дифференциальных

уравнений,

разрешенных

относительно старших

производных,ек

нормальной системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . .м. . .

2.3.

Векторная

форма

записи

системы

нормальной

дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Зависимость решений нормальной системы от параметров

и начальных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Линейные дифференциальные ура ненияе

3.1. Линейные однородные уравнения n-го порядка . . . . . .

3.2. Линейные неоднородные уравнениян n-го порядка . . . . .

3.3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами . .

3.4. Уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5. Метод степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6. Метод обобщенных стнпенных рядов . . . . . . . . . . . .

4. Линейные

уравнения

второго

дифференциальныет

порядка

4.1. Линейная з мена неизвестной функции . . . . . . . . . . .

переменной . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Замена независимойд

4.3.Интегрирование с помощью частного решения . . . . . . . 82

4.4.Теория Штурма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

ЛИТЕРАТУРА

Введение

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений является

важной частью современного математического образования. Для ее

изучения требуются знания основ математического анализа и высшей

алгебры.

Данное пособие

написано

на основе

лекций, которые

течение

многих

лет

читаются

студентам

второго курса механико-

математического,

физического

других факультетов

Саратовского

государственного

университета

им. Н. Г. Чернышевского. Теория

обыкновенных дифференциальных уравнений весьма обширна и

содержит много разделов, которые невозможно изложить в одной

книге.

Пособие

охватывает

необходимый

минимум

сведений

по

обыкновенным дифференциальным уравнениям, который, по мнению

авторов, должны знать студенты разных специальностей, а именно

методы интегрирования уравнений первого порядка, теория линейных

уравнений n-го порядка, теория линейных систем дифференциальных

уравнений. Кроме того, в пособие включены дополнительные разделы,

традиционно читаемые студентам-математикам, такие как краевые

задачи для уравнений второго порядка, теория устойчивости и теор Ня

уравнений в частных производных первого порядка, тесно связа иая с

обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Изложение материала носит классический характер и не

использует понятие абсолютно непрерывной функции. Прииподготовке

пособия

авторы уделяли

особое

внимание

строгости топределений

доказательств теорем. В то же время они старал сь сделать их как

можно

проще и нагляднее,

чтобы студенты

моглии самостоятельно

изучить теорию дифференциальных уравнений.

имеется много

По обыкновенным дифференциальным уравненияме

хороших учебников

и монографий, некоторые из которых указаны

в списке литературы. В

можно

рекомендовать

качестве задач ика

известный сборник задач А. Ф. Филиппова.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 1.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F (x; y; y0) = 0;

(1.1)

где x независимая переменная,

y неизвестная функция y(x),

y0 производная y0(x), F

заданная

функция

трех

переменных,

определенная в некоторой области DF пространства R3.

Замечание

Все

функции

этом

разделе

предполагаются

вещественными.

Определение 1.2. Пусть x

(a; b). Непрерывно дифференци-

руемая функция '(x) называется решением уравнения (1.1) на (a; b),

если при подстановке ее в уравнение (1.1) вместо функции y получается

тождество, т. е.

F (x; '(x); '0(x))

0; x

(a; b)

(при этом, конечно, подразумевается, что

(x; '(x); '0(x))

для

всех x).

Важным частным случаем уравнения (1.1) является уравне ие

y0 = f(x; y);

(1.2)

где f заданная функция двух переменных, определенная в некоторой

области D

Определение 1.3. Уравнение (1.2) называется обыкновенным

дифференциальным

уравнением

первого

посядка,

разрешенным

относительно

производной

(или

рм первого

порядка в

уравнени

нормальной форме).

Простейшим

примером

относительно

уравнения, иразрешенного

производной, является уравнение

f(x), нахождение решения

которого представляет собой не что иное, как задачу восстановления

функции по ее производной. Если f(x) в этом уравнении является

f(x) dx является решением

непрерывной, то любая ее первообразнаян

этого уравнения. Таким образом,е

дифференциальное уравнение может

иметь бесконечно много решений.в

Определение 1.4. Каждое конкретное решение уравнения (1.1)

(или(1.2)) назыв етсярчастным решением, а множество всех частных

решений

этого

называется общим решением. Решить

уравненияа

дифференциальное уравнение означает найти его общее решение.

Очень часто требуется найти не общее решение уравнения (1.2), а частное решение y(x), про которое известно, что в заданной точке x0 оно принимает заданное значение y0, т. е.

y(x0) = y0:

(1.3)

Определение 1.5. Задача нахождения решения уравнения (1.2),

удовлетворяющего условию (1.3), называется задачей Коши. Условие

(1.3) называется начальным условием.

Впоследствии будет доказано, что задача Коши, как правило, имеет

единственное решение.

1.1. Геометрическая интерпретация

уравнения первого порядка

Решения уравнения (1.2) имеют простой геометрический смысл.

Определение 1.6.

Поставим

каждой точке

(x; y)

соответствие прямую, проходящую через эту точку под углом, тангенс .

которого равен f(x; y), где f

правая часть уравнения (1.2). В этом

случае говорят, что правая часть уравнения (1.2) задает в области D

поле направлений.

Определение 1.7. Интегральной кривой уравнениян(1.2)

называется кривая, график которой лежит в области D, и векаждой

точке графика существует касательная, которая совпадаетмс прямой

поля направлений для этой точки.

Пусть '(x) решение уравнения (1.2). Вспоминая г ометрическую

интерпретацию производной функции в точке, легко видеть, что

график функции '(x) является интегральной к

сивой этого уравнения.

уравнения (1.2)

Обратно, если некоторая интегральная криваяр

является графиком функции '(x), то функц я '(x) является решением

уравнения (1.2).

Таким

образом, нахождение

уравнения

(1.2)

решений

геометрической точки зрения есть задача построения интегральных

кривых этого уравнения. А задача Коши с начальным условием (1.3)

эквивалентна задаче нахождения интегральной кривой, проходящей

2 D.

через заданную точку (x0;еy0)

его

поля

Заметим, что не решая уравнение (1.2), с помощью

направлений можно приближенно строить интегральные кривые и

делать качественныервыводы о свойствах его решений.

дает ответы на вопросы: когда у задачи Коши

Следующая теоремаа

(1.2)–(1.3)

суще

твует решение и является ли оно единственным?

Теорема 1.1. Предположим, что функция f(x; y)

и ее частная

производная

@f(x;y)

непрерывны в области D и (x0; y0)

2 D. Тогда

существует число h > 0 такое, что задача Коши (1.2)–(1.3) имеет

единственное решение, определенное на интервале (x0 h; x0 + h).

Эта теорема является частным случаем теоремы 2.3. Сделаем

только два замечания.

Замечание

Теорема 1.1 носит

локальный

характер:

число

может оказаться как угодно малым, поэтому речь идет о решении,

определенном только в некоторой окрестности точки x0. Размер этой

окрестности зависит, вообще говоря, от точки (x0; y0) 2 D.

1.1

вс

Замечание

геометрической

точки

зрения,

теорема

утверждает, что через каждую точку области D проходит единственная

интегральная кривая уравнения (1.2).

Рассмотрим дифференциальное уравнение

y0 = y:

(1.4)

Можно показать,

что

общее решение этого

уравнения

задается

формулой

y = cex;

где c произвольная

вещественная константа. Другими

словами,н

функция '(x; c) = ce при любом значении константы c есть решение

уравнения (1.4). И, наоборот, любое решение уравнения (1.4) совпадает

с функцией '(x; c) при некотором значении c. В связи с этим можно

ввести и такое определение общего решения.

Определение

от

параметра

1.8. Функция '(x; c), зави ящая

c, называется

общим

решением уравнения

(1.1),с если при любом

допустимом значении

константы c

есть

решение

функция '(x; c)

уравнения (1.1), и, наоборот, любое решен ве уравнения (1.1) совпадает

с '(x; c) при некотором значении c.

Как известно из математического анализа, функцию z(x) можно

задать неявно с помощью уравнения

(1.5)

н(x; z) = 0:

Если уравнение (1.5) привлюбом x 2 (a; b) имеет единственное решение

z(x), то говорят, что онотзадает однозначную неявную функцию z(x).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2 (оанеявной функции). Предположим, что функция

(x; z) определенад

непрерывно

дифференцируема

некоторой

окрестности точки (x0; z0), причем (x0; z0) = 0 и 0z(x0; z0) 6= 0. Тогда уравнение (1.5) задает однозначную неявную функцию z(x),

которая определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, при этом z(x0) = z0 и

z0(x) =

0 (x; z(x))

z0 (x; z; (x))

В дальнейшем эта

теорема

неоднократно используется,

так как

очень часто решения

дифференциальных уравнений находятся

неявном виде. В связи с этим дадим следующее определение.

Определение 1.9. Если соотношение

(x; y) = c

(1.6)

(c вещественный параметр) задает однозначную неявную функцию

y = '(x; c), которая является общим решением уравнения (1.1), то оно

называется общим интегралом этого уравнения.

Рассмотрим простейшие типы обыкновенных дифференциальных

уравнений I-го порядка и методы их решения.

1.2. Дифференциальные уравнения

с разделяющимися переменными

Определение 1.10. Уравнение

= f1(x)f2(y);

(1.7)

где f1(x), f2(y) заданные

функции,

уравнением

называетсяс

разделяющимися переменными.

уравнения (1.2).

Очевидно, уравнение (1.7) частный случайв

(x) и f2

(y) определены

Теорема 1.3. Предположим, что ф кции f1

и непрерывны на интервалах (a1;уb1) и (a2; b2) соответственно,

причем f2(y) нигде не обращается в ноль. Тогда для любой точки

(x0; y0) 2 (a1; b1) (a2; b2), гдеы(a1; b1) (a2; b2) прямоугольник,

нa1 < x < b1

, a2 < x < b2

, задача Коши

определяемый неравенствами

для уравнения (1.7) с начальным условием

(1.8)

y(x0) = y0

имеет единственноеарешение, определенное в некоторой окрестности

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.08.2019103.01 Кб2Glava_II_Teoria_deystvia.docx
#
29.03.2016344.06 Кб6Gosudarstvennoe_regulirovanie_ekonomiki.doc
#
09.06.20151.27 Mб111grundlagen_der_phonetik(1).doc
#
07.11.20181.27 Mб27grundlagen_der_phonetik.doc
#
29.03.20162.81 Mб241Gundarin_M._Kniga_Rukovoditelya_Otdel.rtf
#
09.06.20151.03 Mб27Gurevich-Kornev.pdf
#
09.06.20153.71 Mб8Gurevich_Pavel_Mir_filosofii_-_royallib_ru.doc
#
09.06.2015981.41 Кб7hadoop_watermarking.pdf
#
09.06.2015494.12 Кб16history_exam_all.pdf
#
09.06.20154.93 Mб3Home reading.pdf
#
02.11.20182.41 Mб3Hot_Dog.doc