Gurevich-Kornev

Очевидно, что для любого " > 0 существует A > 0, такое что

1 " q(x) 1 + ";

x > A:

(4.30)

По теореме 4.4 ( m = 1 ", M = 1 + ") при x > A расстояние h между

соседними

нулями

любого нетривиального

решения z(x)

уравнения

о

(4.29) удовлетворяет неравенству

г

p

h

p

:

(4.31)

о

1 "

с

1 + "

е

к

Из формулы (4.28) следует,

что

нули

y(x) совпадают

с

нулями

ш

в

z(x). Поэтому любое нетривиальное решение уравнения (4.26) имеет

ы

бесконечное множество нулей, расстояние между которыми стремится

н

к при x ! 1.

е

Для полноты картины докажем еще одну лемму.

Ч

р

Лемма 4.3. Решения уравнения (4.29) ограничены при x ! 1.

Г

Доказательство. Запишем уравнение в виде

Н

.

z00

+ z =

z:

.

(4.32)

x2

и

Теперь рассмотрим вспомогательное уравнение

н

е

м

v00 + v = f(x):

е

и

(4.33)

уравнения

Фундаментальной системой соответствующего однородногот

является система fsin x; cos xg, с помощью которой тме одом вариации

с

произвольных постоянных можно получить общееирешение уравнения

(4.33) в виде

р

е

x

в

v(x) = C1 cos x + C2 sin xу+нZ1иsin(x t)f(t)dt;

(4.34)

й

ы

где C1, C2 произвольные постоянные.

Пусть

теперь

н

решение уравнения

(4.32).

z(x) произвольноен

f(x) =

в

формулы (4.34)

можно

1

2

Положив

x

2 z(x)

на

основании

е,

0

0

утверждать, что сущес

т

и C

, такие что

уют числа C

с

x

р

1

sin(x t)z(t)dt;

(4.35)

z(x) = Cд1 аcos x + C2 sin x Z1

t2

0

0

у

с

88

о

г

й

и

к

с

в

о

т

а

р

а

С

x

t2 jz(t)jdt;

x 1;

jz(x)j C + j j Z1

1

где C = jC10j+jC20j. Отсюда, применяя неравенство Беллмана, получаем

го

оценку

j j

R

1

dt

j j

R

1

dt

о

t2

t2

j:

jz(x)j Ce

Ce

= Cej

к

1

1

е

с

Таким образом, любое решение уравнения (4.29) является

в

ограниченным на [1; 1). Лемма доказана.

ы

Из леммы 4.3 и формулы (4.28) следует, что любое решение

н

ш

уравнения Бесселя при x ! 1 стремится к 0.

е

Подводя

итог нашего

исследования,

можно сказать, что

Ч

р

качественная

картинка (график)

любого нетривиального решения

.

уравнения Бесселя (4.29) имеет вид

Г

.

Н

и

н

е

м

и

т

т

или

р

и

е

(около нуля знак решения может быть и отрицательным)с .

е

в

и

н

у

й