Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Gurevich-Kornev

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

точки x0, а соотношение1

f1(x) dx = c

(1.9)

f2(y)

является общим интегралом уравнения (1.7).

Доказательство. Пусть F1(x)

первообразная функции f1(x),

F2(y) первообразная функции

, c0 = F2(y0) F1(x0). Перепишем

f2(y)

(1.9) в виде

(1.10)

(x; y) = 0;

где (x; y) = F2(y) F1(x) c0.

Нетрудно видеть, что x0 (x; y) = f1(x), y0 (x; y) =

, (x0; y0) =

f2(y)

= 0 и выполняются условия теоремы 1.2. Следовательно, соотношение

(1.10) задает неявно функцию y = '(x), определенную и непрерывно

дифференцируемую в некоторой окрестности точки x0, причем

'0(x) =

(x; '(x))

.Ч

y(x ) = y

= f (x)f ('(x));

(x; '(x))

т.е.

'0(x)

(x)f ('(x)):

Таким образом, '(x) решение задачи Коши (1.7)–(1.8).

Докажем единственность решения этой задачи Коши. Пусть '~(x)

является решением задачи (1.7)–(1.8). Это означает, что

'~0

f1(x)f2('~(x)); '~(x0) = y0:

Рассмотрим функцию (x; '~(x)) и продифференцируем ее:

(x; '~(x)) = 0

(x; '~(x)) + 0 (x;е'~(x))'~0

(x) =

= f1(x) +

уf1(x)f2('~(x)) = 0:

f2('~(x))

Следовательно, (x; '~(x)) constы. Найдем эту константу. Имеем

(x0

; '~(x0)) = (x0; y0) = 0:

Отсюда получаем, что т

(x; '~(x)) 0;

Под f(x) dx в формуле (1.9) и в дальнейшем понимается произвольная, но

фиксированная первообразная.

т. е. '~(x) неявная функция,

определяемая

уравнением

(1.10). В

силу единственности неявной функции '~(x) '(x). Единственность

решения задачи Коши доказана.

Учитывая, что (x0; y0) произвольная точка области D = (a1; b1)

(a2; b2), заключаем, что любое решение уравнения (1.7) является

неявной функцией, определяемой уравнением (1.9) при некотором c.

Следовательно, соотношение (1.4) общий интеграл уравнения (1.7).

Теорема доказана.

Замечание Таким образом, решение уравнения с разделяющимися

переменными (1.7) сводится к вычислению первообразных

F1(x) = Z

f1(x) dx;

F2(y) = Z

f2(y);

ше

а решение задачи Коши (1.7)–(1.8) дается формулой

F2(y) F1(x) = F2(y0) F1(x0);

или

.Г

Zy0

= Zx0

f1(t)dt:

f2(t)

1.3. Симметрическая форма

уравнений первого порядка,

разрешенных относительно производнойм

Пусть y

'(x) решение уравнения (1.2) на интервале (a; b),

причем

'0(x)

= 0

x =

. Тогда у функции существует обратная функция

= (y)

и'0

(x)

f(x; '(x))

. По свойству обратных функций из тождества

следует, что

:е

0(y)

(y); yв)

Это означает, что функция x =

решением уравнения

(y) являетсян

(1.11)

f(x; y)

С формальной точки зрениянуравнения (1.2) и (1.11) можно записать в

виде одного уравнения

(1.12)

т dy = f(x; y) dx:

Если считать y функциейр

переменной x, то (1.2) получается из (1.12)

делением на dx, ааесли x есть функция переменной y, то разделив обе

части (1.12) на f(x; y) dy, получим уравнение (1.11).

Эти рассуждения можно обобщить.

Определение 1.11. Уравнением в дифференциалах называется

уравнение

(1.13)

A(x; y) dx + B(x; y) dy = 0;

где A, B заданные функции в области D. Если B(x; y) 6=

0, то

уравнение(1.13) называется симметрической формой уравнения

A(x; y)

(1.14)

B(x; y)

Если A(x; y) 6=

0, то уравнение (1.13)

называетсясимметрической

ев

формой уравнения

B(x; y)

(1.15)

A(x; y)

Если A(x; y)

B(x; y) не

обращаются в нуль в

области D

одновременно, то уравнения (1.14) и (1.15) равносильны в том смысле,

что множества их интегральных кривых совпадают. Другими словами, .

если известно решение одного из этих уравнений, то обратная функция

будет решением другого уравнения. Таким образом, в уравнении (1.13)

переменные x и y равноправны.

Определение

1.12. Уравнение (1.13) называется

урав

ием

с разделяющимися переменными, если A(x; y) = A1(x)A2(y) и Bе(x; y) =

= B1(x)B2(y).

Нетрудно видеть, что если (1.13) есть уравнение с разделяющимися

переменными и функции A, B не обращаются в нуль в области D, то

из теоремы 1.3 следует, что и для уравнения (1.14), и для уравнения

а именно,

(1.15) общим интегралом будет одно и то же соотношение,с

A1(x)

B2(y) е

dx + Z

A2(yи)вdy = c:

(1.16)

B1(x)

1.4. Однородные дифференциальные уравнения

Определение 1.13. Урав е ие

(1.17)

нy0

= f(x; y)

называется однороднымт, если функция f обладает следующим

свойством:

f( u; y) = f(u; y)

(1.18)

при любом доп стимом значении параметра :

Теорема

1.4.

Пусть y(x) есть

решение

однородного

уравнения (1.17), а функция z(x) определяется равенством

y(x) = xz(x):

(1.19)

Тогда функция z(x) есть решение уравнения с разделяющимися

переменными

го

z0 =

('(z) z);

(1.20)

где '(z) = f(1; z):

Обратно, если z(x) решение уравнения (1.20), то функция y(x),

определяемая формулой (1.19), будет решением уравнения (1.17).

Доказательство. Пусть y(x) решение уравнения (1.17), т. е.

рн

y0(x) = f(x; y(x)) = f x 1; x y(x

= '

= '(z(x)):

y(x)

С другой стороны, y0(x) = z(x) + xz0(x): Следовательно, z(x) + xz0(x) =

= '(z(x)) или z0(x) x1 ('(z(x)) z(x)): Таким образом, z(x) решение

уравнения (1.20). Повторяя эти рассуждения в обратном порядке,.

получаем утверждение теоремы.

Замечание Теорема 1.4

содержит метод

решения однородиого

уравнения (1.17). Для этого

в уравнении надо

выполнить

замену

неизвестной функции y(x) по формуле (1.19). Для новой неизвестной

функции z(x) получается уравнение с разделяющимися переменными,и

решение

решив которое и выполнив замену z(x) = 1 y(x); мы получимт

однородного уравнения.

1.5. Линейные дифференциальные уравнения

первого порядкае

Определение

уравнением

1.14. Линейным дифференциальными

первого порядка называется уравнение

(1.21)

a(x)y0 + b(x)йy + c(x) = 0;

где a(x), b(x),c(x) заданные функции на интервале (a; b):

Если c(x)

тоеуравнение

(1.21)

называется

линейным

однородным уравнением.в

Если a(x) 6= 0нас(a; b); то на a(x) можно разделить обе части и

записать уравнение (1.21) в нормальной форме

y0 + p(x)y = q(x);

(1.22)

где p(x), q(x) известные функции.

Теорема 1.5. Предположим, что функции p(x); q(x) непрерывны на интервале (a; b). Тогда для любых чисел x0 и y0 (a < x0 < b, 1 < < y0 < 1) задача Коши для уравнения (1.22) с начальным условием

y(x0) = y0

(1.23)

имеет единственное

решение,

которое

определено на

всем

(a; b) и

задается формулой

вс

y(x) = e xR0

p(t) dt

y0 +

x exR0

p(s) dsq(t) dt

(1.24)

Доказательство. Продифференцируем обе части формулы (1.24),

получим

y0(x) =

p(x)y(x) + q(x);

y(x ) = y

Следовательно,

формула

(1.24)

дает

решение

задачи

Коши

(1.22)–

(1.23), определенное на всем интервале (a; b):

этой

задачи

Для обоснования

единственности решения

Коши

достаточно сослаться

на

теорему 1.1,

так как уравнение

(1.22)

удовлетворяет ее условиям в области D

= (a; b) (1; 1): Тнорема

доказана.

Следствие. Общее

решение

линейного уравнения

можно

(1.22)

задать формулой

y(x) = e

xR0

p(t) dt

c +

exR0

qс(t) dt

;

(1.25)

p(s) ds

где c произвольная постоянная, x0

про звольная фиксированная

точка из интервала (a; b):

метод

позволяет решать линейные уравнения, не

пользуясь формулой (1.24), и фактически содержит ее вывод.

произвольной постоянной

1.6. Метод вариациин

(метод Лагранжа)

Изложим этот методсв виде алгоритма:

1) решим внач лерсоответствующее однородное уравнение

y0 + p(x)y = 0;

(1.26)

которое является уравнением с разделяющимися переменными, его общее решение можно найти по формуле (1.9) и записать в виде

p(t) dt

y0(x) = c e x0	;	(1.27)
где c произвольная константа;				о
2) ищем решение уравнения (1.22) в виде (1.27), но c понимаем не				о
			о
как константу, а как функцию переменной x, т. е. в виде			о
как константу, а как функцию переменной x, т. е. в виде			г
R			ск
x

p(t) dt

y(x) = c(x)e x0	;	(1.28)	е
			ш	в
R
			ны
3) подставляем формулу (1.28) в уравнение (1.22):

p(t) dt

	p(x)y(x) + p(x)y(x) = q(x);				е
c0(x)e x0	p(x)y(x) + p(x)y(x) = q(x);		.			р
отсюда получаем			.
отсюда получаем	x		(1.29).Г	Ч
	c0(x) = exR0	p(t)dtq(x);	(1.29).Г
4) находим из соотношения (1.29) функцию c(x):			Н
4) находим из соотношения (1.29) функцию c(x):			и
	x R		и
	x R		н
	t

Zp(s) ds

q(t)dt + c1;

(1.30)

c(x) =

где c1 произвольная константа;

5) подставляем формулу (1.30) в формулу (1.28)тполучаем общее

решение уравнения (1.22), которое совпадает с (1.25).

Замечание Проще запомнить

метод ва иации произвольной

постоянной, чем формулу (1.24) или (1.25). е

1.7. Уравнения в полныхндифференциалах

Рассмотрим уравнение первого порядка в симметрической форме

(1.31)

M(x; y) dx + N(x; y) dy = 0;

где функции M и N определ ны в области D.

Определение 1.15. Уравнение (1.31) называется уравнением

если

существует функция

(x; y),

в полных диффе енциалахс

определенная и дифференцируемая в области D, такая что

уx

0 (x; y) = N(x; y):

(1.32)

д0 (x; y) = M(x; y);

Замечание В этом случае левая часть уравнения (1.31) является

полным дифференциалом dF (x; y) = M(x; y) dx + N(x; y) dy:

Теорема 1.6. Пусть уравнение (1.31) является уравнением в

полных дифференциалах, причем функции M(x; y), N(x; y) непрерывны

и N(x; y) 6= 0в D. Тогда

1) для любой точки (x0; y0) 2 D задача Коши для уравнения (1.31)

с начальным условием

y(x0) = y0

(1.33)

имеет единственное решение;

2) общий интеграл уравнения (1.31) имеет вид

(x; y) = c:

(1.34)

Доказательство. Обозначим

1(x; y)

= (x; y) (x0; y0) и

рассмотрим уравнение

(1.35)

1(x; y) = 0:

1(x; y) удовлетворяет условиям теоремы 1.2 о неявной функции, так

(x; y) = M(x; y); 0

как

(x; y) = N(x; y)

= 0

(x ; y

) = 0:.Г

0 0

Следовательно, уравнение (1.35) определяет в некоторой окрестности

точки x0 однозначную непрерывно дифференцируемую функцию '(x),

которая удовлетворяет равенствам

'(x ) = y ;

'0(x) =

M(x; '(x))

N(x; '(x))

Из второго равенства следует, что '(x) есть решен

те уравнения

M(x; y)

;

N(x; y)

которое равносильно уравнению (1.31). Таким образом, '(x) решение

задачи Коши (1.31), (1.33).

Докажем единственность. Пусть '~(x) также является решением

решением этой задачи Коши, т. е.

M(x; '~(x))

'~(x0) = y0еи '~0(x) N(x; '~(x)) :

(x; '~(x)) и вычислим ее производную:

Рассмотрим функцию 1

1д(x; '~(x)) = 0

(x; '~(x)) + 0 (x; '~(x))'~0(x) =

= M(x; '~(x)) N(x; '~(x))M(x; '~(x)) = 0: N(x; '~(x))

Следовательно, 1(x; '~(x)) const = 1(x0; '~(x0)) = 1(x0; y0) = 0: Это означает, что '~(x) есть неявная функция, определяемая уравнением (1.35). В силу единственности неявной функции

'~(x) '(x):

Из предыдущих рассуждений следует, что уравнение (1.35) дает

любое

решение решение уравнения

(1.31)

при надлежащем выборе

(x0; y0): Но

уравнение (1.35) совпадает

соотношением

(1.34), если

положить

= (x0; y0): Следовательно,

(1.34)

общий

интеграл

уравнения (1.31). Теорема доказана.

Итак,

если уравнение (1.31) является

уравнением

полных

дифференциалах и функция (x; y) известна, то можно сразу выписать

общее решение этого уравнения в виде (1.34).

Естественно, возникают две проблемы:

как

определить, является ли

уравнение (1.31) уравнением в

полных дифференциалах;

2) если (1.31) является уравнением в полных дифференциалах, как

найти функцию (x; y)?

Эти проблемы решаются в следующей теореме.

Теорема

1.7. Предположим, что

функции

N(x; y)

M(x; y)

непрерывно

дифференцируемы

в области

(a; b)

(c; d): Тогда

для

того,

чтобы

уравнение

(1.31)

было

полных

уравн ни м

дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобытв D выполнялось

тождество

(1.36)

M0 (x; y) = N0 (x; y):

является уравнением в

Доказательство. Пусть уравнение (1.30)в

полных дифференциалах, т. е. существует дифференцируемая функция

(1.32). Из непрерывной

(x; y), для которой выполняются тождествау

и N(x; y)

следует, что в этом

дифференцируемости функций M(x; y)

случае существуют непрерыв

е производные xy00

(x; y) = My0 (x; y) и

yx00

(x; y) = Nx0 (x; y): По известной теореме математического анализа

непрерывные смешанные производные должны совпадать, т. е. имеет

место тождество (1.36). в

Обратно, пусть

выполняется тождество (1.36). Покажем, что

существует

условием

(1.32).

Возьмем

(x; y)р, удовлетворяющая

(x0; y0) 2 D: Из первого условия (1.32) следует,

произвольную точкуд

что функция (x; y) должна иметь вид

x
(x; y) = Z	M(t; y) dt + c(y);	(1.37)
x0

где c(y) пока неизвестная функция. Из (1.37) и (1.36) имеем:

(x; y) = M

(t; y) dt + c (y) = N

(t; y) dt + c (y) =

= N(x; y) N(x0; y) + c0(y):

Отсюда, с учетом второго условия (1.32), заключаем, что

c0(y) = N(x0; y):

(1.38)

Следовательно,в качестве c(y) можно взять функцию

ниН

c(y) = Z

N(x0; t) dt;

после подстановки которой в формулу (1.37), получаем функциюм

(x; y) =

M(t; y) dt +

(1.39)

N(x0; t) dt:т

Легко видеть, что функция (x; y), определяемая формулой (1.39),

в области

D удовлетворяет соотноше

ям (1.32).

Следовательно,

уравнение

(1.31)

является уравнениемнв полных дифференциалах.

Теорема доказана.

Рассмотрим уравнение в симметрической форме (1.31). Умножим

обе его части на произволь уюнфункцию (x; y), отличную от нуля в

области D. В результате получим уравнение

(1.40)

(x; y)Mт(x; y)du + (x; y)N(x; y) dy = 0:

Уравнения (1.31)и (1.40) эквивалентны: любое решение одного из

другого. При этом возможна ситуация, когда

них является решениемд

уравнение (1.31) не является уравнением в полных дифференциалах, а уравнение (1.40) является.

Определение

1.16.

Функция

(x; y),

не

обращающаяся

ноль в области D, называется интегрирующим множителем для

уравнения (1.31), если уравнение (1.40) является уравнением в полных

дифференциалах.

Из

предыдущих

теорем

следует,

что

если

нам удастся найти

интегрирующий множитель для уравнения (1.31), то мы сможем его

проинтегрировать, т. е. найти его общее решение. Однако общего метода

нахождения интегрирующего множителя не существует. В то же время,

разработаны

методы

нахождения

интегрирующих

множителей

для

отдельных частных случаев, когда коэффициенты M(x; y) и N(x; y)

удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. В следующей

теореме содержится один из таких методов.

Теорема

1.8.

Пусть

M(x; y)

N(x; y)

непрерывно

дифференцируемы

существуют

непрерывная

функция

(t)

непрерывно дифференцируемая функция w(x; y), такие что

0 (x; y)

(x; y)

(t)jt=w(x;y) =

(1.41)

N(x; y)w

(x; y)

M(x; y)w

(x; y)

Тогда

функция

(x; y) =

(w(x; y)),

где (t)

eR (t) dt

,мявляется

интегрирующим множителем для уравнения (1.31).

Доказательство. Из определения функции (t) сл дует,т что 0(t) =

= (t) (t),

или (t)

0(t)= (t). Подставим

формулу

последнюют

в (1.41) и преобразуем:

0(t)

еx

;

(t) t=w(x;y)

Nwx0 иMwy0

0(w)(Nwx0 Mwy0 ) = (w)(My0 Nx0 ) ;

0 N

;

M = M0

= y0

M + My0 ;

x0 N + Nx0

е( N)0

= ( M)0

(1.42)

Из тождества

теоремы

1.7

заключаем,

что

(1.42)сна основании

уравнение(1.40)

является уравнением в полных дифференциалах.

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.08.2019103.01 Кб2Glava_II_Teoria_deystvia.docx
#
29.03.2016344.06 Кб6Gosudarstvennoe_regulirovanie_ekonomiki.doc
#
09.06.20151.27 Mб111grundlagen_der_phonetik(1).doc
#
07.11.20181.27 Mб27grundlagen_der_phonetik.doc
#
29.03.20162.81 Mб241Gundarin_M._Kniga_Rukovoditelya_Otdel.rtf
#
09.06.20151.03 Mб28Gurevich-Kornev.pdf
#
09.06.20153.71 Mб8Gurevich_Pavel_Mir_filosofii_-_royallib_ru.doc
#
09.06.2015981.41 Кб7hadoop_watermarking.pdf
#
09.06.2015494.12 Кб16history_exam_all.pdf
#
09.06.20154.93 Mб3Home reading.pdf
#
02.11.20182.41 Mб3Hot_Dog.doc