Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Gurevich-Kornev

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Для построения фундаментальной системы решений уравнения (3.26) воспользуемся методом Эйлера, суть которого состоит в отыскании решений в виде xme x, где m 2 N [ f0g, некоторые числа, вообще говоря, комплексные.

Определение 3.5. Пусть = + i , ; 2 R. Функцией e x

называется функция

e x = e x cos x + ie x sin x:	(3.27)	г
			о
		о
x		к
Очевидно, что при 6= 0функция e является комплекснозначной.		ев
		с
Если же = 0, то данное определение совпадает с понятием экспоненты

свещественным показателем. Отметим так же, что из (3.27) следует,

что

e x

= eRe x, и поэтому e x 6= 0при любых x.

Определение 3.6. Пусть f(x) =

u(x) + iv(x),

где u(x), v(x)

функции. Производной m-ого порядка f(x), m

вещественнозначные

(m)

(x) = u

(m)

(x) + iv

(m)

(x).

N, называется функция f

Теорема 3.13. Справедлива формула

(e x)0 = e x:

(3.28).Г

Доказательство. Из (3.27) имеем

(e x)0

= (e x cos x)0

+ i(e x sin x)0

= e x cos x

e x sin x+

sin x + i e

cos x = ( cos x sin x + i cosиx)e

+i e

= [( + i ) cos x + i( + i ) sin x]e

= e

т:

Обозначим через

p( )

= a0 n + a1 n 1

1 + an.

+ : : : + an

Этот многочлен называется характеристическим многочленом для

уравнения (3.26).

Лемма 3.2. Имеет место тождествов

l(e

)

p( )e

2 R:

(3.29)

; у2 C;

Справедливость (3.29) очевидно следует из формулы (e x)(m) =

= me x; m 2 N, являющейся простымн

следствием (3.28).

следующей теоремы.

Из леммы 3.2. вытекает справедливостьн

Теорема 3.14. Для

ого чтобы функция y(x)

= e

являлась

решением (3.26), необходимо и достаточно, чтобы 0 было корнем

p( ).

кратного корня.

Напомним понятиеа

Определение 3.7. Число 0 2 C называется корнем многочлена

p( )

)

) = p0(

) = : : : = p(m 1)(

) = 0

(m) кратности

2 N

, если

( 0) 6= 0.

Основная теорема алгебры. Пусть p( ) многочлен степени n,

его

всевозможные различные корни, имеющие кратности

gk=1

(n)

(n 1)

nk соответственно, тогда

= n.

Обозначим `(y) = a0y

+: : :+an 1y0 +any, p( ) = a0 +

+a1y

n 1 +: : :+a

n 1

` (y) = na y(n 1)

+(n

1)a y(n 2) +: : :+a

n 1

p1( ) = na0 n 1 +(n 1)a1 n 2 +: : :+an 1. Очевидно, что p1

( ) = p0( ).

Лемма 3.3. Для любой функции y(x), имеющей непрерывную

производную n-го порядка, справедлива формула

`(x y) = `1(y) + x`(y):

(3.30)

Для доказательства (3.30) достаточно воспользоваться равенством

(xy(x))(k) = ky(k 1)(x) + xy(k)(x):

.Ч

Лемма 3.4. При m = 0; 1; : : : имеет место тождество

`(xme x) =

Cmj p(j)( )xm j

1e x:

н(3.31)

@Xj

Доказательство.

Воспользуемся

методом

ма иематической

индукции. При m = 0 имеем

`(e

) =

p( )e

и, следовательно,

утверждение справедливо. Предположим теперь, что формула (3.31)

имеет место для произвольного `(y) и докажем, чтои

`(xm+1e x) =

1e x:

(3.32)

Cmj +1p(j)( в)xm+1 j

m+1

Из формулы (3.30) следует, что `(xm+1e x) = `1(xme x)+x`(xme x).

Поэтому, учитывая индукцио

ое предположение, получим

`(x

e ) =

Cmp ( )x

1e :

Cmвpе

( )x +

m+1 x

(j)

m+1

(j+1)

j=0

выражение, выделив по одному слагаемому

Преобразуем получившеесяр

в каждой сумме.

`(xm+1e x) =	0Cmmp(m+1)( ) +	Cmj p(j+1)	( )xm j + Cm0 p( )xm+1+
	@	m 1
	@	Xj
		=0

Cmj p(j)( )xm+1 j e x = Cm0 p( )xm+1 +

Cmj 1p(j)( )xm+1 j+

го

Cmj p(j)( )xm+1 j + Cmmp(m+1)( )1e x =

Cm0

+1p( )xm+1+

ко

(Cmj 1 + Cmj )p(j)( )xm+1 j + Cmm+1+1p(m+1)( )1e x =

ев

m+1

= 0

Cmj +1p(j)( )xm+1 j1e x

ер

Следствие 3.3. Пусть 0 – корень p( ) кратности k. Тогда функции

e 0x; xe 0x; : : : ; xk 1e 0x являются решениями уравнения `(y) = 0.

Справедливость этого утверждения следует из формулы (3.31) приН

= 0, так как для m = 0; 1; : : : ; k 1 ее правая часть равна нулю.и

Приведём теперь примеры конкретных линейно независимых систем

функций, которые будут играть важную роль в дальнейшем.

Лемма 3.5. Система функций fxkgkm=0; m = 0; 1;и: : : линейно

независима на любом отрезке.

Доказательство.

Воспользуемся

методом

т. е.

от противного,

предположим, что система

линейно зави

има. По определению

gk=0

это означает, что существуют константы c0, c1, : : :, cm, среди которых

есть отличные от нуля, такие что c0 1+c1x+е: : :+cmxm 0 при любых

x 2 [a; b], что противоречит основной теоремеи алгебры.

kx m

2 N, k 6= j при k 6=j,

Лемма 3.6. Система функций fe

нgk=1, m

линейно независима на любом отрезке.у

Доказательство. Применим методй

математической индукции. При

m = 1 тождество c1e 1x 0 возможноны

лишь при c1 = 0. Предположим

теперь, что система из m 1нэкспоненты линейно независима на [a; b],

и докажем, что тогда и система из m экспонент линейно независима.

Предположим про

т. е.

что система

линейно

тивное,

gk=1

зависима, и, следовательно,с

существует набор констант c1; : : : ; cm, среди

которых есть отличные от нуля, такой что

+ c2e

+ : : : + cme

(3.33)

у c1e

Пусть,

для

определённости,

c1 6= .0 Умножим

обе части (3.33)

на e mx, а затем получившееся тождество продифференцируем. В

результате получим

( 1 m)c1e( 1 m)x + : : : + ( m 1 m)cm 1e( m 1 m)x 0;

но так

как ( 1

= 0, то последнее тождество означает, что

m 1

линейно зависима, что противоречит

система экспонент fe( k m)xgk=1

индукционному предположению.

Лемма 3.7. Система функций

8:e: :1x: :;: xe: : : :1:x:;:::::::;: :x:k:1:e: :1:x:;: :

(3.34)

евс

; : : : ; x

;

; xe

ны

где m 2 N, k1, k2, :: : :, km произвольные целые неотрицательные

числа, линейно независима на любом отрезке.

Доказательство.

Воспользуемся

методом

математической

индукции по числу экспонент. При m = 1 система функций e 1x, xe 1x,

: : :, x

: : : линейно независима в силу леммы 3.5. Предположим,

что система функций вида (3.34), порождённая (m 1)-ой экспонентой,Н

линейно

независима. Докажем,

что тогда

система

(3.34)

ли иейно

независима. Предположим противное.

этом

случае сущ ствует

fckgkn=10 ,

jckj > 0, n0 =

kj + m, такая что линейнаяикомбинациям

k=1

j=1

тождеств

этих функций с коэффициентами fckgk=1

енно равна нулю.

Следовательно,

(3.35)

p1(x)e 1x + : : : + pm(x)e mxрс0;

где pk(x) алгебраические многочлены, среди которых есть отличный

от тождественного нуля. Пусть это p1

(x). Обозначим степень pk(x)

через k. Умножим обе части (3.35) нанe mx

p1(x)e( 1 m)x + : : : + pm 1

(x)йe( m 1 m)x + pm(x) 0;

(3.36)

(x)]e( 1

m)x

Далее,

(x)e( 1 m)x)0 = [p0 (xн) + (

Очевидно, что степень многочлена, стоящего в квадратных скобках,

равна

степени

p1(x),

и,вследовательно, его старший коэффициент

отличен от нуля.

m + 1 раз. В результате,

получим

Продифференцируем (3.36)

p~ (x)e( 1 m)x + :а: : + p~

(x)e( m 1 m)x

, где

p~ (x)

некоторые

m 1

алгебраическиеумногочлены, причем p~1(x) 6 0.

Последнее тождество означает, что система функций вида (3.34),

порожденная (m 1)-ой экспонентой, линейно зависима. А это

противоречит индукционному предположению.

Займемся теперь построением фундаментальной системы решений

уравнения (3.26).

Вид фундаментальной системы решений этого уравнения зависит

от свойств корней p( ). Рассмотрим три случая.

Случай

Предположим,

что

p( )

имеет

различных

качестве

вещественных корней f kgk=1. Убедимся, что

фундаментальной

системы

можно взять fe kxgkn=1. В

самом

деле,

из теоремы 3.14 следует, что функции e kx являются решениями (3.26),

причем в силу леммы 3.6 они линейно независимы.

Случай 2. Пусть, по-прежнему, p( ) имеет n различных корней, но

среди них имеются комплексные.

Как и в случае 1 в качестве фундаментальной системы решений

можно

взять

Заметим,

что

решения,

отвечающие

gk=1.

невещественным

являются

комплекснозначными

функциями. .

Иногда удобнее иметь дело с фундаментальной системой, состоящей из

вещественных функций. Укажем способ построения такой системы при

дополнительном предположении, что коэффициенты ak

, k = 0; 1; : : : ; n,

уравнения (3.26) вещественны.

Известно,

что

этом

случае, если, например,

i 1, 1

0 является

корнем p( ), то и 2

м1 i 1

есть корень

характеристического

многочлена. Пусть y1и(x) = e 1x,

y2(x)

. Из

теоремы 3.4

следует, что функции y~1(x)

cos 1x и

также

Re y1(x)

y~2(x)

= Im y1(x)

тe

sin 1x

являются решениями (3.26). Таким образом, каждой паре комплексно

сопряженных корней p( ) соответствует два в щественных решения

уравнения (3.26). В результате указанной процедурые

будет получена

система вещественных решений fy~k(x)gk=1и(здесь решения yk(x) = e

при k вещественном переобозначены черезн y~k(x) ). Остается убедиться,

что построенная система является линейно независимой. Для этого

достаточно воспользоваться следующим известным фактом.

Теорема

3.15. Пусть

даны системы

функций

ffk(x)gkn=1

ff~k(x)gkn=1,

причем

перваянсистема линейно независима. Тогда,

если любая fk(x)

являе ся линейной комбинацией функций второй

системы, то последняятакже линейно независима.

Случай 3. Предположим, что многочлен p( ) имеет m различных

корней f kgmk=1, имеющих кратности fnkgmk=1. Рассмотрим функции e 1x; xe 1x; : : : ; xn1 1e 1x;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

e mx; xe mx; : : : ; xnm 1e mx:

В силу основной теоремы алгебры в этой системе n функций. В

то же время, из следствия 3.3 следует, что каждая из этих функций

является решением уравнения (3.26). Наконец, учитывая лемму 3.7,

заключаем, что рассматриваемая система является фундаментальной

системой решений (3.26). Заметим,

что

в случае вещественных

коэффициентов ak и наличия невещественных корней у p( ) с помощью

процедуры, описанной выше, можно построить фундаментальную

систему решений, состоящую из вещественных функций.

В заключение этого

раздела

рассмотрим метод неопределенных

коэффициентов, позволяющий найти частное решение уравнения (3.25)

в случае, когда f(x) = Qm(x)e

, где Qm(x) многочлен степени m, .

2 C.

.Г

Лемма 3.8. Справедливо следующее равенство

XXj

н(3.37)

a j =

a j;

=0 =0

j=0 =j

где a j заданные числа.

Доказательство. Обозначим левую

через S.

часть в (3.37)

Запишем S подробно:

+ am1

+ amm):

S = a00 + (a10 + a11) + (a20 + a21 + a22) + + +(рam0

Перегруппируем слагаемые следующим образом:в

S = (a00+a10+ +am0)+(a11+a21

+ у+am1)+(a22+ +am2)+ +amm:

Полученное представление совпадает с правой частью (3.37).

Теорема 3.16. Предположим, что является корнем p( )

кратности n0, тогда уравн ние

(3.38)

y(n) + a1

вy(n 1) + : : : + any = Qm(x)e x

вида

имеет частное решениер

yч(x) = xn0 Rm(x)e x;

(3.39)

где Rm(x) = bkxk:

k=0					b		k =
Доказательство.		Укажем способ выбора коэффициентов			b	k,	k =
P		Укажем способ выбора коэффициентов				k,
= 0; 1; : : : ; m, при котором правая часть в (3.39) представляет собой
				m
решение (3.38). С этой целью обозначим Qm(x) = dkxk, а затем
				=0
подставим yч(x) в (3.38). Имеем, учитывая лемму 3.4,kP										ого
		m	!	m						ого
	X			X						к
`(yч) = `			bkxk+n0 e x =	bk`(xk+n0 e x) =						с
	k=0			k=0						с
	k=0			k=0						ев
m			k+n0	!						ев
X			X							ш
=	bk		Ck+n0 p( )( )xk+n0 e x :						ы
k=0			=0				р		ы
k=0			=0
Но так как p( ) = p0( ) = : : : = p(n0 1)( ) = 0, то
Но так как p( ) = p0( ) = : : : = p(n0 1)( ) = 0, то							Че	н
		m	k+n0	!			Че

`(y ) =

p( )( )xk+n0

e x:

k+n0

k=0

=n0

Выполним во внутренней

сумме

замену индекса суммирования,

положив k + n0 = j. В результате получим

`(y ) = e x

Ck+n0 jp(k+n0 j)( )xj:

X X0

k+n0

k=0

j=n

Воспользуемся (3.37):

ит1

`(y ) = e x

b Ck+n0 jp(k+n0 сj)( ) xj:

k+n0

j=0 k=j

Следовательно, для того чтобы правая частьи (3.39) являлась решением

(3.38), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

bkCk+n0 нp(ыk+n0 j)( )1xj djxj;

X X

k+n0 j

j=0

j=0 k=j

которое равносильно

вра енству коэффициентов,

стоящих

при

одинаковых степенях xт, . е.

Xу

аk+n0

(k+n0

( ) = dj;

j = 0; 1; : : : ; m:

(3.40)

bkCk+n0

k=j

Уравнения (3.40) представляют систему линейных уравнений

относительно неизвестных fbkgkm=0. Покажем, что система (3.40) имеет

единственное

решение. При j

m уравнение (3.40)

имеет вид

bmckn+0 n0 p(n0)( ) = dm. Но так как по условию p(n0)( ) 6= 0, то из

последнего уравнения можно найти bm. Полагая j = m 1; m 2; : : : ; 0,

последовательно находим bm 1; bm 2; : : : ; b0.

Замечание Возможности применения метода неопределенных

коэффициентов иногда

можно

расширить,

если

воспользоваться

следующим очевидным утверждением.

Теорема

3.17. Предположим, что f(x)

fk(x), где fk(x)

k=1

заданные функции, тогда уравнение l(y) = f(P

имеет частное

l(y) = fk(x).

рн

yч(x)

yчk(x), где yчk(x)

решение

уравнения

решение вида

3.4. Уравнения Эйлера

Уравнения Эйлера это линейные дифференциальные уравнения с

переменными коэффициентами специального вида, которые с помощью

простой замены переменной приводятся к линейным уравне

ям с

постоянными коэффициентами.

Определение 3.8. Уравнением Эйлера n-го порядка

называетсяе

уравнение

(3.41)

b0(ax + b)ny(n) + b1(ax + b)n 1y(n 1) + : : : + bny = fт(x);

где a; b; b0; : : : ; bn числа, b0 6= 0a, 6= 0.

си

Если в уравнении (3.41) сделать замену п

менной ax + b = t, то

для новой неизвестной функции z(t) = y(t abе) справедливы формулы

z0(t) =

y0(x); : : : ; z(n)(t) =

нy(n)(x);

где x =

t b

aу

На основании этих формул уравнение (3.41) примет вид

+ : : : + any = f(x);

(3.42)

a0xny(n) + a1xn н1y(n 1)

где a0; : : : ; an числа, тa0 6= 0. Таким образом, не уменьшая общности,

можно изучать уравнениес (3.42).

Теорема 3.18. Уравнениер

(n)

= 0; x > 0; n 1;

(3.43)

заменой x = et, 1 < t < 1, приводится к уравнению с постоянными коэффициентами

z(n) + p1z(n 1) + : : : + pn 1z0 = 0;

(3.44)

причем характеристическим уравнением у (3.44) будет уравнение

( 1) : : : ( n + 1) = 0:

(3.45)

Доказательство. Будем рассуждать по индукции. При n

= 1

имеем

xy0

= xz0

= xz0(ln x)0 = z0:

Предположим теперь, что

xn 1y(n 1) = z(n 1) + b1z(n 2) + : : : + bn 2z0;

и рассмотрим

xny(n) = xn (xn 1y(n 1))

0 =

иН

xn 1

= xn

(xn 1y(n 1))x1 n + xn 1y(n 1)(1 n)x n м=е

= x

z(n 1) + b

z(n 2) + : : : + b

z0 +

+ (1 n) z(n 1) + b1z(n 2) + : : : + bсnи2z0 =

= x z(n)

+ b1z(n 1)

+ : : : в+еbnр2z00

+(1 n) z(n 1) + : : : + bn 2z0

= z(n)+(унb1и+1 n)z(n 1)+: : :+(1 n)bn 2z0

Таким образом, формула (3.44) доказана.й

уравнением

для

Покажем теперь,

что

характеристическим

уравнения

(3.44)

будет

Предположим,

что функция

(3.45).

есть решение уравнения (3.44), т. е. 1 корень характеристического

уравнения

(3.44). Но

выполнив обратную

замену t =

ln x,

огда,в

получаем, что x 1

сешение уравнения (3.43), и, поскольку (x 1 )(n) =

(

1) : : : (

р(n

1))x 1 n

, должно выполняться тождество

1а

( 1

1) : : : ( 1 n + 1)x

Следовательно, 1 корень уравнения (3.45). Рассуждая в обратном

порядке, получаем, что корни уравнения (3.45) и характеристического

уравнения совпадают. Лемма доказана.

Следствие Если

уравнении

(3.42)

предположении,

что

выполнить

замену

et,

t <

то

относительно

новой

неизвестной

функции

z(t)

y(e )

получится линейное дифференциальное уравнение с постоянными

коэффициентами, характеристическим уравнением которого будет

уравнение

(3.46)

an k ( 1) : : : ( k + 1) + an 1 + an = 0:

k=2

Замечание. Если в уравнении (3.42) x < 0, то надо сделать замену

x = e , 1 < t < 1, характеристическое уравнение (3.46) при этом

не изменится.

Пример. Решить уравнение

x2y00 + xy0

y = x2; x > 0:

(3.47).

Решение. Сделаем

замену

Выразим

производные

неизвестной

функции

через производные новой

y(x)

неизвест ой

функции z(t) = y(et):

y0(x) =

z(ln x) = z0(t)

;

y00(x) = z00(t)

z0(t)

уравнение

После подстановки этих формул в уравнение получимр

z00

z = e2t

(3.48)

Корнями

характеристического уравнения

1 = 0 являются 1;2 =

1 2t

= 1, а функция 3 e

решением уравнения (3.48).

является частнымй

Следовательно, общее решение уравнения (3.48) имеет вид

z(t) = нC1et + C2e t +

e2t:

Выполнив обратную замену t = ln x, получим общее решение уравнения

(3.47)

y(x) = C1x + C2 + x :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.08.2019103.01 Кб2Glava_II_Teoria_deystvia.docx
#
29.03.2016344.06 Кб6Gosudarstvennoe_regulirovanie_ekonomiki.doc
#
09.06.20151.27 Mб111grundlagen_der_phonetik(1).doc
#
07.11.20181.27 Mб27grundlagen_der_phonetik.doc
#
29.03.20162.81 Mб241Gundarin_M._Kniga_Rukovoditelya_Otdel.rtf
#
09.06.20151.03 Mб28Gurevich-Kornev.pdf
#
09.06.20153.71 Mб8Gurevich_Pavel_Mir_filosofii_-_royallib_ru.doc
#
09.06.2015981.41 Кб7hadoop_watermarking.pdf
#
09.06.2015494.12 Кб16history_exam_all.pdf
#
09.06.20154.93 Mб3Home reading.pdf
#
02.11.20182.41 Mб3Hot_Dog.doc