Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Gurevich-Kornev

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Теорема доказана.

Следствие 1.1. Если выполняется условие

M0 (x; y)

(x; y)

= q(x)

N(x; y)

(т.е. дробь не зависит от y), то функция (x)

= eR q(x) dx

есть

интегрирующий множитель для уравнения (1.31)

(в этом случае в

теореме надо взять w(x) = x и (t) = q(t)).

Следствие 1.2. Если выполняется условие

N0 (x; y)

(x; y)

= p(y)

M(x; y)

= eR p(y) dy

(т. е. дробь не зависит от x), то функция (y)

есть

ерн

интегрирующий множитель для уравнения (1.31) (в этом случае в

теореме надо взять w(y) = y и (t) = p(t)).

1.8. Уравнения, не разрешенные

относительно производной

Все изученные в предыдущих разделах типы дифференциальных

уравнений относятся к дифференциальным уравнениям, разрешенным

относительно производной. Рассмотрим теперь уравненияив да

F (x; y; y0) = 0:

(1.43)

Предположим, что это уравнение можно раз сешить относительно y0

и свести его к одному или нескольким уравн ниям вида (1.2). Решения

(1.43). Однако такое

этих уравнений в совокупности образуют решениев

сведение не всегда

возможно или

оче

иь сложно,

например,

как в

следующем уравнении

y02

(1.44)

Изложим метод решения уравненийы

вида (1.43), которые можно

разрешить относительно y

можно назвать

или x. Этот метод

методом введения параметра,е

так как решение уравнения ищется в

параметрическом виде.тПусть, для определенности, уравнение (1.43)

можно разрешить относительно y, т. е. привести его к эквивалентному

уравнению вида

y = f(x; y0)

(1.45)

(случай x = f(y; y0) рассматривается аналогично).

Алгоритм метода введения параметра состоит в следующем:

1) в уравнении (1.45) заменяем y0 на параметр (переменную) p, т. е.

y0 = p, или

= p:

(1.46)

Получаем

y = f(x; p);

(1.47)

2) в равенстве (1.47) берем от обеих частей дифференциалы:

dy = fx0 (x; p) dx + fy00(x; p) dp;

(1.48)

3) в соотношении (1.48) в силу (1.46) заменяем dy на p dx:

(f0 (x; p) p) dx + f0 (x; p) dp = 0;

(1.49)

4)уравнение (1.49) рассматриваем как дифференциальное

уравнение в

симметрической

форме

относительно

переменных

x .

и p, т. е. как

уравнение,

разрешимое

относительно

производной,

которому можно применить изученные методы;

5) пусть x = '(p) решение уравнения (1.49), подставим '(p) в

формулу (1.47), получаем

x = '(p);

y = f('(p); p) :

(1.50)

Уравнения (1.50) являются параметрическими уравн

тниями кривой,

которая является графиком решения уравнения(1.45)е.

Замечание Если в уравнениях (1.50) можно изипервого уравнения

найти p как функцию x, то после подстановки

е во второе уравнение

получается функция y = g(x), которая является решением уравнения

(1.45).

В качестве примера, применим этот налгоритм к решению уравнения

(1.44):

1) y = p2 + p5;

2) dy = (2p + 5p4) dp;

3) p dx = (2p + 5p4) dp;

+ c;

4) считаем x функцией p и находим x = 2p + 4 p

5) получаем семейтво кривых, которые являются графиками

решений уравнения (1.44)

уx = 2p +

+ c; y = p

+ p

(p 2 R)

(к этому множеству надо добавить решение y(x) = 0, которое было потеряно в п.3 при делении на p).

Обоснование изложенного алгоритма содержится в следующей

теореме.

Теорема 1.9. Пусть функция f в уравнении (1.45) определена и

непрерывно дифференцируема в некоторой области. Пусть y = g(x)

является непрерывно дифференцируемым решением уравнения (1.45),

график которого задается системой параметрических уравнений

x = '(p); y =

(p); p 2

( ; );

(1.51)

где '; непрерывно дифференцируемые функции, причем

'0(p)

= 0

0(p)

= p;

(1.52)

'0(p)

(т. е. в качестве параметра выбрано значение тангенса угла наклона

касательной к графику). Тогда функция '(p) есть решение уравнен Ня

(1.49).

Обратно, пусть x = '(p) является решением уравнения (1.49)

на интервале

(a; b), '0(p)

6= 0, (p) =

f('(p); p). Тогда

муравнения

(1.50) определяют кривую, являющуюся графиком неко орогои решения

уравнения(1.45).

уравнения

Доказательство. Пусть y = g(x) является решениемт

(1.45), которое удовлетворяет условиям теоремы.с

По определению

решения и учитывая, что y0 =

0(p)

, имеем

'0(p)

(p) f('(p);иp):

Продифференцируем это тождество

0(p)

('(p);ыp)'0(p) + f0

('(p); p)

и воспользуемся формулойе(1.52), получим

('(p); p)'0(p) + f0

p'0(p)

тf0

('(p); p);

или

д(f0 ('(p); p)

p)'0(p) + f0

('(p); p)

(1.53)

уx

Последнее тождество означает, что '(p) есть решение уравнения (1.49).

Обратно, пусть x = '(p) является решением уравнения (1.49), т. е.

имеет место тождество (1.53). Введем функцию

(p) = f('(p); p);

(1.54)

и рассмотрим кривую, определяемую уравнениями (1.51). Покажем,

что эта кривая является графиком функции y = g(x), которая является

решением уравнения (1.45). Для этого продифференцируем обе части

формулы (1.54):

0(p)

('(p); p)'0(p) + f0

('(p); p):

Из этого тождества и тождества (1.53) следует, что

0(p)

p'0(p);

'0(p)

откуда, учитывая, что

, получаем

формулу (1.52).

Подставляем формулы (1.51),(1.52) в формулу (1.54) и на основании

того, что

(p)

g0('(p)) =

;

(p)

приходим к тождеству

f(x; g0(x)):

g(x)

Следовательно, g(x)

решение

уравненияи(1.45). Теорема

доказана.

2. Задача Коши для нормальной системы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений 1-го порядка,

разрешённых относительно производных:

8y1:0

:=: : f: :1:(x;: : :y:1:;

:::::::;:y:n:):;: :

(2.1)

<y0

= fn(x; y1; : : : ; yn);

gk:

где

fk(x; y1; : : : ; yn)

вида (2.1)

n> заданные функции. Системы

называют нормальными системами дифференциальных уравнений.

Определение 2.1. Функции fy~k(x)gk=1

называются

решением

системы (2.1) на отрезке [a; b], если y~k(x) непрерывны на [a; b] вместе

со своими производными

y~0 (x)

и для любых

[a; b]

справедливы

тождества

y~0

(x)

(x; y~ (x); : : : ; y~ (x));

k = 1; : : : ; n:

Задача Коши состоит в нахождении такого решения fy~k

(x)gk=1

системы, которое удовлетворяет начальным условиям:

8y1: (:x:

0: ): :=: :y:1:;: :

и(2.2)

;

<yn(x0) = y

где

1,. . . ,

заданные числа, x0

[a; b].

2.1. Теорема существования и ед нственности

решения задачи Коши

Обозначим

через

n+1

параллелепипед,

1)-м рный

определяемый следующим образом:

n+1 = (x; y1; : : : ; yn)j x0

a x уxн0 + a; yk0

bk yk yk0 + bk ;

где a, b1, . . . , bn фиксированные положительные числа (k = 1; : : : ; n).

Определение 2.2. Будем говорить, что функция f(x; y1; : : : ; yn)

удовлетворяет в n+1 условиюнЛипшица по переменным y1; : : : ; yn,

если

существует

константа

такая

что для

положит льная

любых (x; y1; : : : ; yn), (x;вz1; : : : ; zn), принадлежащих параллелепипеду,

выполняется неравен тво:

(2.3)

jf(x; yд1; : : : ; yn) f(x; z1; : : : ; zn)j L

jyj zjj:

Укажем простое достаточное условие, при выполнении которого

функция f(x; y1; : : : ; yn) удовлетворяет условию Липшица.

Теорема

2.1.

Предположим,

что

f(x; y1; : : : ; yn)

n+1

непрерывна вместе со своими частными производными по

переменным y1; : : : ; yn. Тогда эта функция удовлетворяет в n+1

условию Липшица.

Доказательство. Оценим разность

jf(x; y1; : : : ; yn) f(x; z1; : : : ; zn)j

jf(x; y1; y2; : : : ; yn) f(x; z1; y2; : : : ; yn)j+

+jf(x; z1; y2; : : : ; yn) f(x; z1; z2; y3; : : : ; yn)j+

+jf(x; z1; z2; y3; : : : ; yn) f(x; z1; z2; z3; y4; : : : ; yn)j +

+jf(x; z1; : : : ; zn 1; yn) f(x; z1; : : : ; zn 1; zn)j:

Преобразуем

каждую

из

получившихся

разностей

по

теореме о

конечных приращениях (теорема Лагранжа), в результате получим:

jf(x; y1; : : : ; yn) f(x; z1; : : : ; zn)j

@y1

jy1 z1j+

@f(x; ; y2; : : : ; yn)

@f(x; z1; 2; y3; : : : ; yn)

@y2

@f(x; z1; : : : ; zn

1; n)

@yn

jyn znj;

т 0

+ bk].

где k (k = 1; : : : ; n)

некоторые числа из

отрезкови

[yk

; yk

Частные производные функции f(x; y1; : : : ; yn)снепрерывны в n+1,

поэтому они ограничены, т. е. существует положительнаяе

константа L,

@f(x; y1; : : : ; yn)

такая что

@yk

L. Отсюдаи

jyj

zjj:

jf(x; y1; : : : ; yn) f(x; z1; : :й: ; zn)j L

Теорема доказана.

Замечание Пусть f(вx; y1; : : : ; yn) =

ak(x)yk + g(x), где ak(x) и

g(x)

k=1

непрерывные на

[a; b]

Очевидно, что f(x; y1; : : : ; yn)

функции. P

удовлетворяет условияма

теоремы 2.1 в области fa x b; 1 < y <

< 1g, причемув качестве L можно взять L =

1 k

n a

b j

max

a (x)

В дальнейшем неоднократно будет использована следующая

теорема.

Теорема 2.2 (неравенство Беллмана). Предположим, что

функции u(x)

и v(x) непрерывны, неотрицательны на отрезке [a; b]

и существует c > 0 такое, что

для

всех

x 2 [a; b]

справедливо

неравенство

u(x) 6 c +

u(t)v(t) dt:

(2.4)

го

Тогда

u(x) 6 ceR

;

x 2 [a; b] :

(2.5)

v(t) dt

Последнее неравенство называется неравенством Беллмана.

Доказательство. Предположим

сначала, что c

0. Из (2.4)

следует, что

u(x)

6 1:

c + u(t)v(t) dt

Умножим обе части этого неравенства на v(x), а затем проинтегр руем

по отрезку [a; x]. В результате получим

)v( )

d Za v( ) d :

ти

c + u(t)v(t)dt

Отсюда

ln(c + Z

u(t)v(t) dt)

вZеv( ) d ;

иa

Выполнив подстановки, получим

ln(c + Za

ln c Za

u(t)нv(нt) dt)

v( ) d ;

или

тx

дln(аcр+сZa

u(t)v(t) dt) Za

v( ) d + ln c:

v(t) dt

Потенцируя, заключаем, что c+

. Учитывая (2.4),

u(t)v(t) dt ceR

получаем (2.5). Пусть теперь c R= 0. В этом случае (2.4) превращается

в неравенство u(x) u(t)v(t) dt. Но тогда для любого натурального n

x v(t) dt

1 a

. Переходя

выполняется u(x) n +

u(t)v(t) dt. Отсюда u(x) n eR

u(x)

! 1, получаем

, т. е. (2.5)

в этом неравенстве к пределу при

при c = 0.

Теорема 2.3 (о существовании и единственности решения

задачи Коши). Предположим, что ffk(x; y1; : : : ; yn)gkn=1 непрерывны

в n+1 и по переменным y1; : : : ; yn удовлетворяют условию Липшица.

Тогда

задача

Коши

(2.1)–(2.2) имеет единственное решение,

ны

определенное на отрезке [x0 h; x0 + h], где h

= min

a; Mb1 ; : : : ;

произвольное

положительное

число

такое,

что при

.Ч

= 1; : : : ; n и любых (x; y1; : : : ; yn) 2 n+1 выполняется неравенство

jfk(x; y1; : : : ; yn)j M

(в

частности,

если не все fk(x; y1

; : : : ; yn)

тождественно

равны

нулю, то в качестве M можно

взять

max

(x; y

; : : : ; y )

j).

n (x;y1

;:::;yn)

n+1 j

Доказательство. I этап. Покажем, что задача Коши (2.1)–(2.2) в

определенном смысле эквивалентна некоторой системе интегральныхе

уравнений, которая будет получена позднее. Пусть fиy~kм(x)gkn=1

решение задачи Коши на отрезке J = [x0 h; x0

+ h]. тСледовательно,

при x 2 [x0 h; x0 + h] справедливы тождества:

8y~1:0 (:x: :): : : f: :1:(x;: : :y~:1:(:x:):;:::::::;:y~:n:(:xр:)):с:;:и:

(2.6)

<y~0

(x)

fn(x; y~1(x); : : : ;вy~n(x)):

> n

ни

уx0 до x. В результате получим

Проинтегрируем их в пределах от

тождества

8y~1(x) y~1

xы

(x0е) ннx0 f1(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) dt;

: : : : : : : : : :в: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

fn(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) dt:

>y~n(xа)рy~n(x0)

Так как y~k(x0) = yk0, k = 1; : : : ; n, то

8	y~1(x) y10	x	f1(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) dt;
>
>
>
>
<	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :				(2.7)
					(2.7)
		x
>y~n(x) y1n +x0			fn(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) dt:		о
>		R			о
>				n	г
>				n
:

Тождества (2.7) означают, что система функций	f	y~k(x)	gk=1	является	к
Тождества (2.7) означают, что система функций		y~k(x)		является	о
					с
решением системы интегральных уравнений:					ев
решением системы интегральных уравнений:

>	y1 = y10 +xR0	f1(t; y1; : : : ; yn) dt;	(2.8)	ш
	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :			ны

>yn = y1n +x0		fn(t; y1; : : : ; yn) dt:	Чер
>	R		.
>	n		.
:

Обратно,

пусть

fy~k(x)gk=1

nнепрерывное

на

решение

системы (2.8). Докажем, что f

y~k(x)

gk=1 является решением

задачи.

Коши (2.1)–(2.2) на этом же отрезке. Действительно, так как fy~k

(x)gk=1Н

решение (2.8), то справедливы тождества (2.7). Полагая в них x =иx0,

заключаем, что y~k(x0) = yk, k = 1; : : : ; n. Далее, функции Fk(t) =

= fk(t; y~1(t); : : : ; y~n(t))

являются непрерывными на [x0 мh; x0 + h],

поэтому правые части в (2.7) имеют непрерывные производныеи

по x.

Следовательно, функции y~k(x) тоже непрерывно диффтренцируемы.

(2.6), что

Продифференцируем тождества (2.7). В результате получиме

и требовалось доказать.

II этап. Докажем теперь, что система (2.8) имеет непрерывное

решение на

отрезке

Для

этого

оспользуемся

методом

последовательных приближений,

Пикаром. Введем

предложеннымв

в рассмотрение

функции

ykm(x)

= 1; : : : ; n

определяемые

gm=0н,

возьмем yk0(x)

yk,

следующим образом:

качестве

yуk0(x)

yk1(x) yk +xR0

fk(t; y10(t); : : : ;нynы0(t))dt; в общем случае:

fk(t; y1;m 1(t); : : : ; yn;m 1(t)) dt:

(2.9)

ykm(x) ykт+ Z

сx0

что формулы (2.9) корректны в том смысле, что

Сначала убе имся,а

для любого m

уи для любого x 2 J точка (x; y1m(x); : : : ; ynm(x)) 2 n+1,

т. е. что аргументы подинтегральных функций в (2.9) принадлежат области определения функций fk(x; y1; : : : ; yn). Воспользуемся методом математической индукции. При m = 0 утверждение очевидно. Теперь предположим, что (x; y1;m 1(x); : : : ; yn;m 1(x)) 2 n+1 (x 2 J) и

убедимся, что и (x; y1m(x); : : : ; ynm(x)) 2 n+1. В самом деле, из (2.9)
следует, что:							о
					fk(t; y1;m 1(t); : : : ; yn;m 1(t)) dt		о
	ykm(x)	yk0				г
	ykm(x)	yk0				о
				x		к
j			j	Z		к
				x0		с
		x				ев
						ев

jfk(t; y1;m 1(t); : : : ; yn;m 1(t))j dt:

Но jfk(t; y1;m 1(t); : : : ; yn;m 1(t))j M, поэтому

jykm(x) ykj Mjx x0j Mh M M

= bk:

Также по

индукции

устанавливается,

что

функции ykm(xН)

являются непрерывными

покажем,

на

J. Далее,

что при любомиk

последовательность fykm(x)gm=0

равномерно сходится на J.еС этой

целью заметим, что равномерная сходимость последовательности

равносильна равномерной сходимости ряда

m=1[ykm(xт) yk;m 1(x)].

Для доказательства

равномерной

применим

сходимостиPэтогоеряда

признак мажорации.

Оценим jykm(x) yk;m 1(x)j по индукции. При m = 1 имеем

yk1

(x) yk

M x

x0 :

(2.10)

fk(t; y1; : : : ; ynн)иdt

j j

Далее, из (2.9) получим

yk2(x)

fk(t; y11(t); : : : ; yn1(t))dt;

yдk1а(x) yk0

+ Z

fk(t; y10(t); : : : ; yn0(t))dt:

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.08.2019103.01 Кб2Glava_II_Teoria_deystvia.docx
#
29.03.2016344.06 Кб6Gosudarstvennoe_regulirovanie_ekonomiki.doc
#
09.06.20151.27 Mб111grundlagen_der_phonetik(1).doc
#
07.11.20181.27 Mб27grundlagen_der_phonetik.doc
#
29.03.20162.81 Mб241Gundarin_M._Kniga_Rukovoditelya_Otdel.rtf
#
09.06.20151.03 Mб28Gurevich-Kornev.pdf
#
09.06.20153.71 Mб8Gurevich_Pavel_Mir_filosofii_-_royallib_ru.doc
#
09.06.2015981.41 Кб7hadoop_watermarking.pdf
#
09.06.2015494.12 Кб16history_exam_all.pdf
#
09.06.20154.93 Mб3Home reading.pdf
#
02.11.20182.41 Mб3Hot_Dog.doc