Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Gurevich-Kornev

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Y (x0) = Y0;

(2.29)

x0 2 [a; b], определенное на отрезке [x1; x2] [a; b], то существует константа C0, не зависящая от x1, x2, такая что для любых x 2 2 [x1; x2] выполняется неравенство

			kY (x)k C0				(2.30)		о
									о
								г
Доказательство.				x	x			о
Доказательство.			Пусть для определенности	x	x	0	. Из тождества	к
	x		Пусть для определенности			0	. Из тождества	к
Y (x)	Y0 + Z	F (t; Y (t)) dt следует неравенство kY (x)k kY0k +						евс
Z								ны
x	x0							ш

+kF (t; Y (t))k dt. Отсюда учитывая (2.1), заключаем, что

x0			р
x0		е
		е
x	x	.Ч
Z	Z	.Г
kY (x)k kY0k + (t)kY (t)kdt + (t)dt		.Г
x0	x0	Н
x0	x0	и
b	x

Z		Z			н
kY0k +	(t)dt +	(t)kY (t)kdt:			ме
a		x0			и
Воспользуемся неравенством Беллмана:				е	и
Воспользуемся неравенством Беллмана:				т
0	b	1	0 x ит1

kY (x)k @kY0k + a

(t)dtAexp @еxр0 с(t)dtA

b (t)dt1exp 0унbив(t)dt1

= C0:

й@a

Теорема 2.10.Пусть F (x; Yы) удовлетворяет условиям теоремы

сем

2.9, тогда для любого Y0

задача Коши (2.29)имеет единственное

отрезке [a; b].

решение, определенное на

Доказательство.

рассмотрение

множество

Введем

= f(x; Y ) j x

р[a;сb]; kY k

C0 +

1g. Пусть

далее,

= max

max

(x; y ; : : : ; y

)

j. Будем считать, не теряя общности,

1 k n (x;Y )

D0 j аk

что x0

Убедимся,

что задача

Коши

имеет

единственное

решение, определенное на [x0; b]. В силу теоремы 2.3 эта задача имеет

+ h], где h

единственное решение Y (x), определенное на [x0; x0

min

;

h = b

утверждение доказано. В противном

M g. Если

, то

случае оно определено

на

[x0; x0 +

]. Рассмотрим

задачу Коши

с начальным условием Y (x0 +

). Снова применяя

) = Y (x0

теорему 2.3, приходим к выводу, что эта задача имеет единственное

решение,

определенное

на

[x0

; b], если

x0 +

b, или

на

[x0 +

; x0 +

] в противном случае. Из теоремы 2.8 следует, что

у задачи

(2.29)

существует

единственное решение,

определенное

на

[x0; b]

в первом случае, или на отрезке [x0; x0 +

]

во втором. Но

будет

построено

тогда очевидно, что после конечного числа шагов

единственное решение, определенное на [x0; b]. Продолжение решения

Y (x) на [a; x0] осуществляется аналогично.

Теорема 2.9 не улучшаема в том смысле, что наличие неравенства

kF (x; Y )k (x)kY k + (x), где > 1, не гарантирует, вообще говоря,

ер

справедливости ее заключения. В самом деле, рассмотрим следующую

задачу Коши для скалярного уравнения: y0 = y1+

, y(0) = 1, где

.Ч

> 0. Ее решением является y(x) =

, которое, очевидно, не.

продолжаемо за точку x = .

( x)

n н

Следствие 2.1. Предположим, что функция F (x; Y ) удовлетворяети

условиям теоремы 2.9 в области D = f(x; Y ) j x a; Y 2

R еg, тогда

задача Коши (2.4.1) имеет единственное решение, определенное на

полуоси [a; 1).

Следствие 2.2. Задача Коши для линейной сист мыт

Y 0

= A(x)Y + F (x);

Y (x0) = Y0;

(2.31)

где A(x), F (x) непрерывные на [a; 1) вматрицае

и вектор-функция

соответственно, имеет единственное решеие, определенное на [a; 1).

Для доказательства этого предложениян достаточно убедиться, что

правая часть в уравнении (2.4.1) удовлетворяет условиям теоремы 2.10

или следствия 2.1 на произвольном отрезке [a; b](b > a).

2.4.2 . Зависимость решений от параметров

Рассмотрим задачу Кошив

1:;:::::::;: : m: :):;: :

8аyр1:0 :с=: : f:

1: (:x;: : :y:1:;:::::::;:y:n:;: :

(2.32)

= fn(x; y1; : : : ; yn; 1; : : : ; m);

у<y0

ос

> n

8y1:	(:x:	0: ): :=: :y:1:;: :		(2.33)
>		0
>		0	;
<yn(x0) = y			;
>		n
:

где правые части в (2.32) зависят

от параметров 1; : : : ; m, m 2

N. Очевидно, что решение задачи (2.32)–(2.33) является функциями

переменных

x; 1; : : : ; n.

данном разделе изучаются

вопросы

гладкости этих функций.

Обозначим через Pm параллелепипед

(1)

(2)

f( 1; : : : ; m)j

; k = 1; : : : ; mg;

k k

где (1); (2) заданные числа, причем (i) < (2).

Теорема 2.11 (о непрерывной зависимости от параметров).

Предположим,

что

функции

ffk(x; y1; : : : ; yn; 1; : : : ; m)gk=1

удовлетворяют следующим условиям в n+1 Pm:

1) они определены и непрерывны при (x; y1; : : : ; yn) 2 n+1

, ( 1; : : : .

: : : ; m) 2 Pm;

по

переменным

y1; : : : ; yn

выполняется условие

Липшица

константой, независящей от переменной x и параметров.

Тогда

задача

Коши

(2.8),

(2.2)

имеет

единственное

р ше ие

fy~k(x; 1; : : : ; m)gkn=1, определенное на отрезке x0

h x еx0 + h,

где

h = min

a; b1

; : : : ; bn

;

M = max

max

(x; y1

; : : : ; yn;и1; : : : ; m)j;

(x;y1;:::;yn; 1:::; m)2 jfk

2 n+1 Pm

причем

функции y~k(x; 1; : : : ; m)

непрерывными

на

являютсяе

множестве: x 2 [x0 h; x0 + h], ( 1; : : : ; иm) 2 Pm.

Доказательство.

Воспользуемсянметодом Пикара. Как и

при

доказательстве

теоремы

рассмотрим

последовательные

2.3

приближения

ykj(x; 1; : : : ; m) =

= yk

+ Z

fk(x;рy1с;j 1(t; 1; : : : ; m); : : : ; yn;j 1(t; 1; : : : ; m))dt;

= 1; 2; : : : ;

причем yk;0(x; 1; : : : ; m) = yk0.

Повторяя те же рассуждения, что и в теореме 2.3, приходим к
выводу, что функции ykj(x; 1; : : : ; m)		непрерывны при x 2 [x0 h;
x0 + h];	( 1; : : : ; m) 2 Pm, причем	ykj(x; 1; : : : ; m) равномерно
сходятся	к y~k(x; 1; : : : ; m) при j ! 1, образующим решение

задачи Коши. А

так как равномерный

предел

последовательности

непрерывных функций является непрерывной функцией, то теорема

доказана.

Изучим теперь вопрос о дифференцируемости решения по

параметрам. Для простоты ограничимся лишь случаем n = m = 1,

т. е. рассмотрим задачу Коши

y0 = f(x; y; );

(2.34)

y(x0) = y0;

(2.35)

В дальнейшем нам потребуется следующее утверждение.

Лемма 2.1

(Адамара). Пусть

выпуклая

область

пространства Rn, а функция F (x1; : : : ; xn) непрерывна вместе со

своими частными производными

= 1; : : : ; n,

, где

@xk

замыкание G. Тогда для любых точек

(x1; : : : ; xn),

(~x1

; : : : ;иx~n),

принадлежащих G, справедливо равенство

F (~x1; : : : ; x~n) F (x1; : : : ; xn) =

ти

nZ1

(~x

x )

@F (x1 + t(~x1 x1); : : : ; xn + tт(~xеn xn))

dt:

k k

@xk

k=1

Доказательство. Пусть '(t) = F (x1 + tе(~x1 x1); : : : ; xn + t(~x1

xn)). Очевидно, '(0) = F (x1

; : : : ; xn), 'и(1) = F (~x1; : : : ; x~n). Поэтому

используя формулу Ньютона – Лейбница, получим:

dt =

'(1) 'н(0)ы= Z0

d'(t)

@F (x1

+ t(~xв1

x1); : : : ; xn + t(~xn

xn))

= k=1 Z

@xk

(~xk xk)dt:

Лемма доказана.д

Обозначим через 3 параллелепипед

f(x; y; )j x0 a x x0 + a; y0 b y y0 + b; g :

Теорема 2.12. Предположим, что функция f(x; y; ) непрерывна

в 3 вместе со своими частными производными по всем переменным.

Тогда решение y~(x; )

задачи Коши

(2.34)–(2.35),

определенное при

f(x; y; )

x 2 [x0 h; x0 + h],

где

h = min fa; b=Mg, M =

max

(x;y; )

3 j

имеет непрерывную производную по на отрезке [ ; ]

(т. е. y~(x; )

непрерывна

вместе

частной производной по

по совокупности

переменных).

Доказательство. Рассмотрим y~(x; ) и y~(x; + ). Тогда

y~0(x; + )

f(x; y~(x; + ); + );

y~0(x; ) f(x; y~(x; ); ):

Вычитая из первого тождества второе, получим

dx(~y(x; + ) y~(x; )) f(x; y~(x; + ); + ) f(x; y~(x; ); ):.

Преобразуя правую часть, используя лемму Адамара:

dx(~y(x; + ) y~(x; )) (~y(x; + ) y~(x; ))м

1 @f(x; y~(x; ) + t(~y(x; + )

y~(x; )); + tт)

dt+

@f(x; y~(x; ) + t(~y(x; @

ве

dt:

+ Z0

+ )

y~(x; р)); + t )

Обозначим

а второй

через

первой интеграл через уA1(x; ; ),

A2(x; ; ). Разделив получившеесяйтождество на , получим

(

y~(x; н+ ) y~(x; )

)

(x; ; )

y~(тx; + ) y~(x; )

+ A

(x; ; ):

(2.36)

Обозначим

y~(x;д+ )

y~(x; )

. Тогда

тождество (2.36)

примет вид:

(2.37)

(

) A1(x; ; )

+ A2(x; ; ):

Кроме того очевидно, что

= 0, т. е. функция

при

x=x0

является решением задачи Коши

(2.38)

dx = A1(x; ; )z + A2(x; ; );

z(x0) = 0:

(2.39)

Далее, так как правая часть в (2.38) удовлетворяет всем условиям

теоремы

о непрерывной

зависимости

от

параметров,

то

задача

Коши (2.38)–(2.39) имеет единственное решение z~(x; ; ), которое

непрерывно по совокупности переменных. В частности, у z~ существует

предел при ! 0. В силу единственности решения задачи Коши

.Ч

существует.

z~(x; ; )

при

6=0. А потому у функции

предел при

. Таким образом, доказано существование

y~0

(x; Н)

причем y~0

(x; ) является решением задачи Коши

@f(x; y)

(y0 ) =

;

= 0:

@ x=x0

Учитывая

теорему

непрерывной

решения

от

зависимости

параметров,

заключаем,

что

функция

по

y0 (x; ) н пр рывная

совокупности переменных x и .

2.4.3 . Непрерывная зависимость решения

от начальных условий

Обозначим через n+1

параллелепипеды

n+1 = (x; y1; : :е: ; yn)jjx x0j a; jyk ykj b ;

a и b данные положительные числа.

Рассмотрим,

рлее,

нормальную

систему дифференциальных

уравнений

у k

дy0

= fk(x; y1; : : : ; yn);

k = 1; : : : ; n:

(2.40)

Теорема 2.13 (о непрерывной зависимости решения от начальных условий). Предположим, что функции ffk(x; y1; : : : ; yn)gnk=1 удовлетворяют в n+1 условиям теоремы 2:3. Тогда

решение fy~k(x; x ; y1; : : : ; yn)gnk=1 задачи Коши для системы (2.40) с начальными условиями

yk(x ) = yk;

(2.41)

где

jx x0j !;

0 < ! < 4;

h = min a; M

;

(2.42)

;

(2.43)

kj 2

определено на отрезке

jx x0j

(2.44)

причем

функции

yk(x; x ; y1; : : : ; yn)

являются

непрерывными

.Ч

функциями на множестве (2.42)–(2.44).

Доказательство. Произведем замену независимой переменной x и

t = x

(t; x ; y ; : : : ; y ) =

kgk=1, положив

искомых функций f

иn

yk(t

+ x; x ; y

; : : : ; y )

Очевидно,

что

для того,

чтобы

(x; x ; y

; : : : ; y )

система функций f k

gk=1 являлась решением задачи

Коши

(2.40)–(2.41),

необходимо

достаточно,

чтобымфункции

(t; x ; y ; : : : ; y )

gk=1 образовывали решение задачи Кошит

dzk

= Fk(t; z1; : : : ; zn; x ; y ; : : : ; y )т;

(2.45)

zk(0) = 0;

(2.46)

где Fk(t; z1; : : : ; zn; x ; y1; : : : ; yn) = fk

(t + xв; z1 + y1; : : : ; zn + yn).

Учитывая выполненные

замены,

нзаключаем, что функции Fk

удовлетворяют

условию

Липшица

по

переменным

z1; : : : ; zn на

множестве:

t +нx

(2.47)

еz + y

(2.48)

вj

Рассмотрим

(2.45)–(2.46)

при

дополнительных

задачус

a=2,

jzkj

b=2. Учитывая (2.42) и

(2.43),

предположениях

аjtj

из теоремы 2.3, заключаем, что у этой задачи решение существует на отрезке jtj h=2, при условии, что

x0j

jyk yk0j

(2.49)

;

k = 1; : : : ; n:

Причем

силу

теоремы

о непрерывной

зависимости

решений от

параметров функции zk(t; x ; y1; : : : ; yn)

являются непрерывными на

рассматриваемом множестве.

(x; x ; y ; : : : ; y ) = z

x ; x ;

Вернемся теперь к функциям

y1; : : : ; yn) + yk. Они образуют решение задачи Коши (2.40)–(2.41). Из

условий (2.49) следует, что они определены как функции переменной x

на отрезке jx x j

. Последнее неравенство будет выполнено, если

предполагать, что j

0j 2

0j . Действительно, в

этом случае

jx x j jx x0j + jx0 x j

! + ! =

Учитывая связь между yk и zk, заключаем, что функции fyk(x; xН;

y ; : : : ; y

) n

gk=1 являются непрерывными на множестве (2.42)–(2.44)н.

3. Линейные дифференциальные уравнения

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

y(n) + a1(x)y(n 1) + + an(x)y = f(x)

(3.1)

где ak(x),

f(x) заданные

функции,

определенные на

некотором

фиксированном отрезке [a; b].

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что данные функции

являются непрерывными на этом отрезке.

Для произвольной функции y(x), имеющей на [a; b] непрерывные

производные

до n-го

порядка включительно,

обозначим

через

l(y)

следующее выражение

l(y) = y(n) + a1(x)y(n 1) + + an(x)y;

которое назовем дифференциальным оператором n-го порядка.

Очевидно, уравнение (3.1) можно записать в виде l(y) = f(x).

Так как уравнение (3.1) является частным случаем системы (2.13),

то задача

Коши для

(3.1) состоит

нахождении

такого

реше

я,

которое удовлетворяет начальным условиям:

8y0(x00) = y000 ;

ти

y(x ) = y ;

(n 1)

(3.2)

си

>y(n 1)(x0) = y0

;

(n 1)

произвольные

где x0 произвольная точка из [a; b], y0, y00 , . . . , y0

заданные числа.

Задача Коши (3.1)–(3.2) эквивалентнанзадаче Коши для линейной

нормальной

системы

уравнений,

поэтому

дифференциальных

справедливо следующее утверждение.

Теорема

3.1. Задача Коши (3.1)–(3.2) при любых начальных

условиях имеет единственноенрешение, определенное на всем отрезке

[a; b].

свойств оператора l(y):

Отметим ряд про тейшихт

1) l(y1 + y2) = l(y1) + l(y2),

2) l(cy) = c l(y)а, c = const,

константы.

3) l(c1y1 + c2y2) = c1 l(y1) + c2 l(y2), где c1, c2

Доказательство. Докажем свойство 1). Имеем

l(y1 + y2) = (y1(x) + y2(x))(n) + a1(x)(y1(x) + y2(x))(n 1) + +

+an(x)(y1(x) + y2(x)) = y(n)(x) + y(n)

(x) + a1(x)(y(n 1)(x)+

+y2(n 1)(x)) + + an(x)(y1(x) + y2(x)):

Группируя отдельно слагаемые, содержащие y1(x) и y2(x), получим

требуемое. Столь же просто доказывается и свойство 2). Свойство 3)

является, очевидно, следствием 1) и 2).

Заметим,

что свойства

1) и

3) легко

переносятся

на

случай

произвольного числа слагаемых.

3.1. Линейные однородные уравнения n-го порядка

ыш

В дальнейшем важную роль будет играть уравнение

ер

l(y) = 0;

(3.3) .

которое называется линейным однородным дифференциальным

уравнением n го порядка, соответствующим неоднородномуН

уравнению (3.1).

Из свойства 3) оператора l(y) следует справедливость сл дующих

утверждений.

Теорема 3.2. Если функции fyk(x)gkm=1 являю сяирешениями

уравнения (3.3), то для любых констант c1, c2, . . . , cm тфункция y(x) =

ckyk(x) также является решением (3.3).

k=1

Теорема 3.3.

(x)

Пусть функции

являются решениями

(x) + y2(x)

уравнений (3.1) и (3.3) соответственно. Тогдаефункция y1

есть решение (3.1).

Теорема

3.4. Предположим, что функции ak(x), k = 1; : : : ; n,

вещественны. Тогда, если

y(x)

где u(x),

v(x)

уu(x) + i v(x),

вещественные функции, являетсяйрешением (3.3), то и u(x), v(x)

решения (3.3).

Доказательство. Им

мнl(u(x) + i v(x)) = l(u(x)) + i l(v(x)) 0.

Так как l(u(x)) и l(v(x)) ещественны, то l(u(x)) 0, l(v(x)) 0.

Определение 3.1.тСистема непрерывных функций f'k(x)gk=1,

[a; b]

называетсяслинейно независимой на

отрезке

[a; b], если

2 [a; b], справедливо лишь

тождество

ck'аk(x) 0, ck константы, x

уд

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.08.2019103.01 Кб2Glava_II_Teoria_deystvia.docx
#
29.03.2016344.06 Кб6Gosudarstvennoe_regulirovanie_ekonomiki.doc
#
09.06.20151.27 Mб111grundlagen_der_phonetik(1).doc
#
07.11.20181.27 Mб27grundlagen_der_phonetik.doc
#
29.03.20162.81 Mб241Gundarin_M._Kniga_Rukovoditelya_Otdel.rtf
#
09.06.20151.03 Mб28Gurevich-Kornev.pdf
#
09.06.20153.71 Mб8Gurevich_Pavel_Mir_filosofii_-_royallib_ru.doc
#
09.06.2015981.41 Кб7hadoop_watermarking.pdf
#
09.06.2015494.12 Кб16history_exam_all.pdf
#
09.06.20154.93 Mб3Home reading.pdf
#
02.11.20182.41 Mб3Hot_Dog.doc