Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Gurevich-Kornev

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

3.5. Метод степенных рядов

Вданном разделе изучается вопрос о представлении решения линейного дифференциального уравнения второго порядка

y00 + p(x)y0 + q(x)y = f(x)

(3.49)

в виде степенного ряда.

Напомним некоторые факты, связанные со свойствами степенных

рядов. Не теряя общности, будем считать, что все рассмотрения ведутся

в окрестности точки x0 = 0, так как случай произвольного x0 сводится

к указанному с помощью замены t = x x0. Итак, пусть имеется ряд

akxk:

(3.50)

k=0

Из курса математического анализа известны следующие

результаты.

Теорема 3.19. Радиус

сходимости R степенного

ряда

(3.50)

определяется по формуле

jakj

е(3.51)

k!1

lim k

Теорема 3.20. Пусть радиус сходимости

(3.50)

ряда

положителен,

тогда при

( R; R) сумма

fе(x) этого ряда

имеет производные любого порядка, которые могуттбыть получены

путем почленного дифференцирования ряда (3.50). Возникающие при

этом ряды имеют тот же радиус сходимости.р

f(k)(0)

Теорема 3.21. Если f(x) сумма ряда (3.50), то ak =

k = 0; 1; : : :.

1 н

йkP

Теорема 3.22. Пусть f(x) =

уakxk, g(x) =

bkxk, причем

k=0

ряды сходятся в интервале ( Rы0; R0). Тогда f(x)g(x) =

ckx , где

ряд сходится на том же интервале.

ck =

ambk m, и последнийе

m=0

дальнейшем потребуется следующее утверждение.

Теорема 3.23.рДля того, чтобы ряд (3.50) имел радиус

сходимости ,

довлетворяющийа

неравенству R R0, где R0

заданное положительное число, необходимо и достаточно, чтобы

для любого " > 0 (" < R0) существовало M", такое что для всех "k"справедливо неравенство

jakj

(3.52)

(R0 ")k

Доказательство. Необходимость. Из (3.51) и определения

верхнего предела последовательности следует, что для любого " > 0

(" < R0) существует n0, такое что при k > n0 выполняется неравенство

pjakj R " , и, следовательно, pjakj1 R0 " . Отсюда

вс

(3.53)

jakj (R0 ")k :

Выберем M" так, чтобы при k n0 выполнялось неравенство

ны

jakj

(3.54)

(R ")k

Если дополнительно потребовать, чтобы M" 1, то неравенство (3.54).Г

с учетом (3.53) будет справедливо для всех "k".

Достаточность. Предположим, что для любого " > 0 (" < R0)

существует M", такое что выполняется (3.52). Но тогда

jakj нR0 " .

Отсюда заключаем, что

lim

lim pM"

, те. .

R0 "

k!1

последнем неравенстве к пределу

при

R0 " . Переходя в

получим требуемое.

Теорема

3.24. Предположим,

что

функц

q(x),

f(x)

p(x),

разлагаются

степенные

ряды, сходящиеся ив интервале

( R0; R0), тогда всякое решение уравнения (3.49)р

на этом интервале

представимо в виде степенного ряда.

Доказательство. Так

как

(3.49)

однозначно

всякое решение

определяется условиями задачи Коши, то достаточно убедиться, что

решение задачи Коши с произвольнымиуусловиями

y(0) = y0;

(3.55)

(y0

(0) = y00 ;

представимо

на

по

вепенным рядом. Будем рассуждать

необходимости. Предположим, что

y(x) =

amxm

(3.56)

m=0

является решением задачи Коши (3.49), (3.55). Но тогда из теоремы

3.21 следует, что

a1 = y00 :

(3.57)

a0 = y0;

Далее из теоремы 3.20 следует, что y0(x) =

k akxk 1. Выполним

k=1

, тогда получим

замену индекса суммирования по формуле m =P

го

(3.58)

y0(x) =

(m + 1)am+1xm:

m=0

Поступая аналогично, находим

(3.59)

y00(x) = (m + 2)(m + 1)am+2xm:

m=0

Обозначим

p(x)

pmxm;

q(x)

qmxm;

f(x) =

fmxm.

m=0

Подставим (3.56),

(3.58), (3.59) в уравнение (3.49):

(m + 2)(m + 1)am+2x

pmx

(m + 1)am+1x

н+

m=0

+ qmx

amx

= fmx

m=0

Отсюда, учитывая теорему 3.22, получим

X X

(m + 2)(m + 1)am+2xm +

(

(mвеk + 1)pkam k+1)xm+

m=0

m=0 k=0

X X

( q a

)xm =

f xm:

k m k

m=0 k=0

йm

m=0

Приравнивая

при

в левой

и правой

частях,

коэффициенты

заключаем, что

(m + 2)(m + 1)amр+2 +

(m k + 1)pkam k+1 +

qkam k = fm:

k=0

И, следовательно, для коэффициентов справедливы рекуррентные формулы

am+2 = (m + 2)(m + 1)

(m k + 1)pkam k+1

k=0

qkam k + fm#;

(3.60)

го

k=0

m = 0; 1; : : :, где a0 = y0; a1 = y00 .

Теперь покажем, что ряд

amxm, в котором коэффициенты am

m=0

R0.

определены по формулам

(3.60), имеет радиус сходимости R

Учитывая теорему 3.23, достаточно доказать, что для любого " > 0

существует M", такое что для всех "m"выполняется неравенство

.Ч

jam+2j

(3.61)

(R0 2")m+2

Для этого воспользуемся методом математической индукции.

В силу этой же теоремы существует M0 = M0("), такое что имеютН

место неравенства

jpkj

;

jqkj

;

jfkj

")мk :

")k

0 и

Из формулы (3.60) следует, что

jam+2j (m + 2)(m + 1)

(m k + 1)jpkj jaсm k+1j+

k=0

+ jqkj jam kj + jfmj! (m + 2)ни

(R0M0")k jam k+1j+

у X

k=0

(R0M0

")k jam kj +

k=0

+ m

(Rы0Mй0")m !:

(3.62)

k=0

Очевидно,

что для любого фиксированного n0 за счет выбора M"

(3.61) выполняется при всех m n0.

можно считать, что неравенствот

Число n0 будет указано позднее. Итак, докажем справедливость (3.61) в

с номерами 0; 1; : : : ; m + 1 оно выполняется.

предположении, чтордля ak

Имеем из (3.62):

M0 M"

jam+2j (m + 2)

(R0

")k(R0

2")m k+1 +

+ (R0

k=0

+ (R0

")m

= (R0

2")m+2

")k(R0

2")m k

(m + 2) "(R0 2")M0

R00

+ M0

R00

R 2"

k=0

(R0

2")

R0 "

(R0

2")m+2

(m + 2)[(R0 2")M0 S" + M0S" + (R0 2")2];

где S" = k=0

R00 "

, и предполагается, что M0 M".

ерн

считать, что n0 выбрано настолько большим, что выражение

БудемP

+ 2. Тогда при m n0

в квадратных скобках не

превосходит

будет выполняться неравенство

(3.61),

потому

сумма

ряда (3.56)

действительно является решением задачи Коши.

Заметим, что теорема 3.24 легко переносится на случай уравнен я

произвольного порядка.

3.6. Метод обобщенных степенных рядовм

Метод

обобщенных

степенных

рядов

явля

несложной

ся

модификацией рассмотренного

ранее

метода

еепенных

рядов.

Продемонстрируем этот метод на примере интегр рования следующего

цилиндрических

дифференциального уравнения Бесселя (уравненияс

функций), играющего важную роль в математической физике,

y00 +

y0 + 1

уyн= 0;

x > 0;

(3.63)

где числовой параметр, котор й может принимать произвольные

значения. В дальнейшем будем предполагать, что

в>е0 и

6= 12;; : : : :

(3.64)

Приведем

вспомогательные сведения из

вначалеснекоторые

математического

н лиза.

Определение 3.9. Гамма-функцией (x) называется функция, определяемая следующим образом

(x) = Z0

e ttx 1dt; x > 0:

(3.65)

Нетрудно видеть, что интеграл в (3.65) сходится абсолютно.

Одним из основных свойств (x) является свойство

(x + 1) = x (x):

(3.66)

Перепишем его в виде

(x) =

(x + 1):

(3.67)

Правая часть этого равенства имеет смысл при 1

< x < 0. Это

позволяется определить (x) на интервале ( 1; 0). Затем, рассматривая .

(3.67) при 2 < x < 1, можно продолжить (x) на ( 2; 1). И.

т. д. В результате (x) будет определена при всех x 2 R, кроме точекН

0; 1; 2; : : : . Эта функция хорошо изучена и ее график имеет в ид

в частности, следует, что

Из свойства (3.66),а

(1) = 1; (2) = 1; (3) = 2; (n + 1) = (n + 1)!;
(n + + 1) = (n + )(n + 1) : : : ( + 1) ( + 1):	(3.68)
Определение 3.10. Обобщенным степенным рядом (относительно
точки 0) называется ряд
1								го
X								го
anxn+ ;
n=0								о
где ; a0; a1; : : : числа, причем 6= 01;; 2; : : : .								о
Вернемся к уравнению (3.63). Коэффициенты при y0 и y не								с
Вернемся к уравнению (3.63). Коэффициенты при y0 и y не								к
удовлетворяют условиям теоремы 3.24. Но можно попытаться найти							в
решения уравнения Бесселя в виде обобщенного степенного ряда.						е
Теорема 3.25. У уравнения (3.63) существует фундаментальная				н		ш
				н
система решений, представимых в виде обобщенных степенных			р		ы
рядов.		.Ч
Доказательство. Итак, ищем решение уравнения (3.63) в виде		.Ч
Доказательство. Итак, ищем решение уравнения (3.63) в виде		е

								.
y(x) =		anxn+ = x	anxn;					Н	Г
		n=0	n=0					Н
		n=0	n=0				и
	1						и
						н
предполагая, что ряд					е		уля.
предполагая, что ряд		anxn сходится в некоторой окрестности					уля.
	n=0			м
Используя свойства	степенных рядов, находим, что			и
Используя свойства	P

y0(x) = x 1

anxn + x

(n + 1)an+1xтn;

n=0

1с

y00(x) = (

вX

xn+

1)x 2

a xn + 2 x 1

р(n + 1)a

n+1

n=0

+x (n + 1)(n + 2)an+2xн:

n=0

Подставим эти формулы в (3.63) и разделим обе части получившегося

тождества на x 2:

1е

1 X

р1

( 1)

anx +2 тx

(n+1)an+1x

(n+1)(n+2)an+2x +

n=0

anx

д+ x

(n + 1)an+1x + x

anx

= 0:

n=0

у n=0

n=0

Приведем в левой части подобные члены, т. е. запишем это тождество

в виде

bnxn = 0:

n=0

Отсюда следует, что bn = 0, n = 0; 1; 2; : : : . Вычисляя непосредственно

b0; b1; b2; : : : , получим

(

)a0 = 0;

( + 1) a1 a1 = 0;

(3.69)

(( + n) )an + an 2 = 0;

n = 2; 3; : : : :

Предположим, что = . В этом случае из формул (3.69) имеем

a2k+1 = 0;

k = 0; 1; 2; : : : ;

.Ч

a2 =

;

2( + 1)

a4 =

;

22 22 1 2( + 1)( + 2)

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

a2n = ( 1)n

22n

n!( + 1)( + 2) : : : ( + n)

;

(3.70)

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

отличное от

В этих формулах в качестве a0 можно брать любое число,е

итво (3.68), формулу

нуля. Полагая a0

( + 1)

и учитывая свой

(3.70) можно записать в виде

a2n = ( 1)

n = 0; 1; 2; : : : :

(3.71)

n! (n + + 1)

22n+н;

Таким образом,

мы

нашли

все коэффициенты обобщенного

степенного ряда. Следователь о,ыфункция

n=0

y1(x) =

(

1)n

n! (n + + 1) 2

2т

будет решением ур внения (3.63), если ряд справа сходится.

Докажем сходимость этого ряда, промажорировав его сходящимся рядом. Оценим n-й член ряда

( 1)n n! (n + + 1) 2

n! ;

где c =

min (x), y = x4 .

1 yn

го

0<x<1

= c ey.

Следовательно, наш ряд мажорируется сходящимся рядом

c n!

n=0

Мы рассмотрели случай = . Аналогично рассматривается случай

= , в котором приходим к другому решению уравнения (3.63)

y2(x) =

n=0( 1)n n! (n + 1) 2

ерн

Убедимся, что y1(x) и y2(x)

образуют фундаментальную систему .

решений уравнения Бесселя, т. е. докажем их линейную независимость

на любом интервале 0 < x < a < 1. Пусть c1; c2 – числа, такие, что

c1y1(x) + c2y2(x) 0:

lim

y (x) = 0

Устремляя в этом тождестве

и учитывая, что x 0+

м1

lim y

(x) =

1, получаем, что

= 0

. Теорема

x!0+

и, следовательно, т1

доказана.

Замечание

1. Как следует

из доказатель тва,

общее решение

уравнения Бесселя (3.63) имеет вид

y(x) = c1I (x) + c2I (x); в

где

2n+

;

I (x) = n=0( 1)nыn!й(n + + 1)

нn

I (x) = nв=0е( 1) n! (n + 1)

Функции I (x) и I

(x) называются функциями Бесселя первого рода.

Замечание 2. Р ссмотрим частный случай = 1 . В этом случае

дp

sin x

функции y1(x)

и y2(x) = p

cos x являются решениями

уравнения (3.63), в чем легко убедиться непосредственной подстановкой их в уравнение. Из математического анализа хорошо известно, что

функции

sin x

и cos x раскладываются в степенные ряды. Тогда из

доказательства теоремы

следует, что y1(x)

y2(x) отличаются

от

(x) только

выбором первого коэффициента a0, т. е.

2 (x) и

I 2

они отличаются друг от друга постоянным множителем. Используя

свойства гамма-функции можно показать, что

sin x

cos x

I2 (x) = r

px ; I 2 (x) = r px :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.08.2019103.01 Кб2Glava_II_Teoria_deystvia.docx
#
29.03.2016344.06 Кб6Gosudarstvennoe_regulirovanie_ekonomiki.doc
#
09.06.20151.27 Mб111grundlagen_der_phonetik(1).doc
#
07.11.20181.27 Mб27grundlagen_der_phonetik.doc
#
29.03.20162.81 Mб241Gundarin_M._Kniga_Rukovoditelya_Otdel.rtf
#
09.06.20151.03 Mб28Gurevich-Kornev.pdf
#
09.06.20153.71 Mб8Gurevich_Pavel_Mir_filosofii_-_royallib_ru.doc
#
09.06.2015981.41 Кб7hadoop_watermarking.pdf
#
09.06.2015494.12 Кб16history_exam_all.pdf
#
09.06.20154.93 Mб3Home reading.pdf
#
02.11.20182.41 Mб3Hot_Dog.doc