Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Gurevich-Kornev

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

при условии, что все ck, k = 1; : : : ; m, равны нулю. В противном случае

система называется линейно зависимой.

Другими

словами,

линейная зависимость системы функций

означает,

что существует

набор

констант

среди

которых

kgk=1

jck0j > 0), такой что для всех x 2 [a; b]

имеются отличные от нуля(т. е.

справедливо тождество

ck'k(x) 0.

Рассмотрим, например, функции 1, sin

x, cos 2x. Убедимся, что эта

система линейно зависима на отрезке [0; 2 ]. Для этого заметим, что

2 sin

= 2, c

= 1 имеем:

cos 2x = 1

Но тогда при c

1, c

1 + 2 sin x + 1 2 sin

x 0 при любых x.

имеют на отрезке

Определение 3.2. Пусть функции f'k(x)gk=1

[a; b] непрерывные производные до (n 1)-го порядка включительно,

тогда определитель

'10

(x)

'n0

(x)

W (x) =

(x)

(n 1)

(x)

называется

определителем

Вронского

системы

'k(x)

или

k=1

вронскианом.

Теорема

3.5.

Определитель Вронского

зависимой

линейно

системы функций равен нулю при любых x 2 [a; b].

Доказательство. Из определения линейной зав симости следует,

существует набор

что

kgk=1

такой, что c

'1(x) +

+ c 'n(x)

k=1

Не теряя

= 1

иве

1 6

c0 > 0:

= 0.

причем

общности, можно считать, что c0

Более того, будем

считать, что

, так как в противном случае

достаточно разделить обе части тождества на c1. Итак,

(x) + c2

'2(x) + + cn'n(x) 0:

Отсюда

(m)

0 (m)

(x) +

0 (m)

(x) 0

(3.4)

+ cn'n

(x) + cв2'е2

при m = 0; 1; : : : ; n 1с.

Преобразуем в

ронскиан W (x) следующим образом: к первому

столбцу

прибавимавторой столбец, умноженный на c0, третий

у3

д0

и т. д., наконец, n-й столбец, умноженный на c . В

умноженный на c

результате, учитывая (3.4), получим определитель, у которого первый

столбец является нулевым. А так как указанное преобразование не

меняет величины определителя, то приходим к выводу, что W (x) 0.

Укажем теперь, критерий линейной независимости системы для

случая, когда в качестве функций берутся решения уравнения (3.3).

Теорема 3.6. Для того, чтобы система fyk(x)gkn=1 решений

уравнения (3.3) была линейно независимой на [a; b], необходимо, чтобы

её определитель Вронского был отличен от нуля при всех x из этого

отрезка, и достаточно, чтобы

W (x)

= 0

одной точке [a; b].

хотя бы в

Доказательство. Необходимость. Пусть

fyk(x)gk=1

линейно

ев

независимая система решений уравнения (3.3). Предположим, что

ыш

существует x0 2 [a; b], такое что W (x0) = 0, т. е.

y1(...x0)

: : :

yn(...x0)

= 0:

(3.5)

ерн

(n 1)

(x0) : : : yn

(x0)

Следовательно, столбцы этого определителя

линейно зависимы, и

поэтому существуют fck0gkn=1 такие, что k=1 ck0

> 0 и

им

ни

8k=1 ck0yk(x0) = 0;

> n

(n 1)

(3.6)

си

>k=1 ckyk (x0) = 0:

> P

ykе(x). Очевидно, что y(x)

Рассмотрим функцию y(x)

k=1

(3.3) с начальными

является решением задачи Коши

для уравненияи

условиями

8y0

(x00ы) =й0;

y(x ) = 0;

> н

(3.7)

т>

еy(n 1)(x0) = 0:

0(которое называется

имеется>

решение y~(x)

Но у задачи (3.3), (3.7)с

тривиальным решением)р . В силу единственности решения задачи Коши

ck0yk(x)

0 при любых x

2 [a; b]. А

приходим к выводу, что

это означает, что система fyk(x)gnk=1 линейно зависима. Получили противоречие.

Достаточность.

Предположим

противное,

т. е.

что

система

fyk(x)gkn=1 является линейно зависимой. Но тогда в силу теоремы 3.2

её вронскиан тождественно равен нулю. Получили противоречие.

Замечание

Требование

теореме

3.6,

чтобы

функции

yk(x)

являлись решениями уравнения (3.3), существенно, о чем

gk=1

свидетельствует следующий пример. Пусть y1(x) = x , y2(x) = jxj ,

x 2 [ 1; 1]. Нетрудно убедиться, что эти функции линейно независимы,

в то же время их определитель Вронского при x

[

1; 1] равен нулю.

Определение 3.3. Линейно независимая система fyk(x)gk=1

ев

решений (3.3) называется фундаментальной системой решений.

Теорема

3.7.

всякого

уравнения

l(y)

существует

фундаментальная система решений.

Доказательство. Выберем числа aj k, j; k = 1; : : : ; n, так чтобы =

= det(ajk)j;k=1 6= 0, например,ajk = jk, где jk символ Кронекера.

Рассмотрим n

задач Коши

для

уравнения

(3.3)

начальными .

условиями

y(x ) = a k;

8y0(x00) = a12k;

k = 1; : : : ; n:

и(3.8)

ме

>y(n 1)(x0) = ank;

Обозначим через

решение задачи Коши (3.3), (3.8). Убедимся, что

yk(x)

система fyk(x)gk=1 является фундаментальной. Для

еэ ого достаточно

заметить,

что

её

определитель Вронского

при

т= x0 равен , и,

следовательно, отличен от нуля.

Теорема 3.8. Предположим, что уравн нияр

y(n) + a

(x)y(n 1) +

+ aв(x)y = 0

иn

y(n) + b

(x)y(n 1) +

+ b

(x)y = 0; x

[a; b];

йn

имеют общую фундаменталь ую систему решений. Тогда

ak(x)е= bk

(x); k = 1; : : : ; n:

фундаментальную

Доказательство.сОбозначим через fy~k(x)gk=1

систему решений

рнных уравнений. Имеем

(n 1)

(n)д

(x) + + an(x)~yk(x) 0

y~kу(x) + a1(x)~yk

и
	y~k(n)(x) + b1(x)~yk(n 1)(x) + + bn(x)~yk(x) 0; k = 1; : : : ; n:
Вычитая из первого тождества второе, приходим к системе								о
8			+[an(x)	bn(x)]~y1(x)	0;			о
>	[a1(x)	b1(x)]~y1(n 1)	(x) + [a2(x) b2(x)]~y1(n 2)(x) + +				г
>							г
>							о
>							к
> (n 1) (n 2)
>		b1(x)]~yn	(x) + [a2(x) b2(x)]~yn (x) + +				с
<[a1(x)		b1(x)]~yn	(x) + [a2(x) b2(x)]~yn (x) + +			(3.9)	с
>						(3.9)	ев
>			+[an(x)	bn(x)]~yn(x)	0;		ев
>
>
>							ш
>							ш
>
:

[a; b].

Пусть

произвольное,

но

фиксированное число

из

отрезка

[a; b].

систему

Рассмотрим линейную

алгебраическую

уравнений относительно неизвестных fukgk=1

8y~1

(x)u1 + y~1

(x)u2 + + y~1(x)un = 0;

(3.10).Г

> (n 1) (n 2)

<y~n

(x)u + y~n

(x)u +

+ y~ (x)u = 0:

Тождества (3.9) означают, что решением (3.10)

являются числа

fak(x)

bk(x)gkn=1.

Но

определителем

системы

(3.10)мявляется

определитель

(x) =

и..

;

(n 1)

(n 2)

y~1

(x) y~1

(x) : : : y~1(x)

с.

y~n

(x) y~n

(x) : :р: y~n(x)

который с точностью

до

знака

вронскианом

системы

совпадаети с

fy~k(x)gk=1. Следовательно, (x) 6=у0. Отсюда следует, что система

(3.10) имеет только тривиальное решение,й

т. е. ak(x) bk(x) = 0 при

любом x 2 [a; b]. Что и требовалосьыдоказать.

Теорема

3.9. Предположим,н

что система функций fyk(x)gk=1

удовлетворяет следующим

нусловиям: 1) функции yk(x) непрерывны

на [a; b] вместе со своими производными до порядка n включительно;

2) при любых x 2

[a;сb] вронскиан W (x) этой системы отличен от

нуля. Тогда существует единственное уравнение вида l(y) = 0, для

(x)gkn=1 образуют фундаментальную систему

которого функцииаfyk

решений.

Доказательство. Рассмотрим уравнение

y10

(x)

: : :

yn0

(x)

: : :

(x)

= 0:

(3.11)

W (x)

: : : y(n

1)(x) y(n

y(n

(x)

(n)

(x)

: : :

(n)

(x)

(n)

Раскладывая

определитель

(3.11)

по

элементам

последнего

столбца, убеждаемся, что левая часть этого уравнения имеет вид l(y).

Поэтому остается убедиться, что функции yk(x), k = 1; : : : ; n, являются

решениями (3.11). Но это очевидно, так как при подстановке в (3.11)

yk(x) получается определитель, в котором k-й столбец совпадает с

(n + 1)-м. Единственность искомого уравнения следует из теоремы 3.8.

Лемма 3.1. Пусть

a21

(x) : : : a2n

(x)

(x) =

a11

(x) : : : a1n

(x)

;

(x)

: : : a (x)

где akj(x), k; j

= 1; 2; : : : ; n, непрерывно дифференцируемыемна [a; b]

функции. Тогда

a21(x) : : : a2n(x)

a210

(x) : : :сиa20 n(x)

a110

(x) : : : a10 n(x)

a11

(x) : : : aт1n(x)

a31(x) : : : a3n(x)

0(x) = .

(x)

: : : a (x)

и(x)

: : : a (x)

nн1

a11(x)

a1n(x)

: :

: : : +

(3.12)

: : a

н(x)

n 1;n

(x)

n 1;1

a н(x)

: : :

a (x)

еn0 1

nn0

Доказательство. Потопределению

1дn

(x) =

уjkXm

( 1) (j1;:::;jn)a1j1 (x) a2j2 (x) : : : anjn (x);

j ;:::;j

где (j1; : : : ; jn) число инверсий в перестановке (j1; j2; : : : ; jn). Поэтому

0(x) =

(

1) (j1;:::;jn)a0

(x)a

(x)

: : :

(x) +

j1;:::;jn=1

1j1

2j2

njn

kXm

(

1) (j1;:::;jn)a

1j1

(x)

: : :

n 1;jn 1

(x)a0

(x):

го

j1;:::;jn=1

njn

jkXm

Отсюда следует формула (3.12).

произвольная

система

Теорема 3.10. Пусть fyk(x)gk=1

решений уравнения (3.3), а W (x)

вронскиан этой системы. Тогда

для любого x0 2 [a; b]

справедлива формула Остроградского – Лиувилля

a1(t) dt

(3.13)

W (x) = W (x0)e x0

Доказательство.

Воспользуемся

формулой

для

вычисления

производной определителя

y10 (x)

: : :

yn0 (x)

y1(x)

: : :

yn(x)

y10

(x)

: : :

yn0 (x)

...

н... и

W 0(x) =

(n 2)

(x) : : : y

(x)

(n 1)

(n)

(x)

: : :

м(n)

(x)

(x) : : : yn

(x)

иyn

Очевидно,

что все слагаемые в

правой

равенства за

части э огое

исключением, быть может, последнего равны нулю. Преобразуем n-ю

строку в последнем определителе, учитывая, чтос

yk(n)(x) a1(x)yk(n 1)(x) : : : an(xв)yеk(x); k = 1; : : : ; n:

В результате получим

йу

W 0(x) =

y10 (...x)

yn0 (...x)

aj(x)

a1(x)W (x);

н(x)

(x)

j=1

(n j)

y1е

(x)

1 определители равны нулю.

так как при j = 1; : : : ;сn

Таким

образом,рп иходим

выводу,

что

W (x)

удовлетворяет

уравнению

W 0

а=

a (x)W

которое

является

уравнением

разделяющимиуя переменными. Интегрируя его, приходим к (3.13).

3.2. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка

Рассмотрим уравнение (3.1).

Определение 3.4. Функция

y(x; c1; : : : ; cn)

называется общим

решением уравнения (3.1), если 1) при любых значениях констант c1,

c2, : : :, cn она является решением (3.1); 2) для любого решения y~(x)

го

существуют c10, c20, : : :, cn0 такие, что y(x; c10; : : : ; cn0 ) y~(x).

Теорема 3.11. Общее решение уравнения (3.1) имеет вид

(3.14)

y(x; c1; : : : ; cn) =

ckyk(x) + yч(x);

k=1

где fyk(x)gkn=1 произвольная фундаментальная система решений

ны

уравнения (3.3), а yч(x) любое фиксированное решение (3.1).

Доказательство. Наличие свойства 1) очевидно. Пусть y~(x)

решение уравнения (3.1). Укажем способ выбора

c0 n

, при котором

kgk=1

теоремой 3.1,

y(x; c

; : : : ; c ) y~(x). С этой целью воспользуемся

согласно которой два решения уравнения, удовлетворяющие одним и

тем же начальным условиям задачи Коши, совпадают.

Поэтому потребуем, чтобы выполнялись условия

8c1y10

(x0) +

+ cnyn0

(x0) + yч0

(x0) = y~0(x0);

им (3.15)

c1y1

(x0) +

+ cnyn

(x0) + yч

(x0) = y~(x0);

1)т

<c1y1

(x0) + + cnyn

(x0) + yч

(x0) = y~

(x0);

где x0 произвольная фиксированная точка отрезка [a; b].

Система

(3.15)

является

линейной

алгрб аической

системой

относительно неизвестных fckgkn=1. Определителемве

этой

системы

является

определитель

Вронского

фундаментальной

системы

yk(x)

нуля.

gk=1

, подсчитанный в точке у, а потому отличный от 0 n

Следовательно, система (3.15) имеет единственное решение fckgk=1,

которое является искомым.

Для сокращения записи, общие решения уравнений (3.1) и (3.3)

будем обозначать yон

и yоо

Очевидно, что справедливы

соответственно.н

утверждения.

решение уравнения (3.3) имеет вид

Следствие 3.1. Общеет

(3.16)

yоо =

ckyk(x);

k=1

где fyk(x)gnk=1 фундаментальная система решений (3.3). Следствие 3.2. Общее решение уравнения (3.1) имеет вид

yон = yоо + yч(x):

(3.17)

Формула (3.14) показывает, что вопрос интегрирования уравнения

(3.1) сводится к решению двух задач: 1) нахождению фундаментальной

системы решений (3.3); 2) построению частного решения (3.1).

Покажем, что если первая задача решена, то решение второй задачи

сводится к решению алгебраической системы, причём последнее всегда

существует.

В следующей теореме излагается

метод нахождения

частного

решения yч, который

называется методом

вариации произвольных

постоянных или методом Лагранжа.

Теорема 3.12. Пусть fyk(x)gk=1 фундаментальная система

решений (3.3), а W (x) её определитель Вронского. Тогда уравнение

(3.1) имеет частное решение, допускающее представление

Wk(x) f(x)dx yk(x);

yч(x) = k=1 Z

(3.18).Г

W (x)

где Wk(x) алгебраическое дополнение элемента W (x), стоящегоив

n-й строке и k-ом столбце.

Доказательство. Будем искать решение yч(x) в виде

(3.19)

yч(x) =

ck(x)yk(x);

k=1

где функции fck(x)gkn=1 подлежат определению.с

(x). Имеем

n в

Вычислим производные yч

yч0 (x) =

уX

ck0 (x)yk(x) +

иck(x)yk0 (x):

k=1

Потребуем, чтобы имело место равенствой

вX

(x)yk(x) = 0

(3.20)

нc0

k=1

При выполнении (3.20), формула для y0 (x) примет вид

yч0 (x) =

ck(x)yk0 (x):

k=1

Поступая аналогично, находим

yч00(x) =

ck0 (x)yk0 (x) +

ck(x)yk00(x):

k=1

Потребуем, чтобы

k k

c0 (x)y0 (x) = 0:

(3.21)

k=1

Тогда yч00(x) =

ck(x)yk00(x).

k=1

Продолжая указанный процесс, подчиняем ck(x) условиям

c0 (x)y(m)(x) = 0; m = 0; 1; : : : n 2:

(3.22)

k=1

При этом формулы для производных yч(x) будут иметь вид

(3.23)Н

yч(m)(x) =

ck(x)yk(m)(x); m = 0; 1; : : : ; n 1:

k=1

Теперь вычислим yч(n)(x) и подставим полученные представленияе

для производных в уравнение (3.1). В результате приходим к уравнениюм

(x)y(n 1)(x) + ck(x)y(n)(x)+е

k=1

(n 1)

+a1(x)

ck(x)yk

(x) + : : : + an(x)

ck(x)yk(x) = f(x):

k=1

Преобразуем левую часть следующимнобразом:

(x)y(n 1)(x) + ck(x)[y(n)(x) + a1(x)y(n 1)(x) + : : : + an(x)yk(x)]:

k=1

Выражение,

квадратных

скобках, есть

l(yk), и,

стоящее

следовательно, равно

тнулю. Таким образом, последнее уравнение

принимает вид

р n

c0 (x)y(n 1)(x) = f(x):

(3.24)

k=1

Для определения fc0k(x)gnk=1приходим к системе (3.22), (3.24). Определителем этой системы является вронскиан фундаментальной системы, который отличен от нуля. Поэтому, применяя формулы Крамера, получим

ck0 (x) =

W (x)

y1(x)

: : : yk

(x)

yk+1(x) : : : yn(x)

: : :

(x) : : : yk

(x)

yk+1

(x) : : : yn

(x)

(x) : : : y

(n 1)

(x) f(x) y

(x) : : : yn

(x)

k 1

k+1

Разложим

последний определитель по элементам k-го столбца,

результате приходим к представлению

(x)

(x) =

f(x); k = 1; : : : ; n;

W (x)

определителя.

где Wk(x) алгебраическое дополнение элемента

Вронского, стоящего в n-ой строке и k-ом столбце. Отсюда

ен

ck(x) = Z

W (x) f(x)dx + ck0; k = 1; : : : ; n;

Wk(x)

где c0

произвольные константы. Возвращаясь к

(3.19),

формулеи

находим все решения (3.1).

Пусть, например, c = 0, тогда соответствующеетчастное решение

будет иметь вид

yч(x) = k=1 Z

Wk(x) f(x)dxивyеk(x):

W (x)

с постоянными

3.3. Линейные уравненияу

коэффициентамий

Рассмотрим уравнение

a0y(n)

+ aе1y(n 1) + : : : + any = f(x);

(3.25)

где ak

= const, k = 0; 1с; : : : ; n, a0 6= 0.

Сначала изучим соответствующее однородное уравнение

дa0y(n) + a1y(n 1) + : : : + any = 0:

(3.26)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.08.2019103.01 Кб2Glava_II_Teoria_deystvia.docx
#
29.03.2016344.06 Кб6Gosudarstvennoe_regulirovanie_ekonomiki.doc
#
09.06.20151.27 Mб111grundlagen_der_phonetik(1).doc
#
07.11.20181.27 Mб27grundlagen_der_phonetik.doc
#
29.03.20162.81 Mб241Gundarin_M._Kniga_Rukovoditelya_Otdel.rtf
#
09.06.20151.03 Mб28Gurevich-Kornev.pdf
#
09.06.20153.71 Mб8Gurevich_Pavel_Mir_filosofii_-_royallib_ru.doc
#
09.06.2015981.41 Кб7hadoop_watermarking.pdf
#
09.06.2015494.12 Кб16history_exam_all.pdf
#
09.06.20154.93 Mб3Home reading.pdf
#
02.11.20182.41 Mб3Hot_Dog.doc