1.3 Рациональные приемы сложения и вычитания

Рациональные приемы сложения основываются на коммутативном (переместительном) и ассоциативном (сочетательном) законах сложения, а также на свойствах изменения суммы.

Коммутативный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, например: 3 + 7 = 7 + 3. Ассоциативный закон сложения: если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой сумма не изменится, например: 73 + 4 + 27 = (73 + 27) + 4 = 100 + 4 = 104

 Свойства изменения суммы: 1) если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число. 2) если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится. 3) если все слагаемые данной суммы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз. Рассмотрим рациональные приемы сложения.

1) Округление одного или нескольких слагаемых. Одно или несколько слагаемых заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круглых» чисел, а затем соответствующее дополнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее, например: 37 + 49 = 37 + 50 – 1 = 36 + 50 = 86

или 68 + 29 = 70 – 2 + 30 – 1 = 100 – 3 = 97

2) Поразрядное сложение. При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частности, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десятков, потом — всех единиц, а затем складывают полученные суммы, например:

13 + 29 = (10 + 20) + (3 + 9) = 30 + 12 = 42

3) Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа, например:

37 + 34 + 29 (все числа близки к числу 30, его считают корневым) а) находим сумму корневых чисел: 30 * 3 = 90 (так как в сумме 3 слагаемых) б) находим сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если число меньше «корневого» — со знаком «минус»: 7 + 4 – 1 = 10. Тогда: 37 + 34 + 29 = 90 + 10 = 100. [klasnaocinka.com.ua]. Прием округления нескольких слагаемых и прием группировки вокруг одного и того же «корневого» числа не являются основными и необходимыми для изучения.

Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изменения разности.

Свойства изменения разности: 1) если уменьшаемое увеличилось или уменьшилось на некоторое число, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число. 2) если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц. 3) если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится. 4) если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз. Рассмотрим рациональные приемы вычитания.

1) Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц, например: 92 - 26 = (92 - 2) - (26 - 2) = 90 - 24 = 66

или 85 - 26 = (85 + 4) - (26 + 4) = 89 - 30 = 59. Прием не является основным и необходимым для изучения.

2) Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее, например: 57 – 28 = 57 – 30 + 2 = 27 + 2 = 29 или 57 – 32 = 57 – 30 – 2 = 25

3) Разложение вычитаемого на части: 71 – 45 = 71 – 40 – 5 = 31 – 5 = 26

4) Округление уменьшаемого: 102 – 36 = 100 + 2 – 36 = (100 - 36) + 2 = 64 + 2 = 66. [klasnaocinka.com.ua].

5) Поразрядное вычитание. При вычитании нескольких двузначных чисел сначала находят разность всех десятков, потом — всех единиц, а затем складывают полученные разности, например:

29 + 13 = (20 - 10) + (9 - 3) = 10 + 6 = 16